Como ya hemos dicho alguna que otra vez en este blog se sabe que raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma de fracción. Pero todavía no os habíamos mostrado ninguna demostración. En este post vamos a ver dos demostraciones posibles de este hecho. La primera de ellas es la que podíamos denominar clásica, la que suele aparecer en todos los escritos sobre el tema, y que usa reducción al absurdo. La segunda no es ni mucho menos común, ya que usa descenso infinito. Vamos a verlas:

Teorema: Raíz de 2 es irracional – Demostración por Reducción al Absurdo

La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:

\sqrt{2}=\cfrac{p}{q}

Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:

2=\cfrac{p^2}{q^2} \Rightarrow 2q^2=p^2


Por tanto p^2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituímos este valor de p en la expresión anteriory simplificamos un 2 de esa igualdad:

2q^2=(2k)^2 \Rightarrow q^2=2k^2

Esa expresión nos asegura que q^2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.
Conclusión: Raíz de 2 es irracional.

Teorema: Raíz de 2 es irracional – Demostración por Descenso Infinito

El comienzo es el mismo que en el caso anterior: supongamos que raíz de 2 es un número racional, es decir:

\sqrt{2}=\cfrac{p}{q}

Podemos suponer sin ningún problema que p y q son positivos. Nos va a interesar concretamente que q > 0. A partir de aquí demostraremos que raíz de 2 es igual a otra fracción cuyo denominador también es positivo y además menor que q. Esto implicaría que podríamos encontrar una sucesión de número enteros positivos decreciente infinitamente, lo cual es imposible.

El siguiente paso también es igual que en el caso anterior:

2=\cfrac{p^2}{q^2} \Rightarrow 2q^2=p^2

Ahora veamos que la fracción cuyo numerador es 2q – p y cuyo denominador es p – q también es igual a raíz de 2 (usando en el primer paso la igualdad que acabamos de obtener):

\begin{matrix} p^2-pq=2q^2-pq \Rightarrow p(p-q)=q(2q-p) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \cfrac{p}{q}=\cfrac{2q-p}{p-q} \Rightarrow \sqrt{2}=\cfrac{2q-p}{p-q} \end{matrix}

Veamos ahora que 0 < p - q < q:

\begin{matrix} \left ( \cfrac{p}{q} \right )^2=2 \Rightarrow 1 < \left ( \cfrac{p}{q} \right )^2 < 4 \Rightarrow 1 < \cfrac{p}{q} < 2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow q < p < 2q \Rightarrow 0 < p-q < q \end{matrix}

En el penúltimo paso hemos multiplicado por q la cadena de desigualdades y en el último hemos restado q. Por tanto hemos encontrado otro entero positivo menor que q que cumple que es el denominador de una fracción que es igual a raíz de 2. Con esta nueva fracción podríamos hacer lo mismo y encontraríamos otro entero positivo menor que p – q que cumpliría lo mismo. Es decir, podemos encontrar una sucesión infinita y decreciente de enteros positivos cumpliendo lo anteriormente citado. Como todos sabemos eso es imposible, ya que no existe ninguna sucesión de enteros positivos decreciente con infinitos términos. Por tanto la suposición inicial era falsa.

Conclusión: Raíz de 2 es irracional.

Ahora opinad vosotros: ¿cuál os gusta más? ¿conocéis alguna otra demostración? Comentadnos vuestra opinión.

Fuente (de la segunda demostración): Math Fun Facts

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