Explicación del teorema de Poincaré-Perelman

En el mundillo matemático se ha hablado mucho sobre la conjetura de Poincaré desde que Grigori Perelman publicara sus trabajos sobre la demostración de la misma en el arXiv. Y en los últimos tiempos la noticia sobre la validez de la demostración y la concesión (y posterior rechazo) de la medalla Fields por parte de Perelman ha circulado por todos los medios de comunicación (prensa, televisión, internet…).Nosotros mismos hablábamos de la concesión de la medalla Fields en este post y del rechazo del premio en este otro. Pero a pesar de toda esta información y de la relevancia que ha adquirido este tema en todos los ámbitos lo que he echado en falta es una explicación más o menos clara sobre qué es lo que dice este (ya) teorema que pueda ser comprensible para la gente que no esté muy en contacto con las Matemáticas a un cierto nivel. En casi todos los sitios donde he visto reseñas sobre la noticia se limitan a comentar el enunciado del resultado propuesto por Poincaré sin preocuparse de explicarlo. Y eso es lo que voy a intentar hacer ahora.

Para comenzar vamos a dar un enunciado más o menos formal del resultado propuesto por Poincaré:

Toda 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S³

Este enunciado se generalizó más adelante a dimensión n:

Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sⁿ

Los casos n = 1 y n = 2 son sencillos de comprobar. Los casos n > 3 también estaban demostrados (si no me equivoco e demostró de una sola vez para n > 6 y de forma independiente para n = 4, n = 5 y n = 6). Sólo faltaba el caso n = 3, que parecía resistirse.

Una persona que no esté muy familiarizada con la Topología lee este enunciado y se queda igual que estaba (o mucho peor al darse cuenta de que no entiende nada de lo que dice el enunciado). Lo que voy a intentar es explicarlo lo más claramente posible:

• Variedad: Es una generalización de curva y superficie a espacios de mayor dimensión. Una curva en el plano R² (recta, parábola…) es una 1- variedad, una superficie en R³ (esfera, cilindro…) es una 2-variedad, y así sucesivamente. Por tanto, una 3-variedad es una objeto matemático de R⁴ (sí, un espacio de 4 dimensiones). Un apunte: en todos los casos se toman los bordes de la figura. Por ejemplo, cuando hablemos de la esfera estaremos considerando la superficie exterior, es decir, la parte interior no cuenta. No es una esfera maciza, es simplemente la parte externa.
• Compacto: Cerrado y acotado. Las definiciones matemáticas de estos dos conceptos no nos hacen falta, nos podemos quedar con las definiciones intuitivas que todo el mundo tiene.
• Simplemente conexo: Para el caso que nos ocupa nos podemos quedar con que esto significa que la variedad en cuestión no tiene agujeros. Un ejemplo para entender mejor esto: la 2-variedad S² (la esfera tal y como todos la conocemos) es simplemente conexa, pero la 2-variedad T (un toro) no lo es, ya que tiene un agujero en medio.
• Homeomorfo: La definición de homeomorfismo necesita de ciertos conocimientos matemáticos que mucha gente no tiene y que además no son importantes para el objetivo que perseguimos. Básicamente se dice que dos n-variedades son homeomorfas si son topológicamente iguales, es decir, si al estudiar ciertas propiedades en cada una de ellas resultan coincidir. Geométricamente podríamos decir que deformando una sin romperla podemos llegar a la otra. Por ejemplo, una circunferencia y una elipse (1-variedades) son homeomorfas, ya que puedo deformar cada una de ellas (sin romperlas) y transformarlas en la otra.

Y ahora vamos a intentar explicarlo geométricamente. El resultado quiere decir más o menos algo así (lo haremos con 2-variedades, es decir, figuras en 3 dimensiones, ya que éstas sí las podemos ver con facilidad):

Tenemos una esfera:

Supongamos que cogemos una cuerda, rodeamos la esfera con ella (por ejemplo por el ecuador de la misma, aunque podría ser por cualquier otro sitio) y le hacemos un nudo corredizo. Ahora tiramos del extremo de la cuerda. ¿Qué pasa?. Pues que la cuerda deslizará por la superficie y poco a poco la circunferencia que formaba al principio se hará cada vez más pequeña hasta que en la parte superior o inferior de la esfera será como un punto. Y esto pasa con cualquier curva cerrada situada en cualquier parte de la esfera. Esto es a grandes rasgos el significado de simplemente conexo.

Intentemos hacer lo mismo con un toro, 2-variedad que no es simplemente conexa:

Supongamos que situamos la cuerda rodeando el toro en perpendicular a la figura. Si tiráramos de ella no pasaría lo mismo que en el caso anterior, seguiría siendo de la misma forma y del mismo tamaño, y lo mismo ocurriría si moviéramos la cuerda alrededor del toro.

Si rodeamos el toro en paralelo a la figura y tiramos de la cuerda sí conseguiremos deformarla, pero debido al agujero que el toro tiene en medio no podremos conseguir que la cuerda llegue a ser un punto, como en el caso anterior. Cuando llegáramos al borde interno no podríamos seguir. De esta forma podemos ver que efectivamente el toro es una 2-variedad que no es simplemente conexa.

Al estar demostrada la generalización de la conjetura para n = 2 lo expuesto anteriormente nos dice que las 2-variedades esfera y toro no son homeomorfas. Es decir, que de las propiedades topológicas de una de ellas no podemos sacar información de las propiedades topológicas de la otra, debemos estudiar cada 2-variedad por separado.

Sin embargo, si por ejemplo tomamos un elipsoide

podemos ver que el experimento de la cuerda nos da los mismos resultados que los obtenidos con la esfera. Al ser también el elipsoide una 2-variedad compacta tenemos, por el (en este caso sí) teorema de Poincaré que la esfera S² y el elipsoide son homeomorfos. Esto también se puede ver intuitivamente en este caso, ya que por ejemplo podemos deformar el elipsoide (sin romperlo) y convertirlo en una esfera.

Esto es lo que ocurre con 2-variedades. Aunque el estudio de las 3-variedades no se puede realizar igual geométricamente creo que la explicación anterior puede servir para que todo el mundo entienda de manera intuitiva el enunciado del teorema.

Y para terminar un apunte más: ¿Por qué puede ser importante un resultado así?. Pues muy sencillo. Un homeomorfismo es una cosa muy gorda. Decir que dos cosas son homeomorfas es decir que, como dije antes, son topológicamente iguales, es decir, que comparten muchas propiedades topológicas. Si el resultado es cierto comprobando que una 3-variedad es compacta y simplemente conexa sabremos muchísimas más cosas de ella, ya que las propiedades topológicas de S³ son conocidas, y al ser homeomorfas la otra 3-variedad hereda todas ellas. A simple vista puede parecer sencillo, ya que es normal pensar solamente en 3 dimensiones, es decir, en 2-variedades y en sus representaciones gráficas. El problema viene cuando queremos estudiar cosas que no podemos ver ni representar gráficamente. En estos casos si necesitamos sacar información sobre un cierto objeto y tenemos teoremas como éste el trabajo necesario para ello se reduce bastante. Además este tipo de resultados ayudan a clasificar los objetos. Ahora podemos decir que topológicamente hablando sólo hay una 3-variedad compacta y simplemente conexa: la 3-esfera S³, ya que cualquier otra 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a ella.

Y aquí acaba este post. Espero que os haya ayudado a comprender un poquito mejor este tema de la conjetura de Poincaré. De todas formas si hay alguna duda, observáis algún error o queréis hacer algún apunte no os cortéis y hacedlo en los comentarios.

P.D.: En menéame dan un detalle que se me olvidó poner: en realidad lo que Perelman ha demostrado no es la conjetura de Poincaré, sino un resultado más general del cual la conjetura es un caso particular: la conjetura de geometrización de Thurston (que supongo que ahora pasará a llamarse teorema de Thurston-Perelman), propuesta por William Thurston, medalla Fields en 1982. Gracias jorginius.