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La primera propiedad exige que
, luego 
. La función 
cumple también la segunda, por lo que una respuesta sería 0.
Igual está mal pero me lanzo, a ver qué pasa:
f(n) = 0 para cualquier n entero, porque:
f(0) = 0
f(1) = f(1·1) = 2·f(1), por lo tanto f(1) = 0.
f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = 0
f(3) = f(2+1) = 2·f(1) + f(2) = 0
Por inducción sacamos que f(n) = 0.
como 4567 = sqrt(4567) * sqrt(4567):
f(4567) = 2·sqrt(4567)·f(sqrt(4567)) = 0
por lo tanto f(sqrt(4567)) = 0
cómo lo veis?
A lo peor me equivoco yo, pero creo que la prueba por inducción de Asier está mal, ya que mezcla la primera propiedad y la segunda. Sería , de lo cual no se concluye directamente. Mi demostración es: -> De la segunda propiedad, . Como por la primera propiedad, . -> De la primera, . Por aplicaciones sucesivas, . -> Uniendo ambos resultados, . Esta fórmula sí permite demostrar por inducción que f es nula en todos los enteros, por serlo en el 1. -> Finalmente, se relaciona, como indica Asier, el valor de f en un entero con el… Lee más »
Es cierto, Pasotaman, me he liado al escribirlo, en la mía para f(3) queda por demostrar que f(2^k) = f(2) = 0:
es decir, para obtener f(n) necesitamos demostrar que
sabiendo que f(n-1) = 0:
De todos modos no sirve probar por inducción para una función R->R. Inducción sirve para naturales o enteros, o con suerte, para todos los racionales (ya que son numerables), pero no para los reales.
Hernán: es irrelevante para este caso, ya que no se pide la forma completa de la función sino su valor en un punto. La forma funcional de su restricción a los enteros es más que suficiente.
Hola, aquí va una solución:
De la propiedad 1) se deduce que
i)
y 
ii) Si
es positivo, entonces 
(tomar 
).
Ya que
, se deduce de 2) e i) que 
,
y por lo tanto, inductivamente, se obtiene
Finalmente,
Un cordial saludo.
En relación al ejercicio propuesto, comentar que, de hecho, se tiene que En efecto, si tenemos una función y un número natural verificando: 1) 2) para cualesquiera , entonces . Comento por encima los pasos para probarlo: , , (primero se ve para los naturales, luego para los enteros y luego para los racionales). , , (probarlo para los naturales, los enteros y los racionales, en ese orden). , y de aquí que , salvo quizás en los valores de tales que (si a es impar hay dos valores de la raíz; en caso contrario, sólo hay uno). Estos valores… Lee más »
En el comentario previo debe decir
, para todo x positivo y todo n racional (no nulo).
Habeis afirmado tanto Pasotaman como Domingo que para cualquier x dentro de R, f(x) = 0.
¿Podriais demostrar que
y 
?
Hola de nuevo. Damos por hecho que , que y que (¿de acuerdo?) Entonces si : Agrupando: Finalmente, toma para obtener que f se anula en dichos puntos. De hecho, este desarrollo muestra que f se anula en todo punto salvo quizás en las raíces del polinomio que aparece entre paréntesis. Pero estas raíces son raíces enésimas de una fracción y se ve de igual modo que f debe anularse en esa clase de puntos (f se anula en los naturales, enteros, racionales y raíces enésimas de racionales). Espero que haya quedado clara la prueba. Pido disculpas por no detallar… Lee más »
Antes de que se pierda la acción en este post, me gustaría indicar lo siguiente: la única función real de variable real f satisface las dos condiciones: 1) 2) , para cierto natural , es la función idénticamente nula. El razonamiento que expuse arriba vale si , pero no vale para el caso a=1. Mi pregunta es: ¿es la función nula la única solución a ese sistema de ecuaciones funcionales cuando a=1? Es fácil ver que una tal función se anularía en todos los racionales (y las raíces enésimas de los racionales), pero sin asumir condiciones adicionales (como continuidad en… Lee más »
Con respecto a lo que plantea Domingo en su post (caso ), salvo que se me escape algo la función ha de ser nula. La demostración es la siguiente: -> La función es nula en el 1 por la primera condición. La segunda nos da la relación , por lo que es nula en todos los enteros. -> Si y sólo si f es continua en el 0 lo es en todo . La equivalencia de ambas condiciones se ve trivialmente por la segunda condición: es decir, si , . -> Por la primera condición, la función es continua en… Lee más »
Hola Pasotaman, gracias por tu respuesta. Estoy de acuerdo con tu razonamiento en todos los aspectos salvo en uno, que resulta ser el punto crucial: Si el límite de la función en el origen existe entonces su valor es cero (de hecho, esto es lo que has probado). Esto te permite asegurar la continuidad en el origen (y por tanto en todo punto). Pero la sutileza aquí es probar (rigurosamente) que dicho límite en el origen existe. He logrado ver que si la función está acotada entonces existe el límite y vale cero (de modo análogo a lo que tú… Lee más »
Un apunte anecdótico para los entusiastas de los comportamientos patológicos en matemáticas: decíamos que si una función cumple 1) 2) entonces debe ser nula sobre y lineal considerando como -espacio vectorial. Discutíamos sobre la suposición de acotación, continuidad o existencia del límite de la función en el origen (en cuyo caso la función debería ser idénticamente nula). Pues bien otra vuelta de tuerca es la siguiente: ; en particular, (por muy pequeño que sea el radio del círculo). Esto no es complicado de probar. De este modo las posibles soluciones no nulas serían extremadamente patológicas. ¡¡Imaginaos el comportamiento de la… Lee más »
OFF_TOPIC
«Formula does not parse»
No sé porqué, pero ese es el mensaje, en rojo sobre amarillo, que me aparece aproximadamente con el 50% de las expresiones LaTeX de la página. Tanto con Iceweasel como con Konqueror (aKregator)
Puede que le pase a más gente y alguien debería mirarlo, o puede que no y entonces lo mejor es que no me hagais caso 🙂
SmartDust, ¿te pasa en las que salen en la página escritas por otra gente o en las que intentas meter tú en los comentarios?
Las que hay puestas en el blog están todas bien. Al menos a mí no me da error ninguna. Esto de Formula does not parse significa que hay algún símbolo mal en la fórmula y no se interpreta bien. Igual estás escribiendo algo mal.
A ver qué opinais sobre la validez de esto como demostración de que el límite en el origen existe y es cero: – Hemos quedado en que si es continua en el origen lo es el todo y por lo tanto la única función posible es f(x) = 0. – Si f(x) no fuera continua en el origen, sería distinto de cero en algun punto, entonces existirá un tan cercano a 0 como queramos tal que . – Pero : es decir, sea cual fuere el valor de , como evidentemente < entonces está claro que < . – Evidentemente… Lee más »
Cuando comparo los valores de las funciones, en realidad es en valores absolutos:
< 
.
por ejemplo siempre disminuye pero su límite no es cero.
Esto en principio no implica que vaya a llegar a cero: la función
Sin embargo lo que sí parece implicar es que el límite existe. Y habíamos quedado en que si el límite existe, tiene que ser 0.
Espero vuestras opiniones.
Asier: en el mejor de los casos, con eso demuestras que hay un conjunto de sucesiones por las cuales si te acercas al cero la función tiende a cero. Otras sucesiones que cumplen eso son las de racionales. Probar que existe el límite, en cambio, es equivalente a probar que eso ocurre con cualquier sucesión que nos podamos inventar y que tienda a cero. Desde mis limitadísimos conocimientos, dado que se sabe que existen soluciones patológicas a la condición de Cauchy y la primera condición no parece implicar continuidad diría que tales soluciones también deben existir para este problema. Espero,… Lee más »
Efectivamente, lo que demuestra Asier es que existen sucesiones de imágenes de f que convergen (pero debería hacerse para toda sucesión). Yo me inclino por la existencia de soluciones no nulas (extremadamente patológicas), que deben ser entonces no acotadas, discontinuas en todo punto y con gráfica densa en el plano (en todo círculo hay un punto de la gráfica). Pero hasta el momento, no he sido capaz ni de dar un ejemplo de una tal función ni de demostrar que las condiciones impliquen que la función deba ser nula. Para construir una tal función de momento no veo otro modo… Lee más »
Gracias por vuestras respuestas y aportaciones.
Me habeis dicho los dos que lo que demuestro es para un conjunto de sucesiones, pero no entiendo por qué no vale para todas. Es decir, en cualquier otra sucesión que nos imaginemos donde haya valores no nulos se puede aplicar lo dicho a cualquiera de esos valores, no?
Domingo lo saqué del foro de Art of Problem Solving, pero no consigo encontrar el hilo en cuestión.
Por cierto, muy interesante la conversación que habéis desarrollado a partir de este problema 🙂
Asier, lo que has hecho es elegir un
no nulo de modo que 
sea no nulo y a partir de aquí construir una sucesión de imágenes por la función |f| que converge (a un valor que puede ser cero o no) por ser estrictamente decreciente. Aunque esto lo puedas hacer para todo 
, eso no implica que todas las sucesiones que debas considerar sean de esa forma que contruyes (considerando 
). Es decir, tu razonamiento no excluye la posibilidad de construir sucesiones que tiendan a cero y de modo que la sucesión de imágenes tienda a infinito.
Ya encontré el hilo en cuestión:
Problema en el foro de Art of Problem Solving
hola, la verdad me encanto mucho las funciones, matematicas soy uno de los admirantes de las matematicas, estudiante de la universidad de huancavelia, en la facultad de inguinieria.gracias.