Calculando un valor del polinomio

Publicado por ^DiAmOnD^ | 28 noviembre, 2011 | Juegos | 19 |

Os dejo hoy el problema de esta semana, corto y conciso. Ahí va:

Sea $p(x)$ un polinomio de grado $n$ tal que $p(2^k)=2^{-k}$ para $0 \leq k \leq n$ . Hallar el valor $p(0)$ .

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$ .

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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Bitacoras.com

28/11/2011 13:29

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo hoy el problema de esta semana, corto y conciso. Ahí va: Sea un polinomio de grado tal que para . Hallar el valor . Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, con……

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rtomas

28/11/2011 15:57

con mas intuicion que matematicas:
$\displaystyle p(0) = \sum_{i=0}^{i=n} 2^{-k}=2-2^{-n}$

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josejuan

28/11/2011 16:01

«A ojo» me sale $2-\frac{1}{2^n}$ , pero no consigo demostrarlo.

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arniszt

28/11/2011 16:11

Si consideramos $q(x) = 2p(2x) - p(x)$ , se tiene que $q$ es un polinomio de grado $n$ tal que $q(2^k) = 0$ para $k = 0,\cdots,n-1$ luego $q(x) = (x - 1)(x - 2)\cdots (x-2^{n-1})$ con lo que
$p(0) = 2p(2 \cdot 0)-p(0) = q(0) = (-1)^n\cdot2^{n(n-1)/2}$

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rtomas

28/11/2011 19:35

arniszt, tu solucion es muy elegante pero no funciona. El problema es que q(x) no lo puedes determinar absolutamente, cualquier otro q(x)=c*q(x), con cualquier c tambien cumple las q(2^k)=0, pero q(0) cambia.

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Jordi

28/11/2011 20:21

Sea q(x) = -1 + xp(x) polinomio de grado n+1 con ceros en 2^j, j = 0\cdots n. Se observa que q(0) = -1. Entonces q(x) = A\Prod_{k = 0}^{n} (x – 2^{k}) para un determinado valor A. El resultado buscado es el coeficiente de primer grado. Dicho coeficiente es igual a

A \Sum_{k=0}^{n}\Prod_{j\uneq k}-2^{k} =
A (\Sum_{k=0}^{n}(-2^{-k}) \Prod_{k=0}^{n}-2^{k}

Sabemos que A\Prod_{k=0}^{n}(-2^{k} = q(0) = -1
De modo que el resultado es la serie geométrica cuya suma es 2 – 2^{n}.

Lo que no sé es porqué no me funciona el marcado en LaTeX.

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Hola

28/11/2011 20:21

Sabemos que un polinomio de grado n se puede expresar así:

$\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^{i=n} a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n$

Y que:

$\displaystyle P(2^k) = \sum_{i=0}^{i=n} a_i (2^k)^i = a_0 + a_1 (2^k) + a_2 (2^k)^2 + \dots + a_n (2^k)^n = 2^{-k}$

Yo creo que P(0) da:

$\displaystyle P(0) = \sum_{i=0}^{i=n} a_i (0)^i = a_0 + a_1 (0) + a_2 (0)^2 + \dots + a_n (0)^n = a_0$

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arniszt

28/11/2011 20:49

Tienes toda la razón del mundo rtomas.
De todos modos la elección de Jordi culmina con la solución de immediato.
Lo único que creo que faltaría al resultado final es poner un signo – al exponente de $2^n$ , es decir $2 - 2^{-n}$ .

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JJGJJG

28/11/2011 21:51

En cualquier polinomio p(0) es igual al término independiente. Si para cualquier grado escribimos las igualdades resultantes de sustituir la x por las potencias de 2 desde 0 hasta n-1 tendremos un sistema de n ecuaciones con n+1 incógnitas que son los coeficientes del polinomio. El sistema está indeterminado y p(0) puede tomar cualquier valor. Para que el problema tenga sentido habrá que fijar alguno de los coeficientes para obtener los restantes, entre ellos el término independiente, en función del elegido. Sugiero que se considere 1 el coeficiente de x^n. Precisamente esto es lo que ha supuesto arniszt en su… Lee más »

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Jordi

28/11/2011 22:16

Tienes razón arniszt, gracias.

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rtomas

28/11/2011 22:55

Jordi, queria ver bien tu excelente comentario y lo puse en Latex, creo que
habia que cambiar esto:
– \prod en vez de \Prod,
-\sum en vez de \Sum
– \not= en vez de \uneq
Pero luego se me olvido el signo de 2^{n} y le di a edit y todo el latex se estropeo!
(las \ desparecieron al hacer edit)
demasiado para repetirlo, desde luego el editor de texto (que no el de formulas)
necesita mejorar.

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Jordi

28/11/2011 23:06

Ya he logrado quitar los fallos, que eran los que dices. En vez de uneq o not he puesto neq. También he tenido que arreglar algunos paréntesis. Ahí va:

Sea $q(x) = -1 + xp(x)$ polinomio de grado n+1 con ceros en $2^j, j = 0cdots n$ .
Se observa que $q(0) = -1$ . Entonces $q(x) = Aprod _{k = 0}^{n} (x-2^{k})$ para un determinado valor $A$ .

El resultado buscado es el coeficiente de primer grado. Dicho coeficiente es igual a

$A sum_{k=0}^{n} (prod_{jneq k}-2^{k} )=A (sum_{k=0}^{n}(-2)^{-k}) prod_{k=0}^{n}(-2)^{k}$

Sabemos que
$Aprod_{k=0}^{n}(-2)^{k} = q(0) = -1$
De modo que el resultado es la serie geométrica cuya suma es $2-2^{-n}$ .

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Jordi

28/11/2011 23:11

A ver otra vez (creo que se estropea cuando se quiere arreglar):

Ya he logrado quitar los fallos, que eran los que dices. En vez de \uneq o \not he puesto \neq. También he tenido que arreglar algunos paréntesis. Ahí va:

Sea $q(x) = -1 + xp(x)$ polinomio de grado n+1 con ceros en $2^j, j = 0\cdots n$ .
Se observa que $q(0) = -1$ . Entonces $q(x) = A\prod _{k = 0}^{n} (x-2^{k})$ para un determinado valor $A$ .

El resultado buscado es el coeficiente de primer grado. Dicho coeficiente es igual a

$A \sum_{k=0}^{n} (\prod_{j\neq k}(-2)^{k} )=A (\sum_{k=0}^{n}(-2)^{-k}) \prod_{k=0}^{n}(-2)^{k}$

Sabemos que
$A\prod_{k=0}^{n}(-2)^{k} = q(0) = -1$
De modo que el resultado es la serie geométrica cuya suma es $2-2^{-n}$ .

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Jesús C

28/11/2011 23:42

JJGJJG, desde 0 hasta n tienes (n+1) ecuaciones.

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Pedro

29/11/2011 18:04

Es fácil demostrar por inducción que:

p_n(x)=(1/2^n)[1-(x-2^n)·p_(n-1)(x)]

tiene una definición única y cumple las condiciones del enunciado.

Después se obtiene fácilmente que p_n(0)=1+1/2+1/4+…+1/2^n

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Jesús C

29/11/2011 19:15

No me aclaro con el LaTeX, pero más o menos quedaría…

$p_1(x) = (-1/2) x + (3/2)$

$p_n(x)$ = $(1/2^n)$ [1-(x- $2^n$ )· $p_{n-1}$ (x)]

Sólo falta explicar cómo damos con esta fórmula para p…

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Paco

29/11/2011 22:33

Jordi, creo que no te funciona latex porque usas mayúsculas \Sum debes poner \sum y lo mismo con \Prod

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Nogrod

30/11/2011 00:03

Una forma basta de resolver es considerar el sistema de n+1 ecuaciones y encontrar los coeficientes del polinomio. Solo hay que invertir la matriz del sistema, aunque yo lo he intentado sin sacar nada limpio y seguro que habrá una solución más elegante.

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JJGJJG

30/11/2011 00:08

Jesus C, he sido víctima de un autoengaño. Por haber entendido mal el enunciado desde el principio. Por esos extraños mecanismos de la mente, la primera vez que lo leí creí que decía que k era menor que n y no menor o igual. Tu indicación de que había n+1 ecuaciones desde 0 hasta n me hizo leerlo de nuevo y se hizo la luz. Yo estaba tratando de resolver un problema distinto y así me ha ido. La próxima vez leeré con más cuidado. Reconozco que he sido como el conductor que ve a todos venir de frente y… Lee más »

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Jorge

13/12/2011 00:48

Primero defino el siguiente polinomio,

$Q(x)=2P(x)-P(x/2)$

se observa que tiene ceros en $x=2^k$ $\forall k \in \{ 1, \cdots , n\}$

por tanto será, para una cierta constante C,

$Q(x)=C \prod_{i=1}^n (x-2^k)$

la constante $C$ es el coeficiente principal de $Q(x)$ que, tal y como lo hemos definido, es $C=(2-2^{-n})a_n$ , siendo $a_n$ el coeficiente principal de $P(x)$