Vamos con el problema de esta semana:
Tenemos una circunferencia de radio
y un triángulo dentro de ella como muestra la figura:
El lado
del triángulo es un diámetro de la circunferencia y el punto
pertenece a la misma.
Sabiendo además que
, demostrar que los dos ángulos más pequeños de dicho triángulo miden exactamente
y
.
Ánimo, que no es difícil.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
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Me salen mal las cosas, además si el ángulo ACB es de 90 grados y los otros suman 25+75=100, la suma de los lados del triángulo es de 190 grados.
Te esta diciendo que es de 15° no de 25° personas tontas de ahora
Hola, OnyxlonVortex. Cómo sabes que es un triangulo rectángulo¿?
la suma de los ángulos de todo triangulo es 180º, entonces 180º-(75º+15º)=90º, entonces el triangulo es rectángulo.
@cdrman, creo que OnyxIonVortex tiene razón, porque si mal no recuerdo, la construcción del problema es un arco capaz (http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_capaz), con lo que el ángulo del vértice C son 90º.
Ups, perdón, me equivoqué. Quería decir
y 
. Lo cambio ahora mismo.
Gracias por el aviso.
Supondremos el círculo de radio 1 para simplificar (es evidente que por tratarse de proporciones no afecta a los ángulos). Si llamamos a los lados del triángulo y (nombrados de izquierda a derecha si se quiere, de nuevo da igual). Tenemos pues que el triángulo en cuestión tiene hipotenusa de longitud 2, y entonces por pitágoras (el tercer ángulo es recto como se observó arriba) Por otra parte la proporción de las areas nos dice: Sustituyendo en tenemos , o de manera equivalente: por lo que o . Evidentemente debemos coger la raiz positiva de cualquiera de estas dos soluciones.… Lee más »
Como ya se ha dicho, el triángulo es rectángulo en C, así que
. Además se cumple que 
, y un poco de trigonometría nos dice que
y
donde
es la altura trazada desde C. Combinando estas dos con 
se llega a
de forma que el cociente de las áreas es
De esta forma, el cociente vale
cuando 
, es decir, para 
ó 
.
$latex \big [
\Big [
\bigg [
\Bigg [
se \ me \ ha \ adelantado \ dani
\Bigg ]
\bigg ]
\Big ]
\big ]$
Aplicando la regla del ángulo inscrito, sale muy fácil:
. El arcoseno de 
es 30º (es de esos ángulos que te aprendes de memoria en el instituto).
= 15º, y el otro, su complementario, 75º.
Primero calculamos el área del triángulo, como base (diámetro de la circunferencia) por altura. Despejando del cociente que dice el enunciado, la altura del triángulo sale
Ahora bien, el angulo inscrito en una circunferencia es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Por tanto, el ángulo más pequeño es
Lo de Javier me parece lo más elegante, y no requiere trigonometría.
Acá agregué gráfico para que se entienda mejor
http://hjg.com.ar/varios/mat/triang.png
Del enunciado, trazando la altura h del triángulo y aplicando las fórmulas de las areas, sale inmediatamente que h = AB/4 o sea que la altura es la mitad del radio.
Entonces, prolongando h del lado de abajo, el triángulo que resulta (en rojo) es equilátero.
Luego su ángulo es de 60º, luego el ángulo AOC es 30º.
Luego, por la regla del ángulo inscrito que dice Javier el ángulo ABC es 15º
… o, si no conocemos la regla de ángulo inscrito, prácticamente la redescubrimos:
Sabemos que AOC=30º, entonces COB=150º, entonces los otros dos ángulos del triángulo COB deben sumar 30º… pero como son iguales, OBC=15º
Muy bien chicos.
Comento que lo saqué de Maths Challenge, donde se pueden encontrar tres formas de resolverlo.
Una pregunta. En el enunciado dice que la relación entre las dos áreas es de
. ¿De dónde sale este dato? Quiero decir, esta relación se cumple siempre pero, ¿Por qué? Porque aquí todos los cálculos se han hecho suponiendo este hecho.
Yo tengo otra manera de solucionarlo por potencia de un punto y arco capaz. Aunque realmente, la respuesta más ingeniosa es la de Javier aplicando la regla del angulo inscrito.
Alguien sabe dónde me puede bajar algún tutorial de LatEX para comenzar a hacer mis aportaciones.
@Jose: Ese cociente entre area del triangulo y del círculo es simplemente un dato del problema. SI se cumple esa relación, ENTONCES los ángulos del triángulo miden 15 y 75 grados.
Creo que ya lo demostraron antes pero aqui va mi demostracion (disculpen que no sepa usar LaTeX): 1) Siendo ABC un triangulo inscrito en el circulo, y teniendo los vertices A y B sobre un diametro entonces el angulo ACB es igual a 90 grados dado que el angulo central de ACB es una linea recta (diametro). 2) siendo A(circulo)=pi*R^2 y A(triangulo)=AB*h/2=2R*h/2=R*h siendo h la proyeccion de C sobre AB, entonces tenemos A(circulo)/A(triangulo) = (pi*R^2)/(R*h) = pi*R/h y a su ves igual a 2*pi entonces se deduce que R/h = 2 o bien R = 2h. 3) Sea O el… Lee más »
Hola, buenas noches. He intentado hacer el ejercicio sin mirar las soluciones que se han escrito ya. A ver si lo he hecho bien. Como verán no domino nada de LaTex. Nombramos lo ángulos de izquierda a derecha, alfa y beta. Como vemos el lado AB es equivalente al diámetro de la circunferencia, o lo que es lo mismo AB = 2R. A través de la igualdad que se nos da AreaTriangulo/AreaCircumferencia = 2PI. De eso sacamos que que la altura del triángulo es de R/2 (siendo R el radio de la circunferencia). Luego a través de la fórmula de… Lee más »
yo lo he resuelto distinto, primero del punto C bajo una perpendicular al lado AB que será mi altura H, luego de los datos dados obtengo que H=R/2, ahora prolongando esa altura H a la parte inferior del circulo, osea al lado opuesto de C horizontalmente obtengo una cruz por decirlo, ahora aplicando la regla de las cuerdas( triangulos semejantes) donde tengo que H*H=X*(2R-X), obtengo que X=(2R-(raiz de 3)*R)/2, y para el otro lado (2R+(raiz de 3)*R)/2, luego usando el teorema de pitagoras obtenemos para un angulo inferior 15 grados y para el otro 75 grados, y en ningun momento… Lee más »
Hola Galler
¿cual es la regla de las cuerdas? no la encuentro en internet.
Intentando entender tu desarrollo, para aplicar semejanza de triángulos, el ángulo C debe ser recto.
yo hice:
pi*R^2=pi*(AB/2)^2=pi*(AB^2)/4 superficie circulo
AC*BC/2 superficie triangulo
AC^2+CB^2=AB^2 por pitagoras
si: 8pi*(AB^2)/4)/(AC*BC/2)=2*pi
despejamos y queda: AB^2/(AC*BC)=4
reemplazamos: AC^2+CB^2/(AC*BC)=4
despejando nuevamente llegamos a: AC/CB + CB/AC =4
por lo cual reemplazamos por: Tg(B) + Tg(A)=4
y si calculamos Tg(15)+Tg(75)=4
podemos demostrar (pobremente) que los angulos miden 15º y 75º.
Para la último post se puede calcular haciendo un cambio de variable (t=tan(A)) i sabiendo que 90 – B = A: t + 1/t = 4. I nos da 75 i 15.
Hola gaussianos! acabo de ver el sitio y este problema en particular. Estudiando Latex pude escribir mi solución que es distinta a las entregadas por eso me atrevo a ponerla un saludo y su sitio rocks!! 1) ABC es un triangulo rectangulo dado que es diametro y esta en la semicircunsferencia ( angulo inscrito de un angulo recto). 2) el radio de la circunsferencia es 3) de la relacion de areas se tiene de esto ultimo se deriva que 4) como es un triangulo rectangulo tenemos de inmediato que combinandolo con 3 tenemos que 5) Manipulando 4 llegamos a la… Lee más »