Ecuación en enteros

Publicado por ^DiAmOnD^ | 17 agosto, 2010 | Juegos | 13 |

El problema semanal tiene un enunciado sencillo. Ya veremos si su resolución también lo es:

Determinar todos los enteros positivos $n$ tales que:

$\cfrac{1^3+3^3+5^3+ \ldots + (2n-1)^3}{2^3+4^3+6^3+ \ldots + (2n)^3}=\cfrac{199}{242}$

Suerte.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Bitacoras.com

17/08/2010 08:48

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: El problema semanal tiene un enunciado sencillo. Ya veremos si su resolución también lo es: Determinar todos los enteros positivos tales que: Suerte. Artículos relacionadosCalculando la suma Usando la regla y el compás Ca……

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josejuan

17/08/2010 10:13

Uhm… ¿ninguno?

PD: basta formar la ecuación de 3er grado ¿no?.

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orlin

17/08/2010 10:25

Creo que lo tengo:

El numerador es: $\Sigma_{k=1}^n (2k-1)^3 = \Sigma_{k=1}^{2n} k^3 - \Sigma_{k=1}^n 2^3k^3$

el denominador = $\Sigma_{k=1}^n 2^3k^3$ ,

ahora usando la fórmula para la suma de cubos: $\Sigma_{k=1}^{n} k^3 = (\Sigma_{k=1}^{n} k)^2 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ queda:

$\frac{(\frac{2n(2n+1)}{2})^2 - 2^3(\frac{n(n+1)}{2})^2}{2^3(\frac{n(n+1)}{2})^2}= \frac{n^2(2n+1)^2-2n^2(n+1)^2}{2n^2(n+1)^2}= \frac{(2n+1)^2}{2(n+1)^2}-1$ , pasando el 1 al otro lado $\frac{199}{242}+1 = \frac{441}{242}$ , llegamos a:

$(\frac{2n+1}{n+1})^2 = \frac{441}{121}$ , tomando la raiz cuadrada (n>0) queda: $\frac{2n+1}{n+1} = \frac{21}{11}$ , entonces:

$2n+1 = 21k$
$n+1 = 11k$
siendo $k$ entero positivo. El único $k$ que cumple ambas ecuaciones es $k=1$ , y de ahí
$n=10$ .

Faltaría demostrar que $\Sigma_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ , esto es relativamente sencillo (si te lo cuentan :D) o si llegarías a darte cuenta de que:
$1 = 1^3$
$3 + 5 = 2^3$
$7 + 9 + 11 = 3^3$
$\cdots$

y que $\Sigma_{k=1}^n (2k-1) = n^2$ .

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castilla

17/08/2010 10:25

Hola a todos. Creo que no es muy difícil (espero no haber metido la pata, claro). Allá voy.

La suma de los $p$ primeros cubos es $p^2(p+1)^2/4$ , como se puede ver por inducción. El caso inicial es trivial, vamos a ver que $p$ implica $p+1$ :

$\sum_{j=1}^{p+1} j^3=\sum_{j=1}^p j^3+(p+1)^3=\frac{p^2(p+1)^2}{4}+(p+1)^3=\frac{(p+1)^2(p+2)^2}{4}$ .

Vamos a calcular por separado la suma de los cubos de los pares y las de los impares:

$\sum_{j=1}^n (2j)^3=8\sum_{j=1}^n j^3=2n^2(n+1)^2$ .

$\sum_{j=1}^n (2j-1)^3=\sum_{j=1}^{2n}j^3-\sum_{j=1}^n (2j)^3=n^2(2n+1)^2-2n^2(n+1)^2=n^2(2n^2-1)$ .

Entonces el problema se reduce a resolver la ecuación

$\frac{2n^2-1}{2(n+1)^2}=\frac{199}{242}$

que es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son $10$ y $-32/43$ . Luego el único entero positivo que cumple la igualdad es $10$ .

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Vayapordios

17/08/2010 10:35

De segundo grado más bien. Luego, hay una única solución, el 10

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josejuan

17/08/2010 11:26

Si, bua, mezclé el índice…

Basta formar la ecuación directamente

$\frac{\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^{3}}{\sum_{i=1}^{n}(2i)^{3}}=\frac{1}{2}\frac{2n^{2}-1}{\left( n+1\right) ^{2}}=\frac{199}{242}$

tiene por soluciones

$-\frac{32}{43},10$

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ferran

17/08/2010 20:13

Otra forma de resolverlo es ver que el numerador mas el denominador ha de ser igual a un cuadrado triangular como es 199+242=21^2, luego el numerador debera llegar necesariamente a 19 por ser impar y el denominador a 20 por ser par. Saludos

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Tweets that mention Ecuación en enteros | Gaussianos -- Topsy.com

17/08/2010 20:20

[…] This post was mentioned on Twitter by gaussianos, Rodrigo S. Alfonso. Rodrigo S. Alfonso said: RT @gaussianos: Gaussianos.com: Ecuación en enteros http://bit.ly/9cJfSh […]

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Rafael

17/08/2010 22:51

Hola a todos.
Muy buenas las respuestas. Sólo añadir, por si alguien quiere verlo, la demostración sin palabras de la sumatoria de los cubos. La podéis encontrar en
http://laberintos.itam.mx/files/246.pdf ,
y seguro que en mil millones de sitios más (chispa arriba o abajo.)

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víctor

21/08/2010 18:35

Disculpad si la pregunta es estúpida, porque no soy matemático… Entiendo todo el razonamiento que seguís en las soluciones, salvo el paso en que desarrolláis el numerador, cambiando los índices del sumatorio. No sé por qué, no lo acabo de ver. Si es algún resultado conocido, me gustaría encontrar justificación igualmente, si fuera posible ^^

Muchas gracias!

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josejuan

23/08/2010 08:55

Víctor, probablemente te interese leer algo sobre series:

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_matem%C3%A1tica

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víctor

30/08/2010 16:27

¡Hola, josejuan! He estado revisando el artículo de wikipedia que me has pasado y sigo sin entenderlo. Sé que es una serie, y conozco los resultados de las sumas (hasta sabría demostrarlos por inducción, fíjate jajaja). Lo que no entiendo es, exactamente, el desarrollo de: Lo que me lía es el cambio de índices, que supongo que será algo habitual, pero no estoy demasiado acostumbrado a ello (lo he hecho en alguna demostración, como lo del binomio de Newton, pero ya). Es verdad que tampoco he cogido un papel y un lápiz. A malas, cuando tenga tiempo y no esté… Lee más »

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Rubén

31/08/2010 14:23

Victor: la idea es simple, queremos poner la serie finita de tal forma que podamos aplicar la fórmula de los cubos (Rafel: muy buen link «sin palabras»), y como faltan todos los términos con n par, tenemos que pensar en una diferencia para tener series completas.
$\textstyle{\sum^n_{j = 1} (2j-1)^3} =\scriptstyle{(1^3+3^3+\dots+(2n-1)^3)=(1^3+2^3+\dots+(2n-1)^3+(2n)^3) - (2^3+4^3+\dots+(2n-2)^3+(2n)^3)}=\textstyle{\sum^{2n}_{j = 1} j^3 - \sum^n_{j = 1} (2j)^3}$

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víctor

31/08/2010 16:29

¡Muchísimas gracias, Rubén! Más que clarísimo. Perdón, sé que es una tontería, pero se me atravesó cuando lo leí. Me avergüenzo de haberlo preguntado y todo…

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Pep Blasco

16/08/2016 16:16

La idea es muy similar a algunas respuestas anteriores. Sin embargo no hay que utilizar la formula del sumatorio del cubo de los impares.

Haciendo 242*(Sumatorio impares) -199*(Sumatorio pares) =0

de aquí sumando a ambos lados 441*(Sumatorio pares) nos sale

242* (Sumatorio total hasta (2n)) = 441*(Sumatorio pares hasta (2n))

aplicando las fórmulas llegamos a
$43 n^2-398 n-320=0$ y n=10

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