El número de oro (número áureo, proporción áurea…) puede definirse como la mayor solución real de la ecuación x^2-x-1=0. Concretamente, como seguro que muchos de vosotros sabéis, su valor es:

\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}

De este número ya hemos hablado por aquí en más de una ocasión: lo presentamos, también hablamos de él y su inverso y comentamos algunas de sus curiosidades.

Bien, pues éste no es el único número que merece un adjetivo relacionado con un metal precioso. En esta entrada vamos a presentar al número plateado (o número de plata) y también vamos a comentar algunas de sus curiosas e interesantes propiedades.

El número plateado

El número plateado se define como la mayor solución de la ecuación x^2-2x-1=0, que resulta ser:

\delta _S=1+ \sqrt{2}

Aunque también puede definirse mediante la preciosa fracción continua siguiente:

\delta _S=2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+ \ddots}}}}

Algunas propiedades de \delta _S

Posiblemente la principal razón por la que este número tiene un nombre relacionado con el número áureo es que al igual que la proporción áurea es el límite de los cocientes de números consecutivos de la sucesión de Fibonacci, esto es:

\phi = \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{F_{n+1}}{F_n}}

el número plateado es el límite de los cocientes de números consecutivos de la sucesión de Pell:

P_n=\left \{ \begin{array}{ccl} 1 & si & n=1 \\ 2 & si & n=2 \\ 2P_{n-1}+P_{n-2} & si & n \ge 3 \end{array} \right .

Es decir:

\delta _S=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{P_{n+1}}{P_n}}

La sucesión de Pell también puede definirse como los denominadores de las sucesivas aproximaciones a \sqrt{2} a partir de su fracción continua siguiente:

\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+ \ddots}}}}

Es decir, los denominadores de las siguientes fracciones:

  • \frac{1}{1}
  • 1+ \frac{1}{2}=\frac{3}{2}
  • 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{7}{5}
  • 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\frac{17}{12}
  • 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}=\frac{41}{29}
  • 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}=\frac{99}{70}
  • 1+ \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}}=\frac{239}{169}
  • \ldots

Por otra parte, también es muy interesante la relación existente entre \delta _S y el ángulo \textstyle{\frac{\pi}{8}=22,5^\circ}. Concretamente:

\begin{matrix} sen(\textstyle{\frac{\pi}{8}})=\sqrt{\frac{1}{2 \; \delta _S}} \\  cos(\textstyle{\frac{\pi}{8}})=\sqrt{\frac{\delta _S}{2}} \\  tg(\textstyle{\frac{\pi}{8}})=\frac{1}{\delta _S} \end{matrix}

Por ello también podemos definir el número plateado de la siguiente forma:

\delta _S=cotg(\textstyle{\frac{\pi}{8}})

Y para terminar comentar que tanto el número áureo como el número plateado son dos casos particulares de las denominadas medias metálicas entre dos números naturales, que se definen de la siguiente forma:

n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+ \ddots}}}}=\cfrac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}

Concretamente, el número áureo es la media metálica entre el 1 y el 2 (la expresión anterior para n=1) y el número plateado es la media metálica entre 2 y 3 (igual que antes, pero para n=2).

Fuentes:

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