Tal y como vimos en el artículo dedicado a la la paradoja de Russell, según la Wikipedia:

Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras simples, una paradoja es lo opuesto a lo que uno considera cierto.

En Gaussianos ya hemos visto algunos artículos sobre paradojas (al final adjunto enlaces a algunos de ellos).

En este artículo vamos a comentar otra paradoja, es decir, otro hecho que atenta contra la intuición. Vamos con el enunciado de la paradoja de la banda esférica:

Supongamos que disponemos de una esfera un millón de veces mayor que nuestro planeta. Y supongamos que la tenemos rodeada con una cuerda por su ecuador. Tomemos esa cuerda y aumentemos un metro su longitud. Volvamos a rodear la esfera de tal forma que la cuerda se eleve la misma distancia a lo largo de la misma. ¿Podríamos pasar un papel por ese hueco? ¿Podría deslizarse por él un mechero (unos 8 cm)?

En principio es probable que la mayoría de la gente diga que el hueco que se produciría sería tan pequeño que ni siquiera se podría pasar por él una hoja de papel.

Pero hay más:

Supongamos que ahora disponemos de una canica esférica rodeada por un hilo por su ecuador. Realicemos la misma operación: alarguemos un metro la longitud del hilo y volvamos a rodear la canica para que la separación entre ella y el hilo sea la misma. ¿Podremos pasar ahora una hoja de papel? ¿Y el mechero? ¿Y el mando a distancia de mi televisor (25 cm)?

Ahora es probable que la mayoría de la gente crea que se podría pasar el papel, el mechero y hasta el mando a distancia.

La paradoja consiste en que la separación que se produce en los dos casos es exactamente la misma. Es decir, que esta separación es independiente del radio de la esfera en cuestión. Vamos a verlo:

Supongamos que tenemos una esfera de radio R (vamos a suponer que la unidad de medida son metros). Como la cuerda pasa por el ecuador forma una circunferencia que también tiene radio R. La longitud de esta circunferencia es por tanto L=2 \pi R. Aumentemos la longitud en un metro. Tenemos por tanto una circunferencia de radio R+r, siendo r la distancia a la que queda la circunferencia nueva de la esfera inicial. La longitud de esta circunferencia es ahora L^\prime=2 \pi (R+r). Pero también podemos expresar esta longitud así: L^\prime=L+1 (recordad que la nueva longitud es la antigua aumentada en un metro). Igualando tenemos que L+1=2 \pi (R+r). Sustituimos L por su valor:

2 \pi R +1 =2 \pi (R+r)

Operamos:

2 \pi R +1 =2 \pi R + 2 \pi r

Simplificando obtenemos:

1=2 \pi r

Como podéis ver el radio de la esfera incial, R, ha desaparecido de la expresión. Por tanto no influye en el cálculo final. Despejamos r:

r= \cfrac{1}{2 \pi}

O lo que es lo mismo:

r=0,15915494 \ldots

Esto es, el radio aumenta 16 cm. Por tanto el hueco que queda entre la esfera y la circunferencia formada por la cuerda alargada un metro es de unos 16 cm independientemente del radio de la esfera inicial. Por tanto podemos meter una hoja de papel, un mechero pero no el mando a distancia sea cual sea el tamaño de la esfera de la que partimos.

¿Qué pensabais vosotros antes de ver la solución? ¿Alguien se anima a probarlo en la realidad?

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