En matemáticas, muchas veces intentamos encontrar reglas generales a partir de ciertos valores que poseemos o de ciertos resultados que obtenemos. En unas ocasiones «acertamos», refrendando nuestro «acierto» con una demostración (recordad: una creencia no es una demostración), pero en otras fallamos estrepitosamente (recordad: la intuición puede jugarnos una mala pasada). La cuestión que nos ocupa podría encuadrarse en este último caso: se trata de las integrales de Borwein.

Vamos a ver de qué va todo esto. En lo que sigue vamos a tratar con la función \cfrac{sen(x)}{x}, para x \ne 0, definiéndola como 1 para x=0 si fuera necesario. Lo primero que queremos hacer es calcular la siguiente integral:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \; dx}

Se trata, como veis, de una integral impropia. Podéis intentar resolverla con las técnicas habituales de cálculo de integrales, pero no podréis. Y la razón es muy sencilla: la función con la que estamos tratando no tiene primitiva elemental. El caso es que con análisis complejo sí que se puede calcular su valor. En este caso obtendríamos que

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \; dx}=\cfrac{\pi}{2}

Multipliquemos la función por \frac{sen(x/3)}{x/3} y calculemos su integral. Aquí os voy a dar directamente el resultado. Es:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \; dx}=\cfrac{\pi}{2}

Mismo resultado que la anterior, curioso. ¿Y si multiplicamos la anterior por \frac{sen(x/5)}{x/5}? Pues obtenemos esto:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \cfrac{sen(x/5)}{x/5} \; dx}=\cfrac{\pi}{2}

De nuevo el mismo resultado. ¿Y a que no imagináis qué ocurrirá si multiplicamos la función anterior por \frac{sen(x/7)}{x/7} y calculamos la integral? Pues aquí lo tenéis:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \cfrac{sen(x/5)}{x/5} \cdot \cfrac{sen(x/7)}{x/7} \; dx}=\cfrac{\pi}{2}

También \pi/2, inquietante…

¿Qué pasaría si metemos la función correspondiente al 9? Lo esperado:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \ldots \cdot \cfrac{sen(x/9)}{x/9} \; dx}=\cfrac{\pi}{2}

¿Y si metemos la del 11? Ahí va:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \ldots \cdot \cfrac{sen(x/11)}{x/11} \; dx}=\cfrac{\pi}{2}

¿Y añadiendo la del 13? Exacto:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \ldots \cdot \cfrac{sen(x/13)}{x/13} \; dx}=\cfrac{\pi}{2}

¿E incluyendo la del 15? Pues…

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \ldots \cdot \cfrac{sen(x/13)}{x/13} \cdot \cfrac{sen(x/15)}{x/15} \; dx}=\cfrac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi

valor que es algo menor que \pi/2 (aproximadamente 2 \cdot 10^{-11}).

Esto…¿?¿?¿?¿?¿? ¿Qué ha ocurrido? ¿De dónde viene esta rotura tan brusca de la armoniosa regularidad que parecían seguir estas integrales?

Como es evidente, éstas son las conocidas como integrales de Borwein. En 2001, David y Jonathan Borwein (padre e hijo respectivamente) publicaron Some remarkable properties of sinc and related integrals en The Ramanujan Journal. En dicho trabajo estudiaban estas integrales y, entre otras cosas, descubrían esta curiosa propiedad. Concretamente demostraban que las citadas integrales tenían como resultado \pi/2 mientras la suma de los valores que multiplican a x (exceptuando el primero, 1) fuera inferior a 1. Efectivamente, se tiene que

\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{13}=0.95513375 \ldots < 1

pero

\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{13}+\cfrac{1}{15}=1.02180042 \ldots > 1

Por eso al añadir la fracción correspondiente al 15 la integral deja de valer \pi/2.

Decía hace un momento que en su trabajo los Borwein descubrieron esa propiedad entre otras cosas. Con otras cosas me refería al descubrimiento de una propiedad del estilo para unas integrales del estilo a las anteriores. Concretamente para las integrales que se obtienen de las comentadas anteriormente al multiplicar las funciones por cos(x). Se tiene lo siguiente:

\displaystyle{\int_0^{\infty} cos(x) \cdot \cfrac{sen(x)}{x} \; dx}=\cfrac{\pi}{4}

\displaystyle{\int_0^{\infty} cos(x) \cdot \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \; dx}=\cfrac{\pi}{4}

\displaystyle{\int_0^{\infty} cos(x) \cdot \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \cfrac{sen(x/5)}{x/5} \; dx}=\cfrac{\pi}{4}

Y así sucesivamente hasta

\displaystyle{\int_0^{\infty} cos(x) \cdot \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \ldots \cdot \cfrac{sen(x/111)}{x/111} \; dx}=\cfrac{\pi}{4}

Peeeeeeero

\displaystyle{\int_0^{\infty} cos(x) \cdot \cfrac{sen(x)}{x} \cdot \cfrac{sen(x/3)}{x/3} \cdot \ldots \cdot \cfrac{sen(x/113)}{x/113} \; dx} < \cfrac{\pi}{4}

Lo que demostraron en este caso es que las integrales daban como resultado \pi/4 mientras los valores que multiplican a x (también exceptuando el 1, como antes) sumen menos de 2. Y tenemos que

\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7}+ \ldots + \cfrac{1}{111}=1.99443750 \ldots < 2

pero

\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7}+ \ldots + \cfrac{1}{111}+\cfrac{1}{113}=2.00328705 \ldots > 2

En realidad, en el paper de los Borwein enlazado antes no aparece este segundo problema en la forma descrita aquí, pero sí en una forma parecida. En dicho paper tenéis demostraciones de ambos resultados. La manera en la que aquí se describe el caso del segundo tipo de integrales está sacado del trabajo Two curious integrals and a graphic proof, de Hanspeter Schmid, donde también podréis encontrar demostraciones de los dos resultados comentados aquí.

Por cosas como éstas, y por muchas otras, es por lo que amo a las matemáticas. Por eso la imagen que encabeza este post, y por eso también artículos cómo éste.

Escribir un artículo sobre las integrales de Borwein estaba en cartera hace tiempo, pero me lo recordó esta publicación en The Math Kid. Si os ha interesado el tema, podéis echarle un ojo a otros papers que he encontrado cuya temática está relacionada con todo esto:

Esta entrada participa en la Edición 6.6: números vampiro del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scire Science.

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