Introducción

Leonhard Euler
El problema de Basilea
Aunque en el anterior artículo que escribí sobre este tema ya se comentaba en qué consistía el problema no está de más recordarlo:
El problema de Basilea consiste en calcular la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales, es decir, dar el valor de la siguiente serie:
Sabemos por dicho artículo que esta suma vale:
Como hemos comentado antes la demostración de este hecho que se desarrollaba en esa entrada no es ni mucho menos la única que se conoce. El mismo Euler dio varias demostraciones más de este problema. En la actualidad poseemos varias demostraciones más que utilizan técnicas más modernas. Por ejemplo, Apostol publicó un 1983 una demostración utilizando integrales dobles, también se conocen varias demostraciones que utilizan series de Fourier y hasta existe una demostración basada en trigonometría (posiblemente la más elemental que se conoce) que aparece en el libro Proofs from THE BOOK.

Antonio Córdoba Barba
Teorema:
Demostración:
Partimos del valor de la función zeta de Riemann en 2 (que es precisamente la suma que queremos calcular) y desarrollamos su expresión:
Despejando obtenemos lo siguiente:
Por otro lado tenemos lo siguiente:
Sustituyendo en la suma anterior, agrupando las dos integrales simples en una doble e intercambiando dichas integrales y la suma llegamos a lo siguiente:
Sabemos calcular el valor de la suma que ha quedado dentro de las integrales, ya que es una serie geométrica:
Utilizando este hecho en el paso anterior y la simetría de la integral doble resultante obtenemos lo siguiente:
En consecuencia el cálculo de ha quedado reducido al cálculo de esta última integral doble. Para ello vamos a realizar un cambio de variables, en concreto el siguiente:
Debemos calcular la matriz jacobiana del cambio de variables y su determinante. Dicho cálculo queda como sigue:
(En este artículo del blog The Unapologetic mathematician y en los posteriores podéis ver explicaciones y demostraciones sobre el cambio de variables en integrales dobles.)
Al aplicar el cambio de variables debemos cambiar también los límites de integración según dicho cambio:
Sustituyendo todos estos datos en la integral doble anterior llegamos a la siguiente expresión:
Y operando en ella obtenemos lo siguiente:
Realizando ahora operaciones con las funciones trigonométricas hiperbólicas que aparecen en el denominador de la fracción llegamos a la siguiente integral doble:
Realizamos ahora otro cambio de variables en esta integral. En esta ocasión es el que sigue:
Calculamos ahora el determinante de la matriz jacobiana como el inverso del determinante del jacobiano del cambio inverso:
Sustituyendo el cambio en la integral doble tenemos:
Calculamos ahora esta integral:
Ahora sustituimos este resultado en la expresión anterior y llegamos al resultado buscado:
Fuentes:
- El problema de Basilea: artículo de Rafael Granero aparecido en La Gaceta de la RSME, Vol. 12, nº 4, Año 2009.
- Demostración de Antonio Córdoba Barba enviada por nuestro lector Daniel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Introducción Leonhard Euler Hace ya bastante tiempo (más de tres años) os hablé del problema de Basilea y os mostré una demostración de la misma. Evidentemente no es la única que se conoce. De hecho la que podéis ver en…
La prueba elemental trigonométrica que indicas la expusimos en los comentarios de https://gaussianos.com/sumas-cuadraticas-trigonometricas/
Creo recordar que hay otro modo de hallar el valor por integración, pero en una única variable (haciendo unos cambios de variable aún más rocambolescos). A ver si la encuentro y la comento…
No había visto las dos pruebas dadas en ese post que señalas, M. Muy ingeniosas, me encantaron las dos! Ya hay cuatro demostraciones circulando por el blog, y cada una completamente distinta de la otras.
fantástico!
Hay un pdf por ahí de Robin Chapman que recopila 14 pruebas diferentes. Incluye la trigonométrica y una al estilo de la de Córdoba. A ver si a la noche encuentro la otra prueba que decía…
Esta demostración es un poco complicadilla para mí, yo conocía una basada en el desarrollo del seno creo.
A gaussianos: ¡Que casualidad! este articulo viene a cuento a lo de pi que te he mandado
Gostei muito da vossa exposição da demonstração de Antonio Córdoba Barba. Informação: um dos artigo de Tom Apostol é «A Proof that Euler Missed: Evaluating the Easy Way», no «The Mathematical Intelligencer» vol. 5, no. 3, 1983, Springer-Verlag. Publiquei (link no fim), em Dezembro 8, 2007, esta demonstração: Cálculo da soma da série dos recíprocos dos quadrados perfeitos pelo método da série trigonométrica de Fourier. A série foi somada, pela primeira vez, por Euler: Uma forma de justificar esta fórmula recorre à análise de Fourier. Há vários métodos, mesmo mantendo-nos nós sempre dentro da análise de Fourier. Por exemplo, um… Lee más »
Para mim a prova mais espectacular, usando mudanças de variáveis é esta:
Ver Dan Kalman, «Six ways to sum a series, The College Mathematics Journal», Vol. 24, No. 5, Nov. 1993
http://www1.math.american.edu/People/kalman/pdffiles/Sixways.pdf
Y como colofón a los dos posts sobre el problema de Basilea ¿qué te parece un tercero sobre «los otros problemas de Basilea»? es decir
queria decir
etc…
Jones, Francisco,
Pretende saber
Se sim, é
Meu comentário anterior não entrou: a segunda série dá (pi^4)/90.
Aparece a mensagem: «comentário duplicado»
Américo, puedes comprobar esta integral que pones en tu texto?
A mí me sale:
¿De dónde sale el
del coeficiente
?
Jones, sim, vou ver o que se passa.
Jones, Francisco
Correcção:
e
Obrigado, Francisco, pela sua leitura atenta!
jejeje y van cinco ya!
en vez de
, verdad? arrastras esto dentro de las integrales después.
Américo, quisiste escribir
Dani
Sim.
Sim, já vão cinco! Sexta-feira tinha-lhe dito que você era rápido …, mas só foram três!
Que yo sepa, la suma de las series 3-armónica y 5-armónica no se conocen. ¿Me equivoco?
(Me ha encantado la demostración de Antonio Córdoba).
Ñbrevu,
A série de termo geral
converge (é a chamada constante de Apéry, em homenagem a Roger Apéry, que provou que era irracional), mas a de termo geral
, ou em geral, as de termos gerais
(com
) são convergentes, mas não se sabe se para números irracionais.
¿Cuál es la quinta prueba? A mi entender la prueba de Américo y la de Eze M son la misma.
Por otro lado he estado buscando la supuesta prueba que indicaba en el segundo comentario del post y no ha aparecido. Y creo que no ha aparecido porque en realidad coincide con la del post o con alguna variante de las muchas que hay.
M
Sim, a minha é a mesma de Eze M | 28 de Febrero de 2008 | 21:05.
Con respecto a las potencias impares, hay una propiedad muy curiosa:
donde
son los coeficientes del desarrollo de taylor de la secante:
.
Hola, ¿me gustaría saber de dónde has sacado esta fórmula? Me interesa ver una demostración de ella. Un saludo.
M
Se fiz bem as contas, então
Está certo?
Bonita demostración!
Ñbrevu: la suma de los inversos de potencias impares no es que no se conozca, si no que no parece que haya ninguna manera sencilla de expresarlo en función de «números conocidos» (pi, e, algebraicos, etc.). Según cómo lo mires, el número pi^2/6 tampoco lo conocemos, puesto que de decimales tiene unos cuantos… sin embargo, admite una representación en función del número pi que, a nuestros ojos, parece más cómoda.
He encontrado que seis veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia de un círculo de diámetro 1.
Euler.
En general, para
la serie
es convergente (se puede comprobar usando el criterio de comparación con la serie protagonista de este artículo).
Y sí, no se conoce la suma de la serie
De hecho to también tenía entendido que la cosa no tenía buena pinta en lo que se refiere a expresarla de una manera, digamos, reconocible.
¿Alguien tiene alguna información sobre avances en el estudio de esta serie?
^DiAmOnD^
Os avanços mais significativos são os dos Matemáticos Wadim Zudilin (http://wain.mi.ras.ru/index.html) e Tanguy Rivoal (http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/).
Veja lista Zeta values on the Web
http://wain.mi.ras.ru/zw/index.html
compilada por Zudilin.
Gerard
Sabe-se que
é irracional.
Constante de Apery, zeta(3).
Constante de Apéry, zeta(3):
http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Ap%C3%A9ry
Al final de esta interesante página hay mas referencias sobre zeta(3):
http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html
Meu comentário de 11 de Enero de 2010 | 23:26
Digo:
No seu blogue o matemático brasileiro Carlos Matheus publicou, em 7 de Outubro de 2008, a este respeito o artigo
A solução de L. Euler para o problema de Basel
URL: http://cmssmatheus.wordpress.com/2008/10/07/a-solucao-de-l-euler-para-o-problema-de-basel/
[…] famosa suma del problema de Basilea (y II) descubierta por Leonhard […]
ONTEM, dia do pi (14.03.2010), publiquei: « Aproveitando o facto de ser dia do , vou expor um resultado descoberto por Euler relacionado com o , apresentando não a demonstração de Euler, mas uma baseada na integração pelo método de substituição, no qual o jacobiano da transformação, que constitui uma generalização da derivada de uma função de uma única variável real, desempenha um papel fundamental. Neste caso os integrais usados são duplos, por se utilizarem duas funções de duas variáveis reais. O jacobiano da transformação que será usada, uma simples rotação de eixos, é igual a 1. Euler descobriu que… Lee más »
[…] famosa suma del problema de Basilea (y II) descubierta por Leonhard […]
¡¡ojala los problemas de AHORA fueran tan FACILES 😀
sin duda una obra de arte de EULER, aunque cuesta creer qeu genios como NEWTON o similares NO pudieran resolver el problema
[…] Esta demostración es bastante interesante, pero si miramos el trasfondo de la misma, vemos que se usa bastante teoría: Representar como un producto nos lleva un rato, la demostración de irracional, nos quita un buen rato. Demostrar que … nos quita otro buen rato. De hecho es el famoso problema de Basilea (Véase: El problema de Basilea, El problema de Basilea II) […]
¡¡¡Me voy a volver loco leyendo este blog!!! O.o
[…] con el infinito, entre las que se encuentran la leyenda del ajedrez, el problema de Basilea (y II), la diagonalización de Cantor o el conjunto de Mandelbrot. Espero que os gustara a quienes la […]
[…] […]
Esta segunda parte ( y sus comentarios) me ha resultado bastante más dificil que la anterior.
Para completar bibliografía y acceder a documentos sobre el tema recomiendo:
http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2014/11/problema-de-basilea.html
[…] quita otro buen rato. De hecho es el famoso problema de Basilea (Véase: El problema de Basilea, El problema de Basilea II) […]
Aquí otra bella interpretación al Problema de Basilea…
https://plus.google.com/u/0/+JonasCastilloToloza/posts/LgAigdPDr1y