Hoy día 14 de marzo se celebra mundialmente el día de Pi, por ser su notación en algunos países, 3-14, una aproximación de dicho número.
Del número Pi sabemos muchísimas cosas: es irracional (y II) y trascendente, es protagonista de muchas fórmulas conocidas (como en áreas y volúmenes de figuras sencillas como la esfera), aparece en cuestiones relacionadas con probabilidad (como aquí), está relacionado con el conjunto de Mandelbrot, forma parte de la identidad de Euler…
…pero también hay cosas que no sabemos. Hoy vamos a comentar una de ellas, posiblemente la más importante.
No sabemos si el número Pi es un número normal en base 10
Un número normal en una base es un número real que cumple que las cifras de su expresión decimal en dicha base siguen una distribución uniforme. Es decir, todos los números de una cifra aparecen en dicha expresión en la misma proporción, y lo mismo ocurre con los números de dos cifras, con los de tres, etc.
Bien, pues a estas alturas no se sabe si el número Pi es un número normal en base 10 (y de hecho, hasta donde yo sé, no se sabe si lo es en alguna otra base). Se conjetura que la respuesta a esta cuestión es afirmativa, pero no se ha podido demostrar, y tampoco se ha podido demostrar lo contrario.
Sin embargo, sí se sabe que otros números son normales en base 10, como el número de Champernowne
cuyos decimales se obtienen concatenando los números enteros positivos, o el número de Copeland-Erdös
cuyos decimales son la concatenación de los números primos.
¿Será el número Pi un número normal en base 10? Pues estadísticamente es lo más probable, ya que el conjunto de los números normales en base 10 es mucho mayor que el conjunto de los no normales (aun siendo ambos conjuntos infinitos), aunque evidentemente esto no demuestra nada.
Recomiendo leer el artículo No es seguro que todo el universo esté contenido en Pi, pero sí en otros números, de David Orden, en el que habla sobre este tema y proporciona muchos enlaces con información adicional.
Bonus: un par de cuestiones más que no conocemos sobre el número Pi
Y para terminar este artículo os dejo un par de cuestiones más que tampoco conocemos sobre esta maravilla de constante matemática que es el número Pi:
- ¿Son los números
,
y
irracionales?
Tanto
como
son irracionales (sobre lo segundo tenéis una demostración aquí y otra aquí), y de hecho se sabe que son trascendentes (del segundo podéis ver una prueba aquí), pero no se sabe si
y/o
son también irracionales (y mucho menos si son trascendentes). No parece fácil demostrar si es cierto o falso que lo sean, pero ahí queda por si alguien quiere intentarlo.
Lo mismo ocurre con
. Se sabe que el logaritmo decimal de un número racional es un número entero o un número irracional, pero no se sabe qué ocurre con
. Otro problema (difícil) que podéis atacar si os veis con ganas.
- ¿Está la constante de Apéry relacionada con el número Pi?
El problema de Basilea consiste en calcular el valor de la suma de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos. Es decir, al cálculo del valor de la siguiente suma infinita:
Leonhard Euler determinó que el valor de dicha suma es
(aquí tenéis otra demostración). Pero Euler hizo más: determinó los valores de las sumas correspondientes a los inversos de las potencias cuartas, sextas, y así hasta ¡¡26!! de los enteros positivos…y resultó que todas se relacionan de alguna forma con el número Pi. Por ejemplo:
Pero Euler no dijo nada sobre los inversos de las potencias impares. De hecho ni siquiera se sabe cuál es el valor para exponente 3. Es decir, no se conoce el valor de la siguiente suma:
que se denomina constante de Apéry, porque fue Roger Apéry quien demostró en 1977 que el resultado de esta suma infinita es un número irracional.
Teniendo en cuenta que parece que los valores para exponente par se relacionan todos con el número Pi (aunque ahora mismo no sé si hay algún resultado que afirme esto para todo exponente par), no es descabellado pensar que para potencias impares pudiera pasar lo mismo. Ahora, no se sabe nada sobre ello, ni afirmativa ni negativamente. ¿Lo sabremos algún día? Esperemos que sí.
Seguro que algunos de vosotros sabéis de más cuestiones relacionadas con el número Pi que siguen sin tener respuesta. Tenéis lo comentarios para contárnoslas.
La primera imagen de Pi la he tomado de aquí y la segunda de aquí.
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[…] No sabemos si el número Pi es un número normal en base 10 […]
Hay una cuestión abierta muy importante en teoría de números trascendentes sobre π que no mencionas. Se sabe que π no es un U-número, pero se desconoce si es un T-número o un S-número. Y una clasificación de π en uno de esos dos conjuntos sería un bombazo matemático por la cantidad de números que arrastraría con él a su subconjunto trascendente.
Muy buen post, como siempre 🙂 Dices que no sabes si la serie que suma los inversos de las potencias de exponente par de los naturales se relaciona siempre con el número pi. A mi me sonaba que sí (con el número pi y con los números de Bernouilli) y buscando por ahí he encontrado en http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html esta fórmula:
válida para todo n natural par, y donde
es el n-ésimo número de Bernouilli.
Información Bitacoras.com
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En términos de la función zeta:

donde n es natural, etc. y B_k son los números de Bernoulli
Ahora sí, digo que estaría bien una demostración de esto!
[…] Gaussianos […]
Una consulta «Fractalon», qué son U-S- y T-Números?. Si tenes alguna web sugerida dónde buscar información, porque me llamo la atención y no encontre nada en la web, gracias.
log(PI) es irracional Demostración (breve y sencillita): —- Supongamos que es racional: log(PI) = n/d Entonces: PI = 10^(n/d) Pero esto contradice que PI sea trascendente !!! Demostrado. —- Ya que PI sería la raíz d-ésima de 10^n y, por tanto, solución de la ecuación polinómica x^d = 10^n … o un cero del polinomio P(x) = x^d – 10^n (siendo n entero, 10 elevado a n es entero, luego este polinomio es de coeficientes enteros así que PI no sería trascendente) Nota: para todo esto he entendido que log(x) es el logaritmo decimal (en base 10) de x… como… Lee más »
Aquí tenéis una selección de constantes matemáticas, que va creciendo cada semana.
Por lo menos, la tercera parte de las constantes están relacionadas con Pi.
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Constantes_matem%C3%A1ticas
Buena entrada, como siempre. Este mes de marzo ha salido un artículo divulgativo en American Mathematical Monthly sobre este asunto de la normalidad de
:
http://www.maa.org/news/just-in-time-for-pi-day
No nos olvidemos que el año que viene sera el día pi de mayor aproximación del siglo… 3-14-15.
Leonardo,
la mejor aproximación de PI con 4 decimales es 3.1416
Así que el día de mayor aproximación del siglo será dentro de 2 años, el 14 de marzo de 2016
El año que viene, aunque no sea de mejor aproximación sería la única fecha del siglo (en formato estadounidense: mes-día-año) que tendrá los primeros decimales exactos de PI.
Este comentario es para Vasko y todos aquellos a los que les interese el tema de la clasificación de los trascendentes. En realidad la clasificación se hace sobre todos los complejos añadiendo el conjunto de los A-números (los algebraicos; pero esto requiere una demostración sencilla). Yo, personalmente, nunca he encontrado nada en castellano sobre esta clasificación; quizá no haya buscado bien o no lo haya necesitado. En cualquier tratado sobre teoría de números trascendentes se puede encontrar información sobre esta clasificación, llamada clasificación de Mahler. Los conjuntos A, S, T y U cumplen que son disjuntos y su unión da… Lee más »
[…] – La cuestión más importante que aún no se ha respondido sobre el número Pi […]
Acido… depende de qué método estemos usando para aproximar. Si redondeamos, entonces es mejor aproximacion la que decís vos.
Pero tambien existe truncar, y truncando pi hasta cuatro decimales queda 3,1415. Aunque luego venga un 9.
Lo que quiero decir es que «la mejor aproximación» no tiene por qué ser la que está mas cerca del numero.
Por ejemplo, en una competencia para ver quien recuerda mas cifras de pi, si vos decis 3,1416 y yo digo 3,1415, gano yo.
Pues yo llevo toda la vida trajinando con el número pi y aún no me he desenvuelto de su contradictoria definición; esto es, si no es racional ¿por qué lo representamos como el resultado de una razón entre el diámetro y la periferia de una circunferencia? ¿O como una suma de razones? ¿O como una razón anidada? ¿O…? Y es más, y por dar un ejemplo, si la circunferencia es un caso particular de una elipse en el que coinciden los focos y etc etc… ¿existe algo así como una función de un pi elíptico? En fin…, yo no entiendo… Lee más »
Odarbil, Para entenderlo hay que conocer la definición de número racional. Número racional: aquel que puede expresarse como cociente (o razón) entre dos números ENTEROS. Por tanto, decir que PI es irracional significa que no puede expresarse como razón de dos enteros. Tú dices «no lo entiendo, porque PI es la razón entre el Perímetro y el diámetro de cualquier circunferencia» … Pues la conclusión es que si el perímetro de una circunferencia es ENTERO (por ejemplo, 31416 metros) el diámetro no será nunca entero (en el ejemplo será cercano a 10000 pero no exactamente 10000 sino un poquito más)…… Lee más »
Estaba en busca de información sobre el número Pi, interesante el dato del día de éste grandioso número. Excelente artículo amigos.
Yo poseo una demostracion de la irracionalidad de la funcion zeta para los valores impares pero reuiere de ciertos ajustes mas para demostrarse y del significado de los numeros de bernoulli en las matemáticas
DEMOSTRACIÓN DE LA IRRACIONALIDAD DE (π . e). (POR REDUCCIÓN AL ABSURDO). Sabemos que 8 < π . e < 9. Supongamos que π . e es un número racional periódico. Sea π . e = 8, d1d2..dL … , donde d1d2..dL es su período. Se define el conjunto R2, cuyos elementos son los racionales que se forman al agregar uno a uno dígitos decimales de e. R2 = (E1, E2, E3, E4, … ), donde E1 = 2,7 ; E2 = 2, 71; E3 = 2, 718 ; E4 = 2, 7182; Etc. Definimos ahora el conjunto I ,… Lee más »
Había que escribir después de la décima línea: Sea c = k.L, donde k es un entero positivo. Si se escoge un elemento de R2 con un número i de dígitos suficientemente grande, se puede obtener un Ii tal que : π.e – π. Ei = 0, 0000..00N1N2… , donde el número de ceros inmediatamente después de la coma y antes del primer dígito no nulo N1, es (c+1). De modo que π.e = π.Ei + 0, 0000..000N1N2… ………………….(1). Como π.Ei es un irracional, sea π.Ei = 8, 1i2i3i4..ic ic+1i … , donde 1i2i3i4..ic ic+1… es su desarrollo decimal irracional… Lee más »