La función factorial de un número entero no negativo es bien conocida. Se conoce ya en últimos cursos de Bachillerato y en cualquier carrera de ciencias suele aparecer con cierta frecuencia. De forma recurrente podríamos definirla de la siguiente forma:
Si
:
Es decir, el factorial de es
(
) y el factorial de un número entero mayor que
es el propio número multiplicado por el factorial de número entero anterior (
). Resumiendo y simplificando algo el tema podemos decir que
, o lo que es lo mismo,
es el producto de todos los números naturales desde
hasta
. Por ejemplo:
Interesante función. Pero con una enorme limitación: como hemos dicho sólo puedo calcular el factorial a número enteros no negativos. Sí, son muchos, de hecho hay infinitos, pero aún así la cosa queda algo corta. ¿Qué pasa con los números racionales? ¿Y los irracionales? ¿Y los complejos?
En este post vamos a ver una función que nos servirá como generalización de esta función factorial: la función Gamma
La función Gamma
La función Gamma se define para todo número complejo cuya parte real positiva de la siguiente forma:
Esta definición puede extenderse , siendo
el conjunto de los números enteros negativos.
Vamos a ver algunas propiedades de esta función:
Propiedades
(consecuencia de la propiedad anterior)
(consecuencia de la propiedad anterior)
Generalización del factorial
La propiedad 2. es la que nos indica la generalización del factorial a través de esta función. Vamos a demostrarla:
Utilizando integración por partes, siendo y
. Por tanto
y
y nos queda:
El primer término vale (fácil verlo con un sencillo límite) y el otro término, sacando
de la integral, es
. Por tanto:
.
Otras definiciones alternativas de esta función y otras propiedades no listadas aquí pueden verse en Gamma Function en la Wikipedia (en inglés). Por ejemplo, podremos ver la relación de esta función con la constante de Euler-Mascheroni .
Hay muchos más sitios donde aparece la función . Os dejo a vosotros que nos habléis de ellas en los comentarios.
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Me gustaría saber si hay algún método para calcular la función Gamma para cualquier argumento.
En relación a la fórmula de duplicación de Legendre
, indicar la también curiosa fórmula de triplicación:
y en general la fórmula de multiplicación de Gauss
Otra curiosidad es que la fuinción gamma es analítica en todo el plano complejo menos en los enteros negativos, de tal forma que en el punto
tiene residuo igual a 
Y lo mejor (a mi entender) es la relación con la función zeta de Riemann
, que permite extender a ésta a todo el plano complejo exceptuando el punto
:
En Wikipedia
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma
se puede encontrar una aplicación de la función Gamma muy sorprendente. Se trata de una extensión del concepto de derivada al cálculo de la derivada 1/2 de funciones del tipo
Amigos estoy buscando informacion sebre la representacion integral de hankel…bueno el cual define la funcion gamma para complejos,pero …cual es la regla de correspondencia…….lees dejo mi correo ,,,,aver si ayudan.gracias bye
ha mi correo es juan_fiee25@hotmail.com …para cualquier preguntas……..sobre ciencia…….
y la generalizacion del factorial a numeros negativos?? se q se puede hacer, xo no m acuerdo…
Creo que es mejor decir que la función Gamma interpola al factorial (es decir su gráfica pasa por los puntos de la gráfica de n!) en lugar de generaliza al factorial. ¿Qué sería, por ejemplo, el factorial de cualquier real x con 3< x < 4? La definición de factorial necesita de “sucesores” que se dan en la relación de orden usual de los reales pero sólo en el subconjunto Z y no en los racionales y a fortiori no en los reales (lo que se puede hacer es definir para cada real x una función F “pseudo- factorial” por… Lee más »
[…] La función Gamma: una generalización del factorial (1) […]
curiosamente sobre la funcion gamma y zeta tenemos que
Amigo, me pregunto si existe alguna relación del factorial n! con una serie digamos p = 1.3.5.7.9. ….p ?
mi correo es jorge.ayllon@yahoo.es
Gracias
A ver, pues: ¿cuánto es
y cuánto es
?
Mi nombre es Edgar _Rene Hernandez Martinez Profesor de la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Pregunta: Existe una manera formal de extender el dominio de una función, en este caso la función factorial:
! : N en N
cuyo domminio son los naturales.
al intervalo infinito x>0.
Como se escribe formalmente esto.
Es más, ¿Como se define la extension del dominio de una funcion?
Me parece sumamente fascinante como conceptos aparentemente rebuscados aparecen como con frecuencia en eventos naturales, en este caso, algunos eventos aleatorios pueden predecirse usando la distribución gamma, que, a su vez, involucra a esta función gamma.
Crees que se pueda hallar el factorial de un número como 123456789? he estado intentando desmotrarlo e intentando hacerlo pero nda
¡Muy bien explicado gracias!
Se puede hallar la funcion Gamma para cualquier paràmetro? En concreto, se puede para p=2/3 o 4/3
en una pregunta de un eamen me pidieron demostrar que dado t>0 existe M>0 tal que [x^(t-1) . e^(-x)] M (aca es mayor o igual) pero no supe como hacerlo