La función factorial de un número entero no negativo es bien conocida. Se conoce ya en últimos cursos de Bachillerato y en cualquier carrera de ciencias suele aparecer con cierta frecuencia. De forma recurrente podríamos definirla de la siguiente forma:

Si a_n=n!:

a_0=1
a_{n+1}=(n+1) \cdot a_n

Es decir, el factorial de {0} es 1 (0!=1) y el factorial de un número entero mayor que {0} es el propio número multiplicado por el factorial de número entero anterior ((n+1)!=(n+1) \cdot n!). Resumiendo y simplificando algo el tema podemos decir que n!=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1, o lo que es lo mismo, n! es el producto de todos los números naturales desde n hasta 1. Por ejemplo:

3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6
5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120

Interesante función. Pero con una enorme limitación: como hemos dicho sólo puedo calcular el factorial a número enteros no negativos. Sí, son muchos, de hecho hay infinitos, pero aún así la cosa queda algo corta. ¿Qué pasa con los números racionales? ¿Y los irracionales? ¿Y los complejos?

En este post vamos a ver una función que nos servirá como generalización de esta función factorial: la función Gamma

La función Gamma

La función Gamma se define para todo número complejo z cuya parte real positiva de la siguiente forma:

\displaystyle{\Gamma(z)=\int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt}

Esta definición puede extenderse \forall z\in\mathbb{C-Z^-}, siendo \mathbb{Z^-} el conjunto de los números enteros negativos.

Vamos a ver algunas propiedades de esta función:

Propiedades

  1. \Gamma(1)=1
  2. \Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)
  3. \forall n\in\mathbb{N}, \Gamma(n+1)=n! (consecuencia de la propiedad anterior)
  4. \displaystyle{\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \cfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)}
  5. \Gamma\left(\cfrac{1}{2}\right )= \sqrt{\pi} (consecuencia de la propiedad anterior)
  6. \Gamma(1-z) \Gamma(z) = \cfrac{\pi}{\sin{(\pi z)}}

Generalización del factorial

La propiedad 2. es la que nos indica la generalización del factorial a través de esta función. Vamos a demostrarla:

\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z+1-1}e^{-t}dt=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt}

Utilizando integración por partes, siendo u=t^z y dv=e^{-t}dt. Por tanto du=z \; t^{z-1} y v=-e^{-t} y nos queda:

\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt=-e^{-t} \; t^z \Bigg|_0^{\infty}+\int_0^{\infty} z \; t^{z-1}e^{-t}dt}

El primer término vale {0} (fácil verlo con un sencillo límite) y el otro término, sacando z de la integral, es z \; \Gamma(z). Por tanto:

\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z).

Otras definiciones alternativas de esta función y otras propiedades no listadas aquí pueden verse en Gamma Function en la Wikipedia (en inglés). Por ejemplo, podremos ver la relación de esta función con la constante de Euler-Mascheroni \gamma.

Hay muchos más sitios donde aparece la función \Gamma. Os dejo a vosotros que nos habléis de ellas en los comentarios.

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