Os dejo el problema de esta semana:
Sea
una familia de números reales pertenecientes a
, tal que cada
coincide con el promedio de sus cuatro vecinos, es decir,
Demostrar que
.
Ánimo y a por él.
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Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana: Sea una familia de números reales pertenecientes a , tal que cada coincide con el promedio de sus cuatro vecinos, es decir, Demostrar que . Ánimo y a por él….
Comparar con este de aquí… Saludos.
Sí, pero ese es mucho más fácil. Siendo naturales basta con demostrar que si no fueran todos iguales siempre habría una sucesión de numeros estrictamente decreciente, lo cual es absurdo para naturales. Este caso es algo más sutil, creo.
ah, no! dice positivos, no «enteros» positivos (creo que esa parte la inventó mi subconsciente jajajaja
La condición de que el valor en cada punto sea igual al promedio de sus vecinos es análogo (en el dominio discretizado) a pedir que la función (en el dominio real) sea armónica.
Y si el soporte es todo el plano, y si la función viene acotada (en [0,1] en nuestro caso), esto debe implicar que la función es constante (por un argumento similar, aunque más elemental, que el del caso real… propiedad que a su vez suele usarse para demostrar el teorema fundamental del álgebra).
http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function#The_maximum_principle
Efectivamente, hernan. Esto es el teorema de Liouville para funciones armónicas (versión discreta). En el enlace que has puesto, y en la propuesta de J.H.S., vemos que el resultado es cierto bajo la hipótesis de acotación (por la izquierda o por la derecha) de los valores. Además también es cierto en cualquier dimensión (finita). A ver si se nos ocurre una prueba sencilla.
Creo que la solución puede ir por aquí… Si representamos esos números en una cuadrícula tal y como propone el problema de J.H.S. Entonces si nos ponemos encima de un punto aleatorio y giramos 45 grados, el resultado ha de ser el mismo (ya que cada número depende de la suma de los 4 más proximos), es decir, la distribución de los números en la cuadrícula no cambia. Por lo tanto ha de ser invariante si hacemos: Es decir, poniendonos en los 4 puntos más cercanos a y haciendo rotaciones de 45 grados. Ahora si cogemos puntos y usamos la… Lee más »
No se ve tan fácil:
Acá hacen una demostración probabilística (un random walk), para el caso n-dimensional http://everything2.com/title/Z%255En+admits+no+bounded+harmonic+function
orlin, la acotación es necesaria. Contraejemplo: un plano inclinado, por ej:
o 
No entiendo el contraejemplo Hernan, cada
es igual a cada número real entre [0,1] del problema. Los íncides i,j són solo para situarlos en el plano. Además en tu contraejemplo los 
no tienen la simetría de la que yo hablo.
Habrá algo que se me escapa…
Haciendo una transformación de Fourier discreta de a(x,y) en la variable y por ejemplo, la condición de armonicidad discreta se transforma en una ecuación tal como
, donde k es un número real. Las soluciones son exponenciales, y por tanto no acotadas a menos que a(x,y) sea constante.
Parece prometedor encararlo por Fourier, pero no veo cómo puedes desacoplar la condición de armonicidad (que involucra todo el entorno) de manera que pueda expresarse como una condición en una sola variable. (Puedes explicarlo más?) Lo que sí veo es que, si hacemos la transforma discreta de Fourier bidimensional, la condición de armonicidad en el dominio transformado lleva a que ; si el factor de la derecha puediera anularse para un (o varios) par(es) de frecuencias no triviales, cabria la posibilidad de tener un acotado no constante, con esas componentes de Fourier. Pero sólo se anula en el origen (y… Lee más »
En mi opinión es más sencillo que todo esto y tiene que ver con que cualquier![a_{ij} \in [0,1]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=a_%7Bij%7D+%5Cin+%5B0%2C1%5D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "a_{ij} \in [0,1]")
cerrado.
En los dos casos extremos:
sólo son posibles si todos los miembros de la suma son iguales e iguales al resultado:
Ya que no hay ningún valor menor (en el caso de ser cero) o mayor (en el caso de ser 1) que «baje» o «suba» la media.
Estas dos condiciones de los extremos son las que imponen que todos los elementos sean iguales, por lo tanto cualquier
ha de ser necesariamente igual a 
Saludos
en efecto si hubiera un
sería trivial. Sería igualmente trivial si 
o 
Pero… ¿Puedes demostrar que eso es siempre cierto, es decir, que el supremo o el ínfimo del conjunto siempre se alcanza en algún 
?
Mi demostración por Fourier no es rigurosa, pero alguien que domine teoría de distribuciones y transformada de Fourier discreta podría emprolijarla, creo. Básicamente, lo que estoy suponiendo es que toda función acotada discreta en R^2 tiene una transformada de Fourier bidimensional… si aceptamos la inclusión de «deltas de Dirac». Si y sólo si. (y creo que esto es generalizable para funciones de variable continua, y para R^n, y tiene que ver con una dualidad del espacio con el espacio -en el dominio transformado- , pero estas son honduras para mí). Si esto es correcto, creo que podría extenderse la demostración… Lee más »
Perdón, quise decir «dualidad …con el espacio
»
http://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space#Dual_spaces
Voy a responder a la cuestión dimensional asumiendo acotación superior e inferior de los valores. Sea , con acotado (superior e inferiormente), y tal que es armónica, es decir: , siendo las -uplas canónicas: . Fijados y , definimos la función incremento . 1) es armónica: . 2) está acotada superiormente. Sea y supongamos por reducción al absurdo que >0. 3) Por caracterización de supremo: para todo >0, existe tal que . Entonces, para este se tendrá usando la condición de armonicidad (¿estará en el diccionario? 🙂 ): . Del mismo modo, , y en general . 4) Sea natural… Lee más »
Ahí va mi idea. Si X = {a:ZxZ -> R acotadas}, podemos definir en X la norma del supremo: |a| = sup {a(i,j):i,j pertenecen a Z} También podemos definir varias seminormas: norma-N (a) = max {a(i,j) : -N <= i,j X como Ta = b, donde b(i,j) = la media de los 4 vecinos. Es fácil comprobar que, por ejemplo, |Ta| X como Ta = c, donde c(0,0) = a(0,0), y c(i,j) = la media de los 4 vecinos para todo (i,j) (0,0). El enunciado se puede traducir diciendo que si Ta = a y a(i,j) está entre 0 y… Lee más »
¡Tengo una prueba!
Me ocupa un par de páginas. ¿Cómo os la puedo proporcionar?
Hola Tanhäuser. ¿Y si la subes (en pdf o escaneado) a rapidshare?
Conozco una prueba muy breve del caso no acotado (por uno solo de los extremos) general, pero no me parece muy asequible. La que puse arriba para el caso acotado sólo necesitaba el concepto de supremo. A ver si saco tiempo y la comento.
Intentaré subirlar como dices, M.
La idea que yo he seguido es muy simple. Pruebo que acotación+armonicidad implican que la sucesión
es 2-periódica en las dos variables. De ahí se sigue inmediatamente el resultado.
Tanhäuser, cuando dices acotación+armonicidad, ¿te refieres a acotación por «ambos lados» (sup-inf), o impones sólo acotación por un lado? Por otra parte, para el caso bidimensional, imponiendo sólo acotación superior (o inferior), creo que se puede probar que los valores son constantes expresando la relación de armonicidad en forma matricial (al estilo de la fórmula de cinco puntos para discretizar la ecuación de Poisson). Se obtiene una matriz regular simétrica, tridiagonal por bloques, cuya inversa tiene un radio espectral que tiende a infinito si se aumenta la dimensión. Esto debería implicar no acotación de los valores, a menos que sean… Lee más »
@M:
1. Apuesto que se refiere a acotación por arriba y por abajo.
2. Mi opinión es que D. J. Newman era de otro planeta. Su solución a 109 es extraordinaria, por decir poco. ¿Has estudiado la prueba que dió del teorema del número primo? La más simple que se conoce. El punto de vista generalizado en ese rubro es que no puede haber una prueba más sencilla que la de él.
Saludos.
Gracias por la referencia, J.H.S. No conocía ninguna de las dos pruebas de D.J. Newman del PNT. Acabo de estudiar la primera prueba y me parece estupenda (y creo haberla entendido!). Sin embargo es un prueba indirecta, ya que lo que demuestra es un enunciado equivalente al PNT:
converge (…a 0; 
es la función de Möbius).
En comparación a la prueba 1 de Newman, no parece nada simple probar esta última equivalencia (ver, por ejemplo, aquí y aquí. En este último enlace, se alude en la sección -1. Equivalences- a un tal Diamond 🙂 ).
Dichas equivalencias son resultados standard en un curso de Aritmética. Por otro lado, el escrito de Newman contiene ambos ataques. Primero hace uso de la equivalencia que mencionas y después indica como se le hace para establcer de modo directo el resultado.
Saludos.