Introducción

La tradición nos cuenta que Hipócrates de Quíos, en la segunda mitad del siglo V a.C., redujo el problema de duplicar el cubo, o el de duplicar un volumen dado manteniendo la misma forma, al problema más general de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas, es decir, al problema de, dados a y b, obtener x e y tales que

\dfrac{b}{x} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{a}

o, lo que es lo mismo, encontrar x e y tales que b, x, y, a formen una progresión geométrica.

Si tenemos un cubo con aristas de longitud 1, por ejemplo, y construimos una progresión geométrica 1,x,y,2 entonces x =\sqrt[3]{2} y el cubo cuya arista es x tiene volumen doble del cubo cuya arista es 1.

En los comentarios de Eutocio de Ascalón (siglo VI) a los tratados de Arquímedes1 se dan doce soluciones (y se menciona otra más) al problema de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.

La primera solución cronológicamente se debe a Arquitas de Tarento (principios del siglo IV a.C.), y es uno de los resultados más antiguos que tenemos en la historia de la geometría griega.

Arquitas fue, entre otras cosas, el fundador de la mecánica matemática, inventor de juguetes y elegido «strategos» (jefe militar) por los tarentinos en siete ocasiones.


La construcción de Arquitas

(Para ver las figuras, pasa el cursor por el texto o haz click sobre cada imagen para ver la siguiente construcción.)

Construimos una circunferencia (azul en la figura) de diámetro OA=a y en esa circunferencia una cuerda OB=b (verde).
En el plano perpendicular a la circunferencia OBA y que contiene la línea OA, trazamos una semicircunferencia (naranja) sobre el diámetro OA.

Sobre la circunferencia OBA construimos un cilindro.
(En Arquitas un semicilindro sobre OBA).

Al girar la semicircunferencia perpendicular al plano OAB alrededor de la recta perpendicular a ese plano por O, se generará la superficie de un semitoro de radio interior nulo, que cortará al cilindro en una determinada curva.

Esa curva por tanto estará en las superficies del toro y del cilindro (mantén el cursor en esta frase para ver girar la figura).

Si a continuación giramos la recta OB alrededor del diámetro OA, se generará un cono que cortará al cilindro en una determinada curva y a la curva intersección del cilindro y el toro en un punto P, que será el punto de intersección del cilindro, el toro y el cono.

Ese punto P estará en el cilindro y su proyección sobre la circunferencia OBA de partida será un punto T. Entonces se cumple que:

\dfrac{OB}{OT} = \dfrac{OT}{OP} = \dfrac{OP}{OA},

es decir OT y OP son dos medias proporcionales entre a y b, y si a=2 y b=1, OT = \sqrt[3]{2}.


La demostración de Arquitas

Eutocio da una demostración del resultado anterior tomada de la «Historia de la Geometría» (hoy perdida) de Eudemo de Rodas (siglo IV a.C.). Podeis ver esa demostración en el libro de Allman sobre geometría griega o bien en esta página de Mathforum.

No sabemos si esa demostración es la original de Arquitas. La demostración que sigue me parece algo más simple y primitiva y es posible que más próxima al análisis original de Arquitas, quien descubrió su solución unos cien años antes de Euclides.

En la figura, construimos una semiesfera sobre la circunferencia base OBA.
Las curvas roja y verde son la intersección del cilindro con el toro y el cono respectivamente.
Sea P el punto de intersección del cono, el toro y el cilindro y T la proyección de P sobre la circunferencia base.

Al girar la recta OB alrededor de OA, el punto B describirá una semicircunferencia BGF, perpendicular a OA, que es la intersección de la semiesfera con el cono.

Los puntos de la circunferencia BGF estarán todos a la misma distancia OB=b del punto O.

El plano OPT corta al semitoro en una semicircunferencia OPR y al cono en la recta OP, que cortará a la semicircunferencia BGF, intersección de la semiesfera con el cono, en un punto G.

Ese plano OPT cortará además en la semiesfera una semicircunferencia OGT, que pasará por G, porque G está en la semiesfera y en el plano OPT.

Los ángulos \angle RPO, \ \angle TGO son rectos por estar inscritos en semicircunferencias y el ángulo \angle PTO es recto por construcción y entonces el teorema del cateto implica inmediatamente:

\dfrac{OG}{OT} = \dfrac{OT}{OP} = \dfrac{OP}{OR}

es decir OT y OP son dos medias proporcionales entre OR=OA=a y OG=OB=b, como queríamos demostrar.

1Arquímedes. «Tratados I». Eutocio. «Comentarios». Gredos 2005 (BCG 333), pags 357-388.

Nuestro gran colaborador fede es quien me ha enviado este pedazo de artículo sobre la duplicación del cubo. Por ello va a ser una de las contribuciones de Gaussianos a la cuarta edición del Carnaval de Matemáticas (ha cambiado de dirección ya que Ning va a pasar a ser de pago), que en esta ocasión organiza Zurditorium.

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