Dos horas buceando entre mis apuntes de la carrera (ese es el tiempo que he tardado en encontrar este teorema) bien valen un artículo. Sí, sé que en internet hay información, pero para mí mis apuntes son enormemente valiosos y no quería dejar escapar la oportunidad de consultarlo en ellos.


Introducción

Suena el despertador. Son las 6:30 de la mañana. Víctor se revuelve entre las sábanas, no quiere levantarse, el sueño le supera…pero no puede permitirlo. A las 8:30 tiene una entrevista de trabajo muy importante, puede que determinante para su futuro profesional.

– ¡¡Arriba chaval!!

Víctor se levanta de la cama de un salto y va directo al baño. Una ducha rápida complementada con un afeitado apurado le dejan nuevo. Desodorante, colonia y a arreglar esa cabeza. Ayer fue día (bueno, más bien noche) de salida informal con los amigos y el peinado fue más bien alocado, pero hoy toca seriedad y hay que bajarlo como sea. Secador por aquí, peine por allá. Y listo, su peinado hacia un lado presenta una completa armonía…¿completa?

– ¡¡Aghh!! Este maldito remolino…¿va a poder conmigo?…¡¡No!!

¿Podrá conseguir nuestro amigo Víctor que su pelo esté complemente perfecto?

El teorema de la bola peluda

Pues no, no podrá. Y la razón no es genética, sino matemática. Sí, sí, matemática. Y, cómo no, os voy a explicar por qué.

Campo tangente a una esferaUn campo de vectores tangente sobre una superficie de \mathbb{R}^3 es una aplicación de esa superficie en \mathbb{R}^3 que asocia a cada punto de la superficie un vector tangente a la misma en ese punto. Tomando \mathbb{S}^2 (la esfera conocida por todos, da igual su centro y su radio) como la superficie, un campo tangente a \mathbb{S}^2 será una aplicación continua W : \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 tal que para cada punto p de \mathbb{S}^2 se tiene que W(p) es un vector tangente a la misma en ese punto p (ver figura de la derecha). Pues bien, el teorema de la bola peluda dice lo siguiente:

Teorema: (de la bola peluda)

Sea W : \mathbb{S}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 campo de vectores tangente. Entonces W tiene al menos un cero, es decir, existe al menos un punto p_0 \in \mathbb{S}^2 tal que W(p_0)=0.

¿Y qué tiene que ver ésto con el caso de nuestro amigo Víctor? Muy sencillo: suponiendo que su cabeza sea la esfera \mathbb{S}^2 (no tiene una cabeza totalmente esférica pero es perfectamente válido suponerla así), que tiene un pelo en cada punto (tampoco es exacto, pero nos sirve) y que cada pelo es el vector tangente a la superficie de la cabeza en el punto de la misma donde nace dicho pelo, por mucho tiempo que le dedique a peinarla siempre habrá algún punto donde se deje una coronilla, un remolino, algún pelo tieso o algo parecido. Vamos, que no podrá alcanzar la perfección que desea.

Este resultado es topológico y podemos enmarcarlo dentro de la teoría del punto fijo. Su demostración (que no incluyo al necesitar demasiados conocimientos previos) tiene que ver con la teoría de homotopía. En concreto, para quien esté interesado, se basa en el teorema de la invarianza homotópica del grado. El resultado fue propuesto por Poincaré (¡qué grande!) y demostrado posteriormente por Brouwer.

Otras aplicaciones

Un teorema tan curioso como éste no podía quedarse ahí, debía tener más aplicaciones. Y las tiene. La más interesante tiene que ver con la climatología, concretamente con el viento. Tomemos la esfera terrestre y el campo tangente que a cada punto de nuestro planeta le asocia el viento que hay en ese punto (tomando este viento como vector definido en cada punto de forma continua). El teorema de la bola peluda nos dice que en todo momento debe existir algún punto de la Tierra en la que no hay viento (el viento tangente en ese punto es cero).

En sentido físico, este punto de viento cero será el ojo de un ciclón o anticiclón. Resumiendo, el teorema de la bola peluda nos asegura que debe haber en todo momento un ciclón en algún sitio (este dato está sacado de la Wikipedia inglesa).

Pero volvamos a Víctor, que ha debido quedarse hecho polvo al enterarse de que no podrá tener el pelo perfecto. ¿Podemos darle alguna solución? Yo voy a darle dos opciones que pueden ser válidas aunque igual son algo dástricas:

– Dejarse el pelo tal cual estaba al salir de la ducha.

– Raparse al cero (total, si no va a haber perfección, ¿qué más da?)

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