Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en enviar alguna colaboración, consulta, etc., utiliza esa dirección de correo electrónico.
Introducción
En una carta de fecha 29-11-1643, dirigida a la princesa Isabel de Bohemia, Descartes enuncia el resultado que relaciona los radios de cuatro circunferencias tangentes entre sí, conocido hoy como teorema de las circunferencias de Descartes.
El apéndice 3 (pdf, 206Kb) de esta edición de la correspondencia de 1643 es un artículo bastante informativo sobre el intercambio de cartas entre Descartes e Isabel de Bohemia sobre este tema.
Descartes afirmó el resultado sólo para el caso en el que las cuatro circunferencias sean tangentes exteriormente entre sí, pero hoy se enuncia el teorema incluyendo el caso en el que una de las circunferencias contenga a las otras de la siguiente forma:
Sean cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres,
y sea el radio de
.
Entonces si cuando las otras circunferencias son tangentes exteriormente a
, y
si las otras circunferencias son tangentes interiormente a
, resulta que
La demostración que sigue está tomada de Coxeter, «Introduction to Geometry», y es del matemático aficionado Philip Beecroft (publicada en The Lady’s and Gentleman’s diary, 1841).
La circunferencia que pasa por los puntos de tangencia
Si son los puntos de tangencia de tres circunferencias tangentes exteriormente entre sí, tenemos que
es igual all semiperímetro de
menos el lado opuesto a
, y análogamente para los otros radios, y por tanto
son los puntos de contacto del círculo inscrito en
con los lados.
Si en cambio dos de las circunferencias son tangentes interiormente a la circunferencia de centro , y
no están alineados, entonces
es el semiperímetro de
,
es el semiperímetro menos el lado
y
es el semiperímetro menos el lado
. Por tanto en este caso los puntos
son los puntos de tangencia del círculo exinscrito (de
) opuesto a
con los lados.
Obtenemos entonces el radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos de tangencia de tres circunferencias mutuamente tangentes de radios
, usando las fórmulas que dan el radio de los equicírculos a partir de los lados.
En el primer caso tenemos , y en el segundo caso
. Haciendo
y
, y
negativo si la correspondiente circunferencia contiene a los demás, se cumple siempre que
.
En el caso de que estén alineados o de que una de las tres ‘circunferencias’ originales sea una recta se cumple también esta relación, haciendo cero el valor de la curvatura
si la ‘circunferencia’ correspondiente es una recta.
En lo que sigue asumimos que una recta es una circunferencia de curvatura cero.
Como la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia es tangente a los lados de
, esa circunferencia es ortogonal a las tres circunferencias tangentes, es decir corta en ángulos rectos a esas circunferencias.
Familias ortogonales de circunferencias tangentes
Sea una familia de cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres.
Si es la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de
,
la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de
, etc, tenemos otra familia de cuatro circunferencias,
, que también serán cada de ellas tangente a las otras tres (pues cada circunferencia de esta familia corta ortogonalmente a las circunferencias de la primera familia).
Los 6 puntos de tangencia de las dos familias de cuatro circunferencias son los mismos, y si trazamos las circunferencias que pasan por los puntos de tangencia de cada subconjunto de tres circunferencias de la segunda familia de circunferencias, obtenemos las circunferencias de la primera familia.
Si son las curvaturas con signo de los
(los inversos de los radios, con el convenio de que es negativa cuando la circunferencia correspondiente contenga a los demás) y
las curvaturas con signo de los
, la fórmula anterior da
,
, y permutando índices, expresiones para los otros
y
.
Más relaciones entre las curvaturas
Tenemos entonces
, y por tanto
,
(Puesto que y
son positivos, porque como mucho un solo término de cada suma es negativo y ese término es el menor en valor absoluto).
También
De las expresiones para los en función de los
obtenemos
.
Entonces
.
Por tanto , es decir
.
Y simétricamente
.
El teorema de Descartes
Elevando al cuadrado los dos lados de las cuatro relaciones
y sumando, tenemos que , y como
, resulta la fórmula de Descartes:
.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Información Bitacoras.com…
Si lo deseas, puedes hacer click para valorar este post en Bitacoras.com. Gracias….
Todavía recuerdo mi paso por COU resolviendo el Problema de Apolonio, que consiste en trazar todas las circunferencias tangentes a 3 circunferencias dadas que no se intersecten entre sí.
¿Apolonio en COU? Pues yo no escuché ese nombre hasta mucho tiempo después :S.
Es que mi profesor de Dibujo Técnico nos daba mucha caña.
Se suponía que, además de hacer el problema a lápiz, había que entintarlo… a eso nos negamos toda la clase ya.
Ah, vale, igual es porque mi último contacto con el dibujo técnico fue en 1º de BUP.
Pues a mi me fue fundamental los conocimientos de Dibujo Técnico en la carrera de Mates.
Pues a mí no me hicieron falta.
Es cierto que con más conocimientos de dibujo técnico mi visión espacial se habría desarrollado antes, pero al final no eché en falta el dibujo para ello.
Recuerdo que todo el tema de Cónicas y cuádricas y clasificaciones y demás, me resultaron más fáciles que a mis compañeros.
Ahí tuve mucha suerte
Saludos , revisando la publicación que de hecho me gusto mucho …. Me veo en la necesidad de hacerles la siguiente pregunta: ¿Será cierto que para cualesquiera tres puntos A, B y C ,no colineales entre si, siempre se puede conseguir C_1,C_2 y C_3 tres circunferencias tangentes por esos puntos? Les comento, yo estuve jugando con geogebra y me encontré que si un par de los tres puntos , supongamos A y B, son uno imagen del otro a través de la simetría central de centro X , precisamente el centro de la circunferencia (Verde) , entonces se tiene que:… Lee más »
Corrijo, quise decir:
1) Los puntos A,B,C forman un triangulo rectángulo y su hipotenusa es el diámetro de la circunferencia verde ( Teorema).
Por otro lado , me gustaría saber ¿si las formulas que expones en el articulo resultados vía geometría sintética o analítica?