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Introducción

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En una carta de fecha 29-11-1643, dirigida a la princesa Isabel de Bohemia, Descartes enuncia el resultado que relaciona los radios de cuatro circunferencias tangentes entre sí, conocido hoy como teorema de las circunferencias de Descartes.

El apéndice 3 (pdf, 206Kb) de esta edición de la correspondencia de 1643 es un artículo bastante informativo sobre el intercambio de cartas entre Descartes e Isabel de Bohemia sobre este tema.

Descartes afirmó el resultado sólo para el caso en el que las cuatro circunferencias sean tangentes exteriormente entre sí, pero hoy se enuncia el teorema incluyendo el caso en el que una de las circunferencias contenga a las otras de la siguiente forma:

Sean C_i \ (i=1,2,3,4) cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres,
y sea r_i el radio de C_i.

Entonces si \epsilon_i = \dfrac{1}{r_i} cuando las otras circunferencias son tangentes exteriormente a C_i, y \epsilon_i = -\dfrac{1}{r_i} si las otras circunferencias son tangentes interiormente a C_i, resulta que

2( \epsilon_1^2 +\epsilon_2^2 +\epsilon_3^2 +\epsilon_4^2) = ( \epsilon_1 +\epsilon_2 +\epsilon_3 +\epsilon_4)^2

La demostración que sigue está tomada de Coxeter, «Introduction to Geometry», y es del matemático aficionado Philip Beecroft (publicada en The Lady’s and Gentleman’s diary, 1841).

La circunferencia que pasa por los puntos de tangencia

Si P_1, P_2, P_3 son los puntos de tangencia de tres circunferencias tangentes exteriormente entre sí, tenemos que O_1P_2 es igual all semiperímetro de \triangle O_1O_2O_3 menos el lado opuesto a O_1, y análogamente para los otros radios, y por tanto P_1, P_2, P_3 son los puntos de contacto del círculo inscrito en \triangle O_1O_2O_3 con los lados.
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Si en cambio dos de las circunferencias son tangentes interiormente a la circunferencia de centro O_1, y O_1O_2O_3 no están alineados, entonces O_1P_2 es el semiperímetro de \triangle O_1O_2O_3, O_2P_1 es el semiperímetro menos el lado O_1O_2 y O_3P_1 es el semiperímetro menos el lado O_1O_3. Por tanto en este caso los puntos P_1, P_2, P_3 son los puntos de tangencia del círculo exinscrito (de \triangle O_1O_2O_3) opuesto a O_1 con los lados.

Obtenemos entonces el radio r de la circunferencia que pasa por los tres puntos de tangencia de tres circunferencias mutuamente tangentes de radios r_1, r_2, r_3 , usando las fórmulas que dan el radio de los equicírculos a partir de los lados.

En el primer caso tenemos \dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{r_1r_2} +\dfrac{1}{r_1r_3} +\dfrac{1}{r_2r_3} , y en el segundo caso \dfrac{1}{r^2}= -\dfrac{1}{r_1r_2} - \dfrac{1}{r_1r_3} +\dfrac{1}{r_2r_3} . Haciendo \eta = \dfrac{1}{r} y | \epsilon_i | = \dfrac{1}{r_i}, y \epsilon_i negativo si la correspondiente circunferencia contiene a los demás, se cumple siempre que \epsilon_1\epsilon_2 +\epsilon_1\epsilon_3 +\epsilon_2\epsilon_3 = \eta^2 .

En el caso de que O_1O_2O_3 estén alineados o de que una de las tres ‘circunferencias’ originales sea una recta se cumple también esta relación, haciendo cero el valor de la curvatura \epsilon_i \ o \ \eta si la ‘circunferencia’ correspondiente es una recta.

En lo que sigue asumimos que una recta es una circunferencia de curvatura cero.

Como la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia P_1, P_2, P_3 es tangente a los lados de \triangle O_1O_2O_3, esa circunferencia es ortogonal a las tres circunferencias tangentes, es decir corta en ángulos rectos a esas circunferencias.

Familias ortogonales de circunferencias tangentes

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Sea C_1, C_2, C_3, C_4 una familia de cuatro circunferencias, cada una de ellas tangente a las otras tres.

Si K_1 es la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de C_2, C_3, C_4, K_2 la circunferencia que pasa por los puntos de tangencia de C_1, C_3, C_4 , etc, tenemos otra familia de cuatro circunferencias, K_1, K_2, K_3, K_4, que también serán cada de ellas tangente a las otras tres (pues cada circunferencia de esta familia corta ortogonalmente a las circunferencias de la primera familia).

Los 6 puntos de tangencia de las dos familias de cuatro circunferencias son los mismos, y si trazamos las circunferencias que pasan por los puntos de tangencia de cada subconjunto de tres circunferencias de la segunda familia de circunferencias, obtenemos las circunferencias de la primera familia.

Si \epsilon_i \ (i=1..4) son las curvaturas con signo de los C_i (los inversos de los radios, con el convenio de que es negativa cuando la circunferencia correspondiente contenga a los demás) y \eta_i las curvaturas con signo de los K_i, la fórmula anterior da \epsilon_1\epsilon_2 +\epsilon_1\epsilon_3 +\epsilon_2\epsilon_3 = \eta_4^2 , \eta_1\eta_2 +\eta_1\eta_3 +\eta_2\eta_3 = \epsilon_4^2 , y permutando índices, expresiones para los otros \epsilon_i y \eta_i.

Más relaciones entre las curvaturas

Tenemos entonces \displaystyle \left(\sum_{i=1}^4 \epsilon_i \right)^2 = \sum_{i=1}^4 \epsilon_i^2 + \sum_{i=1}^4 \eta_i^2 = \left(\sum_{i=1}^4 \eta_i \right)^2 , y por tanto \displaystyle \sum_{i=1}^4 \epsilon_i = \sum_{i=1}^4 \eta_i ,

(Puesto que \sum \epsilon_i y \sum \eta_i son positivos, porque como mucho un solo término de cada suma es negativo y ese término es el menor en valor absoluto).

También \left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4\right)\left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 - \epsilon_4\right) = \left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3\right)^2 - \epsilon_4^2 = \epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2 +2\eta_4^2 - \epsilon_4^2

De las expresiones para los \epsilon_i^2 en función de los \eta_i obtenemos \epsilon_1^2 + \epsilon_2^2 + \epsilon_3^2 - \epsilon_4^2 = 2(\eta_1\eta_4 +\eta_2\eta_4 +\eta_3\eta_4).

Entonces \left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4\right)\left(\epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 - \epsilon_4\right) = 2\eta_4( \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 + \eta_4) = 2\eta_4( \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 + \epsilon_4) .

Por tanto \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 - \epsilon_4 = 2\eta_4 , es decir 2(\eta_4 + \epsilon_4) = \sum \epsilon_i .

Y simétricamente \epsilon_1 + \eta_1 =\epsilon_2 + \eta_2 =\epsilon_3 + \eta_3 =\epsilon_4 + \eta_4 = \sum \epsilon_i/2 = \sum \eta_i/2 .

El teorema de Descartes

Elevando al cuadrado los dos lados de las cuatro relaciones \epsilon_1 + \epsilon_2 + \epsilon_3 - \epsilon_4 = 2\eta_4
y sumando, tenemos que \sum \epsilon_i^2 = \sum \eta_i^2 , y como \left(\sum \epsilon_i \right)^2 = \sum \epsilon_i^2 + \sum \eta_i^2 , resulta la fórmula de Descartes:

\left(\sum \epsilon_i \right)^2 = 2\sum \epsilon_i^2.

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