Nuestro amigo vengoroso me envió hace un tiempo un problema que os planteo hoy a vosotros:

Llamamos números q-enteros a los polinomios:

\left [ n \right ] = 1+q+q^2+ \ldots q^{n-1}

Con estos números podemos construir, por ejemplo, los q-factoriales:

\left [ n \right ] != \left [ n \right ] \cdot \left [ n-1 \right ] \cdot \ldots \cdot \left [ 2 \right ] \cdot \left [ 1 \right ]

También podemos construir los números q-combinatorios:

\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = \cfrac{\left [ n \right ] !}{\left [ k \right ] ! \; \left [ n-k \right ] !}

A partir de aquí planteamos varias preguntas:

  1. Demostrar que \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} es un polinomio (y no sólo una función racional).
  2. Si fijamos q un número natural que sea potencia de un primo y consideremos F_q el cuerpo finito con q elementos, demostrar que el conjunto de todos los subespacios vectoriales de dimensión k dentro de (F_q)^n tiene exactamente \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} elementos.
  3. Hallar el polinomio de Taylor de la función N_{n,k}(q)= \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} en un entorno de q=1.

A por él.

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