Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Las construcciones con regla y compás constituyen un mundo tremendamente interesante. La serie de cuatro artículos que publiqué hace un tiempo sobre ello

es un buen comienzo para darse cuenta de ello. ¿Quién podría pensar que hay tantas cosas que se pueden hacer sólo con una regla y un compás? Y ¿quién podría haberse imaginado que cosas tan simples como un polígono regular de 7 lados no puede construirse con regla y compás? Lo que os decía, un mundo enormemente atractivo sobre el que recomiendo investigar con tiempo y paciencia.

Pero hasta después de un concienzudo análisis del tema uno puede encontrarse resultados que le dejan anonadado. Este es el caso del teorema del que vamos a hablar hoy: el teorema de Mohr-Mascheroni.

El teorema de Mohr-Mascheroni afirma que la regla no es necesaria en las contrucciones con regla y compás. No me digáis que no es sorprendente.

El poeta y geómetra italiano Lorenzo Mascheroni publicó este descubrimiento en 1797 en su obra Geometria del compasso. Pero unos 100 años después de este hecho el geómetra danés Johannes Hjelmslev descubrió un antiguo libro titulado Euclides Danicus escrito por Georg Mohr, que un alumno suyo había adquirido en una librería de libros de segunda mano, en el que se daba una demostración distinta a la de Mascheroni. El año de publicación de este libro era 1672, esto es, 125 años antes de la demostración de Mascheroni. Por ello el resultado recibe el nombre de estos dos matemáticos.

Por otra parte, una bonita demostración del teorema es la de Adler, que utiliza la inversión y que podeis ver en el apartado 2.4 de este artículo de L. Ugarte en Divulgamat (pdf) (del que he tomado los datos históricos anteriores).

Lorenzo MascheroniEn este post exponemos la demostración original de Mascheroni.

En uno de los external links de la entrada en la Wikipedia inglesa sobre este teorema dice que la demostración de Mascheroni es quite complicated y en otro que constructions may be awfully obscure. Espero que la exposición que sigue muestre que esas afirmaciones son algo exageradas.

El compás permite trazar circunferencias y obtener sus puntos de intersección.
Si añadimos la regla podemos además:

  • Hallar los puntos de intersección de circunferencias con rectas que pasan por dos puntos dados.
  • Hallar el punto de intersección de las rectas que pasan por dos pares de puntos.

Por tanto para demostrar que la regla sobra, basta demostrar que esos puntos de intersección pueden obtenerse con el compás solo.

Intersección de una recta con una circunferencia


Para obtener los puntos de intersección de una circunferencia con una recta dada por dos puntos, efectuamos la construcción de la izquierda. Esa construcción falla en el caso de que la recta AB pase por el centro C de la circunferencia y en ese caso cortamos con centro A un arco en la circunferencia y usamos la construcción de la derecha.


Mascheroni demuestra, usando Pitágoras, que en un paralelogramo como en la figura QS=PS \ \Longrightarrow \ QS^2 + PQ^2 = PR^2 - PQ^2 .

Y usa este lema para justificar la construcción del punto medio del arco: EM^2 = ED^2 + DM^2 = ED^2 + DA^2 = EC^2 - ED^2 = ET^2 - ED^2 = DT^2

Intersección de dos rectas

Una cuarta proporcional de 3 magnitudes r,s,t es una magnitud x tal que r:s=t:x.
En la proposición VI.12 de los Elementos se construye con regla y compás la cuarta proporcional de tres longitudes.


En la figura de la izquierda KL=MN porque \angle HOK = \angle JOL, y MN es cuarta proporcional porque \triangle OMN, y \triangle OHJ son semejantes.
En la figura de la derecha \triangle A^{\prime}B^{\prime}E y \triangle FB^{\prime}B son semejantes.

La construcción para hallar la cuarta proporcional no es válida cuando r < t/2, pero en ese caso calculamos la cuarta proporcional de nr, ns, t, con nr > t/2 \ \ ( nr:ns=r:s=t:x).

Para obtener un múltiplo entero de un segmento construimos vértices de sucesivos triángulos equiláteros adyacentes.

El compás colapsable

Mascheroni usa sólo el compás no colapsable, pero el compás euclídeo (introducido en el tercer postulado) es un compás colapsable, es decir, colapsa cuando se levanta su punta y no permite transportar segmentos en el plano, en particular no permite la operación «trazar un círculo con centro A y radio BC«, sino sólo la operación «dados dos puntos A y B, trazar un círculo con centro A que pase por B«.

En la segunda proposición de los Elementos se demuestra que el compás colapsable junto con la regla permite realizar la operación del compás no colapsable, es decir «trazar un círculo con centro A y radio BC«.

Pero no hace falta la regla: el compás colapsable es equivalente sin la regla al compás no colapsable, como se puede ver en la construcción de la figura adjunta.

De lo anterior se concluye que todas las construcciones realizables con regla y compás son realizables sólo con el compás colapsable.

La regla sola

Si tenemos en el plano dibujado un círculo y su centro (o tres círculos sin su centro), la regla sola basta para construir los puntos construibles con regla y compás.

Menos conocido es que basta la regla sola para las construcciones con regla y compás (sin haber dibujado previamente una circunferencia), si la regla no es la regla euclídea que sólo permite trazar una recta que pasa por dos puntos, sino una auténtica regla de escuela, que tiene dos bordes paralelos y que además de lo anterior permite trazar una recta parelela a una dada y dados dos puntos trazar dos rectas paralelas, cada una pasando por uno de los puntos, siendo la distancia entre las rectas paralelas la anchura fija de la regla.

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