Comenzamos la serie de artículos dedicados a los centros del triángulo con la presentación de los que posiblemente sean los más conocidos para todos, ya que se definen de manera muy sencilla y se estudian en niveles relativamente bajos de nuestra vida académica. Vamos con ellos.
- Incentro
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus lados es la misma (el radio de dicha circunferencia). Más concretamente, es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo (siendo una bisectriz la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales), por lo que para representarlo gráficamente debemos dibujar las tres bisectrices y localizar el punto de intersección de las mismas. En la imagen siguiente podéis verlo:
- Baricentro
El baricentro (también llamado centroide) de un triángulo es el punto de intersección de las medianas de dicho triángulo (siendo una mediana el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Por ello, para representar gráficamente el baricentro debemos dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan. Esta figura muestra el baricentro de un triángulo:
- Circuncentro
El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma (el radio de dicha circunferencia). En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo (siendo una mediatriz la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo). Por tanto, para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas. Puede verse el circuncentro de un triángulo en la siguiente imagen:
- Ortocentro
El ortocentro de un triángulo es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo (siendo una altura el segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice). Entonces para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. En esta figura puede verse el ortocentro de un triángulo:
En la entrada de presentación de esta serie de artículos comenté que intentaría en la medida de lo posible ilustrar cada uno de ellos con algo de GeoGebra. Como lo prometido es deuda, ahí va un applet de GeoGebra en el que se aparecen los cuatro puntos descritos. En él podéis ver cada uno de ellos por separado o varios de ellos a la vez y jugar con el tamaño y la forma del triángulo moviendo los vértices del mismo, además de una sorpresa:
Bueno, en realidad la sorpresa seguro que no es desconocida para muchos de vosotros, ya que corresponde con la línea de Euler que ya vimos hace un tiempo gracias a nuestro gran colaborador fede. Aunque en cierto modo sí es sorprendente que haya una recta a la que pertenezcan el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo, ¿no os parece?
Si tenéis alguna duda sobre cómo realizar la construcción anterior con GeoGebra (o sobre cualquier otra cosa relacionada con el artículo) no tenéis más que preguntarlo en los comentarios.
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Tiene alguna explicación matemática?
tengo plan de apoyo y necesito solucionar tres problemas me ayudan por fa? uno dice trazar las alturas y determinar el ortocentro del triangulo cuyas medidas son a=8cm;b=10cm el àngulo es de 115grados SEGUNDO: TRAZAR LAS MEDIATRICES y determinar el circuncentro del triangulo cuyas medidas son a=10cm;b=13cm y un angulode 65grados.ELTERCER PROBLEMA ES COMO UNA ESCALERA DE TRES ESCALONES AL LADO IZQUIERDO TIENE PRIMERO A , debajo B ,Y ultimo la C LADO derecho tiene D, E, F D, ubicadas las letras de arriba hacia abajo luego dice encontrar las medidas de AB Y BC, si, DE=4cm,EF=6cm y AC=14cm por… Lee más »
nose v:
Hola buenas tardes disculpe la pregunta ;pero nesecito saber la demostración porque sucede en ese caso la recta que pasa por los 4 puntos en el de «sorpresa»
Oh yeah
amiga no te entiendo apenas estoy en 6 to grado de primaria
lo siento mucho
le falto la altura
Hat, ¿exactamente de qué es de lo que quieres explicación matemática? Concreta un poco, a ver si te podemos ayudar.
Como puedo hacer eso en geogebra?
me piden trazar las mediatrices y determinar el circuncentro del triàngulo cuyas medidas son a= 10cm ; b =13cm ; medida del àngulo es 65ª por fa me ayudan? tengo plan de apoyo
solucionar esos problemas para presentar un plan de apoyo
Felicitaciones DiAmOnD por la idea de hacer una categoría sobre los centros del triángulo estudiados en esta sorprendente Enciclopedia. Las visualizaciones ayudan mucho a comprenderlos y a diferenciarlos. El applet de GeoGebra que has construído, con sorpresa incluída, es hermoso, fantástico, maravilloso. ¡Estaré siempre esperando otras entregas como esta! ¡Muchas gracias por tu esfuerzo y sigue adelante!
Muchas gracias por tus ánimos Omar-P. Cualquier sugerencia es bienvenida.
Omar-P, se puede referir a cinco cosas, la concurrencia de las diversas familias de líneas en cada uno de los centros o a la recta de Euler.
La respuesta a todas ellas es afirmativa, todas tienen razón matemática (evidentemente, si no ¿para qué distinguir una casualidad del dibujo?). Sé demostrar la concurrencia de las mediatrices y la de las bisectrices porque me facilita la cosa el que tengan un objeto matemático asociado, la circunferencia circunscrita y la inscrita, respectivamente. De los otros tendría que probar, salvo la recta de Euler, que no sabría ni cómo comenzar.
Hola gaussianos!!! Hace mucho que los leo. Soy un estudiante de física de primer año, pero tremendamente aficionado a las matemáticas desde mi niñez (incluso fui participante de las olimpiadas matemáticas desde muy chico). Geometría y teoría de números son de mis ramas preferidas. Y me gustaría pedir, si no es de mucha molestia claro, una demostracion de porque el ortocentro, el baricentro y el circucentro son colineales. Para mi si ha sido UNA VERDADERA SORPRESA. Conocia estos puntos notables desde mi niñez, pero no conocia semejante propiedad!. Muchos saludos a todos, y mis felicitaciones a ^DiAmOnD^ por el blog… Lee más »
Enhorabuena por este artículo. Me acabas de recordar a una clase de trigonometría de 1º de Bachillerato en la que con 3 triángulos que había dibujados, Iván (el profe) aseguró que solo necesitaría una mediana para hallar el baricentro (era un ejercicio de estos que te piden CALCULAR incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro). No le creimos, pero… ahí nos enseñó la «sorpresa», la recta de Euler. En la hora siguiente, en dibujo técnico, que también estábamos con los triángulos… le hicimos la misma jugada a la profesora y casi hubo bronca entre departamentos jaja
Dependerá del centro, pero la existencia de la línea de Euler se explica en 3º de la ESO, cuando en geometría se estudia la construcción de estos 4 centros.
Luego, usando series de triángulos semejantes y círculos inscritos y circunscritos uno dentro de otro, se obtiene una bonita serie geométrica. Viene bien para que vean como todo está relacionado en matemáticas.
Saludos.
Excelente post.
Tal vez mi comentario es muy obvio y por lo mismo tal vez salga sobrando. Pero bueno hay va: los centros descritos coinciden en un mismo punto, cuando el triangulo es equilatero.
Si me equivoco no duden en corregirme.
Saludos y una felicitación por este excelente blog.
kiero dibujar un escaleno con esas cosas k thu pones
EFECTIVAMENTE. EN LOS EQUILATEROS SON LOS MISMOS CENTROS.
@Mario: En lo que era mi colegio hasta 4º de ESO, por el nivel de la clase, la profesora iba poco por encima del ritmo de los más «torpes» (realmente, desinteresados), y con ello, no dimos en 3º y 4º ni el 40% del temario.
@Xavier: Es tan obvio que es verdad, en un equilátero, coinciden los centros, siempre que te muevas en el universo de Euclides. Quizá en geometrías no euclídeas no sea así, pero no dispongo de ese conocimiento.
@Hat, sí, hay una explicación matemática a la existencia de estos cuatro puntos notables del triángulo. La puedes encontrar aquí: http://www.dmae.upct.es/~pepemar/triangulo/introduccion.html en el apartado «puntos notables» empieza demostrando que las alturas, bisectrices, medianas y mediatrices del triángulo se cortan en un punto. Este hecho es, en realidad, un caso particular del Teorema de Ceva, que da una condición necesaria y suficiente para que tres cevianas (líneas que van desde un vértice del triángulo a un punto del lado opuesto distinto del vértice) sean concurrentes, y que se puede ver en la misma página, aquí: http://www.dmae.upct.es/~pepemar/triangulo/introduccion.html @HM2P33, una demostración de la… Lee más »
me sirvio mucho y gracias a esto aprove la clase del 2 periodo y aprendi mas y con esto hasta expuse un trabajo gracias
Muchas gracias francisco. Te agradezco tu atención =).
En verdad fantástico.
Les propongo que demuestren que los únicos números enteros distintos entre sí que satisfacen x^y=y^x son el 2 y el 4.
tonto
tonto
@Fabián Pereyra, En primero lugar supongamos que te refieres a los números naturales, en caso contrario, los números -2 y -4 también cumplen la propiedad buscada y por tanto la proposición sería falsa por contraejemplo. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que . Si dejamos fijo , obtenemos dos funciones monótonas crecientes con todos los valores diferentes, excepto, a lo sumo, un único posible punto de corte. [1] Dado que la derivada de la exponencial es mayor que la de la potencial (en un lado queda fija la base y en el otro el exponente) podemos desestimar todos aquellas parejas… Lee más »
Exacto. El punto de corte al que haces mención es el
, entre y=x y otra función cuya forma parece hiperbólica pero dificil de hallar con un método simple.
Aquí va la gráfica:
http://i29.tinypic.com/nwljdh.jpg
PD: Les propongo que hallen la expresión analítica de la función que corta con y=x.
ahhh!!! me rindo no puedo encontrar esa expresión análitica!! por favor que alguien lo resuelva, me muero por conocer esa expresión ahhh!!!!!!! ayuda!!!
…
Veamos a ver que pasa [1] Una curva que se le parece mucho es , podemos partir de ella entonces. [2] Lo primero que hacemos es rotar la curva (en implícitas es ) 45º) con ello conseguimos tener la simetría respecto del eje OY, entonces queda es decir también deberemos rotar los dos puntos de interés entonces basta trasladar el orígen de forma que el mínimo «caiga» en el anterior (e,e) y aplanarla para que corte al punto (4,2), es decir las constantes salen algo feas ahora el problema es que nos hemos cargado las asíntotas, eso se puede resolver… Lee más »
Bueno, excepto por una rotación de más o por un cambio de signo, la gráfica parece correcta
http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gauss/grafica_e_e.png
Muy bien @josejuan, un camino más simple es haciendo
Luego escribimos
en función de 
teniendo en cuenta que la curva debe pasar por 
entonces 
, con lo cual la expresión ahora queda:
Luego reemplazando $latexx$ e
con valores tales que satisfagan 
, por ejemplo el 
(también se podría haber tomado 
pero el 
y el 
son los únicos números enteros positivos que verifican la función). Por lo tanto se obtiene:
Yo lo intenté por ahí pero no se que hacía mal que se me iva la simetría respecto x=y…
Tu expresión es (a tu latex le faltan las barras):
Las barras las había puesto pero cuando después edité algo, las barras desaparecieron y cada vez que las volvía a poner se iban :|.
Algo más que quería agregar que es interesante es que
, 
y 
pertenecen a la función. Algo que nunca antes habia visto (descartando arcos senos y demás).
@joséjuan encontré un error en tu desarrollo y es que no has tenido en cuenta que
es asíntota vertical de la curva. Para subsanar el error se debe hacer:
siendo n tal que
pertenezca a la curva
Propongo que hallen n de la siguiente ecuación:
Excelente artículo !
me sirvió muchísimo para saber trazar cada uno de los puntos del triángulo.
Muchas gracias 😀
esta super bien el resumen me encanto para mi trabajo de 10 cuartilloas con dibujos , figuras a escala y una breve expocicion de 10 minutos con trazoz gracias :):):)
hola como estan todos los matematicos yo solo busk esto para una tarea y me sirvio grasias besos
SERIA BUENO QUE MAS QUE LOS PASOS SENCILLOS DE EXPLICACION SERIA UNA IMAGEN QUE TRASLADE PASO A PASO COMO SE HACE
chai, sí, es posible, pero como todas las construcciones propuestas en el post son sencillas de realizar tanto a mano como con GeoGebra no vi necesario poner una imagen para explicar todo paso a paso :).
y si te dan tres puntos y te piden que calcules el circuncentro como se calcula? gracias:)
Yo hice una tesis de licenciatura con Visual Basic 6, pero como la hice en XP, ahora que formatée mi PC, la subí a Windows 7 para no estar TAN atrasado, pero quise instalar mi programa (Setup), pero ya no quiso instalarse. No funcionó mi programa en Windows 7. Pero en XP, hace esa tarea, dados 3 puntos coordenados, da lo que se desee, ya sea baricentro, circuncentro, ortocentro, incentro, y en todo caso la recta de Euler. Y la ecuaciones de las rectas que pasan por cada lado.
[…] Los centros del triángulo: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro (1) […]
hola!! estas muy buena la explicación… yo quería saber si ustedes me producía ayudar a resolver unos problemas que eh tratado de buscarlos y no encuentro relacionado. muchas gracias espero su respuesta.
[…] Los centros del triángulo: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro (1) […]
[…] tiene que ver el número e con los números primos? Los centros del triángulo: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro El teorema de Mohr-Mascheroni, o para qué queremos la regla Cuántas cosas en tan poco […]
hola, este articulo esta buenisimo, me esta sirviendo para entender y comprender los CP o Crease Patterns (en el origami)
definitivamente ustedes estan todos locos jajajajaja, pero es fascinante leer leer y leer y no entender nada, mi esposa es estudiante de matematicas y yo soy diseñador grafico pero no conprendo nada de lo que dicen, los felicito por su excelente sapiencia respecto a todo este tema y va a parecer tonto pero necesito hacer un aviso publicitario de tres cuerpos de 2 metros por 2 metros cada uno, logicamente viendolo por debajo o por arriba la figura que me presenta es un triangulo y necesito que lo atraviese un tubo por el centro y no logro encontrar su centro… Lee más »
me gusta mucho la manera en la que explican.¡
Hola.
Mi profesor de matemáticas me mandó hacer un trabajo sobre esto y todo lo tengo bien excepto el incentro, que mi profesor me dice que le falta algo (lo tengo igual que el que ponéis) y yo no se que es. ¿Me podría ayudar alguien?
Gracias por adelantado.
Yara, el incentro es exactamente lo que pone aquí, no falta nada. Echa un vistazo otra vez a lo que tú tienes puesto, para ver si te has olvidado algo, y si no es así pregunta a tu profesor qué es lo que te falta.
Saludos.
q cosas mas importantes q hay en este mundo y pais es lo mas lindo te awo ¿…………………? yo ysabel alveal
esta genial este blog con este articulo estudie para mi examen en la secu jejejeje
uuuuuuuuuuuuuuu
esto era lo que necesitava
gracias
esto esta re padre ya estudie para mi examen
padrisimo:)
[…] en el punto medio del segmento que une las dos raíces de , siendo esta raíz por tanto el baricentro del propio triángulo. […]
no sé si me equivoco, pero estoy casi segura de que su definición de mediana es errónea..
La mediana es el segmento que une los puntos medios en un triángulo, y no se intersectan. Lo que llaman mediana es realmente la transversal de gravedad (segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto).
Bueno, eso.. muy buen artículo, y si me equivoqué en la corrección pido disculpas.
Camil, son lo mismo:
Mediana (geometría)
Nunca me había percatado de la pertenencia del baricentro, ortocentro y circuncentro a una misma recta. Es más, si tenemos en cuenta que las mediatrices y las alturas a un lado son paralelas entre sí (porque son perpendiculares al lado) y que en realidad bastan dos de cada una para determinar el ortocentro y el circuncentro, vemos que se forma un paralelogramo en el cual dos vértices son el ortocentro y el circuncentro, siendo el baricentro un punto interior a dicho paralelogramo. Además los tres puntos considerados forman parte de una de las diagonales de dicho paralelogramo. Si el triángulo… Lee más »
buena pagina!
ME ENCANTOOO ME AYUDOO MUCHISIMO LES AGRADESCO MUCHOOOOO!