El Triángulo de Pascal (también conocido como triángulo de Tartaglia) es un triángulo formado por números enteros que es bien conocido por gran cantidad de gente al aparecer en los libros de texto desde secundaria en adelante. De todas formas vamos a ver cómo se construye:

Construcción del Triángulo de Pascal

Colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Despues, en la fila inferior, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. En la inferior colocamos un 1 a cada extremo y entre los dos unos colocamos un 2 (1 + 1). En la inferior un 1 en cada extremo y en medio un 3 entre el 1 y el 2 (1 + 2) y otro 3 entre el 2 y el 1 (2 + 1). Y así sucesivamente: en los extremos un 1 a cada lado y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números de arriba. Queda una cosa así:

Su aplicación más importante es la siguiente: cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que aparecen en el desarrollo del binomio (a + b)n (tomando el 1 de arriba como la potencia n = 0), o lo que es lo mismo, los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo de Pascal. Una propiedad realmente interesante. En la Wikipedia podéis ver más información.

Pero en el título del post aparece también la sucesión de Fibonacci, que ya se nombró en este post sobre el número de Oro. Este número y la sucesión de Fibonacci están íntimamente relacionados, ya que es el límite de la sucesión formada por los cocientes de cada elemento de la sucesión y el inmediatamente anterior.

Construcción de la sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci se construye de la siguiente forma:

F(n)=\begin{cases} 0, & si \; n=0 \\ 1, & si \; n=1 \\ F(n-1)+F(n-2), & si \; n > 1 \end{cases}

Es decir, su primer elemento es el 0, el siguiente el 1, y de ahí en adelante cada elemento es la suma de los dos anteriores. Por tanto los primeros elementos son:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

También en la Wikipedia podéis ampliar información sobre esta sucesión: propiedades de ella misma y del número de Oro, situaciones del arte y la naturaleza donde aparece…

Relación entre ellos

Y bueno, en principio estos dos objetos matemáticos no tienen demasiada relación. Pero en realidad sí la tienen. Tanto la sucesión de Fibonacci como el número de Oro aparecen en multitud de lugares, tanto matemáticos como reales. Y el triángulo de Pascal no iba a ser una excepción. ¿Cómo encontrar los elementos de la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal?. Pues de esta forma:

Realmente sorprendente cómo dos cosas que en principio no tienen mucha relación pueden converger de esta manera.

Y para terminar os dejo algunas de las propiedades que tiene el triángulo de Pascal:

  • Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16,…
  • Si tomamos cada fila como un número obtenemos los múltiplos de 11: 1, 11, 121, 1331, 14641,…
  • Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal 1-3-6-10-15-… obtenemos un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25,…
  • Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son divisibles por ese número primo (excluyendo los 1 claro está). Por ejemplo, en la fila 1-7-21-35-35-21-7-1 el primer número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de número, 35, 21 y 7, todos son divisibles por 7.

(La imagen anterior y esta información ha sido sacada de aquí)

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