A la vista del título del post está bastante claro la temática del problema de esta semana, ¿verdad? Ahí va:
Calcula el máximo común divisor siguiente:
Suerte.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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¿No es
? Desde luego ambos números son múltiplos de dicha cifra, dado que 2009 es impar.
Faltaría demostrar que
(el segundo número dividido por mi hipotético mcd) no es múltiplo de ningún divisor de 
, cosa que no sé si es cierta…
Los miembros pares del sumatorio son congruentes con 1 (módulo
), y los impares también… luego el sumatorio es congruente con 
. Sólo falta demostrar que 
no es múltiplo de 7 ni de 41 (ya que 
).
Tengo prisa y no puedo hacerlo, pero ése es el camino, ¿no?
2^2009+1 no es múltiplo ni de 7 ni de 41.
Por la función Euler, 7 es 6 y 41 es 40,
Como 2009 respecto a 6 tiene como resto 5 y respecto a 40 el resto es 9, tenemos
2^5+1 es congruente con 5 modulo 7 y
2^9+1 es congruente con 21 módulo 41, luego,
como los congruentes son distintos a cero, queda demostrado de que 2^2009+1 no es divisible ni por 7 ni por 41.
¿Es lo que te faltaba, Ñbrevu?
Perdonar por no utilizar LaTex.
Gracias, sabía más o menos lo que tenía que hacer pero en ese momento no tenía tiempo.
Pues entonces el mcd buscado es
, ¿no? He sido muy poco formal con mis demostraciones pero creo que más o menos son correctas. ¿Alguien tiene una segunda opinión?
Ñbreu, yo creo que tu sumatorio (el cociente)
, tendría que llegar no hasta 2008, sino hasta 
Perdón, el sumatorio
Buenos Días Ofrezco mi desarrollo, que no deja de ser una puesta en limpio de ideas que ya otros han citado. donde es un número entero. El máximo común divisor buscado ha de estar a la fuerza formado por el producto de potencias de los divisores primos de ; si podemos demostrar que y son primos entre si habremos demostrado que el factor es primo con , y que por tanto el máximo común divisor es . Vayamos pues a la tarea. La factorización de 2009 es . Por lo que usando aritmética de congruencias y en algún que otro… Lee más »
Anuska, míralo así: vamos a llamar a . Entonces la primera cifra es , mientras que la segunda es . Claramente es una raíz de este último polinomio (y más claramente todavía lo es del primero ;)). Por otra parte tenemos , que es el sumatorio . Si ahora sustituimos por su valor, tenemos el sumatorio que escribí antes. De paso, continúo con la demostración, ahora de manera más formal, ya que tengo un poco de tiempo. El primer polinomio se convierte en , mientras que el segundo pasa a ser . Habida cuenta de que , está claro que… Lee más »
Y ahora veo que el problema podía referirse a
, y no a 
, que es lo que he hecho yo…
Pero en todo caso Antonio QD ha resuelto la otra interpretación posible :).
Antonio QD
2^2009+1==21 mód. 41 es correcto
2^2009+1==5 mód. 7 es correcto (no es 6, es 5)
Buenos Días
Evidentemente cometí un error en la una de las congruencias.
Realmente es
Perdónenme por el error. Afortunadamente, no afecta al desarrollo.
Un Saludo
Por cierto, el problema está sacado de la UGR. En este pdf podéis ver la solución que dan.
Hola necesito una mano con la prueba de: si (a, b) = d entonces (a^2, b^2) = d^2