Calcula el límite del cociente de las áreas

Hoy viernes os dejo el problema de la semana en Gaussianos. Ahí va:

Tenemos dos circunferencias de centros O y O^\prime y radios R y r, respectivamente, que son tangentes exteriores en un punto A. Por un punto B de la tangente común se trazan dos tangentes BC y BC^\prime, siendo C y C^\prime los puntos de contactos de éstas con las respectivas circunferencias.

Se pide calcular el límite del cociente de las áreas de los triángulos ABC y ABC^\prime en los siguientes casos:

a) Si el punto B tiende al punto A.
b) Si el punto B se aleja indefinidamente del punto A.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. El límite cuando los puntos se alejan es muy fácil, es R/r. También es fácil de demostrar.

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    • El límite cuando B se aleja se ve visualmente sin dificultad. Probar ambos analíticamente es más sencillo de lo que pudiera parecer. En este tweet hay una animación (no la demostración, que mejor dejar pasar un tiempo).
      A propósito: ¿Cuándo tienen ambos la misma área?

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      • Los límites pedidos son r/R, para cuando B tiende a A y su recíproco, R/r, para cuando B se aleja indefinidamente de A.

        Respecto a tener los triángulos la misma área, sucede cuando B dista de A, la media geométrica de los radios (sqrt(r*R) ).

        Saludos

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        • Efectivamente, Heriberto. Enlazo un applet de GeoGebra: https://ggbm.at/zfzdxrpz o http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/gaussianos_20180810.html.

          Utilizo r y r’, para R y r respectivamente, y T y T’ para las áreas de los triángulos. Si las alturas de ambos triángulos respecto al lado común b son h y h’, es fácil ver que

          h=r sen(2\alpha),\;h' = r' sen(2\alpha'),\; tg(\alpha) = \frac{r}{b},\;tg(\alpha') = \frac{r'}{b}

          Utilizando que sen(2\alpha)=\frac{2tg(\alpha)}{1+tg^2(\alpha)} es fácil determinar entonces los límites.

          El valor que igual las áreas se encuentra entonces también fácilmente y con ayuda del teorema de la altura se ve que el triángulo OO’B es rectángulo.

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          • Hola, llevo algún rato tratando de darle un poco de sentido pero no lo encuentro, no es trivial para mi, quizás estoy algo deshabituado.

            Por qué usa la fórmula del ángulo doble para el seno, no veo la relación entre el seno doble de alpha y h,r

            si me podéis ayudar seria genial.

            muchas gracias

      • Sobre el límite del cociente de áreas. Son iguales cuando el punto B se sitúa en el punto medio de la recta tangente común trazada desde un punto situado en la línea recta que une los centros

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  2. Sea x la medida de la tangente común de ambas circunferencias, también definamos los ángulos m\angle ABC =\alpha y ABC'=\beta entonces las áreas respectivas son

    [ABC]=\dfrac{x^2}{2}\sin \alpha
    [ABC']=\dfrac{x^2}{2}\sin \beta

    La relación entre las áreas será

    \dfrac{[ABC]}{[ABC']}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}

    Por otro lado se sabe que \sin \frac{\alpha}{2}=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+x^2}} y \sin \frac{\beta}{2}=\dfrac{r}{\sqrt{r^2+x^2}} por ende \sin\alpha = \dfrac{Rx}{R^2+x^2} y \sin \beta= \dfrac{rx}{r^2+x^2}, así tenemos

    \dfrac{[ABC]}{[ABC']}=\dfrac{R(r^2+x^2)}{r(R^2+x^2)}

    Luego los límites son

    \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{R(r^2+x^2)}{r(R^2+x^2)}=\dfrac{R}{r}

    \lim\limits_{x\to0} \dfrac{R(r^2+x^2)}{r(R^2+x^2)}=\dfrac{r}{R}

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  3. Off-topic: lo del “infinite loop” en la pág. 252 del libro de LaTex, es creo, una referencia a una broma poco conocida del creador de Tex, Donald Knuth, que en la edición del primer tomo de su “The Art Of Computer Programming”, para poner de relieve la recursión, realiza una referencia mutua cruzada en el índice entre “circular definition (see definition, circular)” y “definition, circular (see circular definition)”, pags. 631 y 633. Por desgracia, cuando la editorial Reverté publicó la edición en castellano, por lo demás, una muy correcta traducción, olvidaron este rasgo de humor, que no es el único de este autor ( por ejemplo la contraportada de “Concrete Mathematics” recuerda una vieja serie de dibujos animados, “Los Dalton”).

    https://en.wikipedia.org/wiki/Donald_Knuth

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