Hoy viernes os dejo el problema de la semana en Gaussianos. Ahí va:
Tenemos dos circunferencias de centros
y
y radios
y
, respectivamente, que son tangentes exteriores en un punto
. Por un punto
de la tangente común se trazan dos tangentes
y
, siendo
y
los puntos de contactos de éstas con las respectivas circunferencias.
Se pide calcular el límite del cociente de las áreas de los triángulosy
en los siguientes casos:
a) Si el punto
b) Si el punto
Que se os dé bien.
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El límite cuando los puntos se alejan es muy fácil, es R/r. También es fácil de demostrar.
El límite cuando B se aleja se ve visualmente sin dificultad. Probar ambos analíticamente es más sencillo de lo que pudiera parecer. En este tweet hay una animación (no la demostración, que mejor dejar pasar un tiempo).
A propósito: ¿Cuándo tienen ambos la misma área?
Los límites pedidos son r/R, para cuando B tiende a A y su recíproco, R/r, para cuando B se aleja indefinidamente de A.
Respecto a tener los triángulos la misma área, sucede cuando B dista de A, la media geométrica de los radios (sqrt(r*R) ).
Saludos
Efectivamente, Heriberto. Enlazo un applet de GeoGebra: https://ggbm.at/zfzdxrpz o http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/gaussianos_20180810.html.
Utilizo r y r’, para R y r respectivamente, y T y T’ para las áreas de los triángulos. Si las alturas de ambos triángulos respecto al lado común b son h y h’, es fácil ver que
Utilizando que
es fácil determinar entonces los límites.
El valor que igual las áreas se encuentra entonces también fácilmente y con ayuda del teorema de la altura se ve que el triángulo OO’B es rectángulo.
Hola, llevo algún rato tratando de darle un poco de sentido pero no lo encuentro, no es trivial para mi, quizás estoy algo deshabituado.
Por qué usa la fórmula del ángulo doble para el seno, no veo la relación entre el seno doble de
y h,r
si me podéis ayudar seria genial.
muchas gracias
Sobre el límite del cociente de áreas. Son iguales cuando el punto B se sitúa en el punto medio de la recta tangente común trazada desde un punto situado en la línea recta que une los centros
Sea
la medida de la tangente común de ambas circunferencias, también definamos los ángulos 
y 
entonces las áreas respectivas son
La relación entre las áreas será
Por otro lado se sabe que
y 
por ende 
y 
, así tenemos
Luego los límites son
El punto de inflexión ocurre para x = R / raíz(3)
Off-topic: lo del «infinite loop» en la pág. 252 del libro de LaTex, es creo, una referencia a una broma poco conocida del creador de Tex, Donald Knuth, que en la edición del primer tomo de su «The Art Of Computer Programming», para poner de relieve la recursión, realiza una referencia mutua cruzada en el índice entre «circular definition (see definition, circular)» y «definition, circular (see circular definition)», pags. 631 y 633. Por desgracia, cuando la editorial Reverté publicó la edición en castellano, por lo demás, una muy correcta traducción, olvidaron este rasgo de humor, que no es el único… Lee más »