La espiral de Ulam

Hay conferencias y conferencias. Las hay cortas y las hay extensas; las hay aburridas y las hay entretenidas; algunas por la temática parecen una muerte y luego resultan ser muy interesantes, al igual que otras parece que van a ser buenas por lo llamativo del título pero acaban siendo un auténtico…digamos…somnífero.

Quien más quien menos ha asistido alguna vez a una conferencia. Yo mismo asistí a varias en mis años de carrera. Recuerdo principalmente dos de ellas, una sobre matemáticas y pompas de jabón y otra sobre fractales, que me encantaron. Bueno, en realidad también recuerdo haber asistido a una de esas que he comentado antes que a priori parecen interesantes pero que al final resultan aburridísimas. Además la ponencia corría a cargo de un matemático francés que la dio en inglés. Casi nada.

El caso es que Stanislaw Ulam (sí, el del Cuaderno Escocés) debió asistir a una conferencia de este tipo cuando comenzó nuestra historia, concretamente en 1963. Cuando uno se encuentra en esa situación tiene varias opciones: abandonar la sala (posiblemente sea una opción de mal gusto, pero ahí está), leer o estudiar (si uno está en situación de ello), comentar con el compañero para evitar los bostezos…Nuestro amigo Ulam optó por otra: escribir en un papel. ¿Qué escribió? Pues como buen matemático lo que escribió fueron números. En concreto números naturales comenzando en el uno.

En principio este hecho no tiene nada de particular. ¿Qué podrían significar un puñado de números escritos en un papel? Al menos Ulam eligió una disposición original para estos números: en forma de espiral, como puede verse en la siguiente figura:

Bien, queda curioso el asunto. Utilidad y novedad nula, pero curioso.

Claro, supongo que Ulam se cansó en algún momento de escribir número y observando su creación se preguntaría qué hacer ahora (la conferencia debía ser una castaña de mucho cuidado a ojos de Ulam). Me estoy imaginando lo que pasó por la cabeza de Ulam en esos momentos:

Mente de Stanislaw Ulam: ¿Qué números podrían ser significativos para resaltarlo en tal espiral? Qué mejor que los primos. Bueno, pues vamos a marcarlos en la espiral.

En este punto os animo a que lo intentéis, a que escribáis unos cuantos números desde el uno en adelante en forma de espiral (cuantos más mejor) y marquéis los números primos de alguna forma para que resalten sobre el resto. Seguimos con Ulam:

Mente de Stanislaw Ulam: Mira qué bien queda. Un momento, qué casualidad, pues no que parece que se agrupan en diagonales. Bah, seguro que es casualidad. En cuanto aumente el tamaño de la espiral posiblemente la disposición sea tan caótica como parece serlo entre los números naturales.

Pero aumentando el tamaño de la espiral…

Mente de Stanislaw Ulam: ¡¡Pero bueno!! ¡¡Si el patrón de los primos en diagonal es aún más evidente conforme aumentamos el tamaño de la espiral!!

Y en realidad así es. Misteriosamente los números primos tienden a agruparse en ciertas diagonales. No todos, cierto, pero sí que puede considerarse como realmente curioso que en una disposición de los números naturales de este tipo exista esta tendencia de agrupación, digamos, gráfica, de un conjunto con tan pocas regularidades como los números primos. Echad un ojo a esta imagen y lo podréis ver con más detalle:

Quizás sea necesario aclarar un hecho en este momento. Sabemos que, excepto el 2, todos los números primos son impares. Teniendo en cuenta esto es evidente que en una representación en espiral como la anterior todos los impares caen en diagonal, por lo que todos los primos caen en las diagonales. Lo sorprendente de la espiral de Ulam no es eso, sino que exista cierta tendencia de los números primos a caer en algunas diagonales más que en otras. Aumentando mucho el tamaño de la espiral se pueden ver diagonales con muy pocos números primos y diagonales repletas de ellos. Eso es lo sorprendente, y para mí difícilmente explicable, de la espiral de Ulam.

Por cierto, parece que estos mismos patrones también se presentan si comenzamos la espiral con otros números. Este hecho es aún más importante, ya que podría significar que la agrupación de los números primos en ciertas diagonales es independiente del comienzo de la espiral, confirmando así un patrón de los mismos. La cosa sería ver cómo podríamos utilizar esto para comprender mejor este conjunto de números tan misterioso.

Os dejo a continuación un par de enlaces interesantes sobre el tema:

• Applet de java sobre la espiral de Ulam en la web de Darío Alpern. Pueden verse los números naturales hasta , con los números primos marcados en verde. Además aparece alguna explicación interesante sobre el tema.
• Espiral de Ulam en forma de triángulo.

Moraleja: No desechéis ninguna de vuestras ideas, por tonta, simple o descabellada que os parezca. Analizadla y estudiadla antes de olvidarla, ya que en cualquier lugar podemos encontrarnos un hecho curioso, interesante o sorprendente.