No, el título del post no está mal. Vamos a ver cómo construir un heptágono regular con regla y compás. Bueno, mejor dicho vamos a reproducir la construcción del heptágono regular que se podía ver en una de las imágenes del post de la semana pasada dedicado al Tratado Práctico de Geometría que me encontré en la calle. Me refiero a ésta:

Si os fijáis, en la página de la izquierda puede verse una supuesta construcción de un heptágono regular inscrito en una circunferencia. Lo que vamos a hacer es seguir paso a paso esta construcción.

Partimos, por ejemplo, de los puntos C y D, que serán nuestros puntos de partida. Trazamos el segmento CD, después el punto medio de este segmento, A, y después la circunferencia de centro A y radio AC:

Trazamos ahora una circunferencia con centro en C y radio CD y otra con centro en D y radio también CD. Estas dos circunferencias se cortan en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos N:

Ahora dividimos el diámetro CD en siete partes iguales, procedimiento que se puede realizar con regla y compás, como ya vimos en este artículo. Básicamente la idea es trazar un segmento desde el punto C (que forme un ángulo mayor que cero con CD) y llevar a ese segmento la misma distancia siete veces (en el dibujo esa distancia es 1). Unimos después el último punto obtenido en dicho segmento con el punto D y después trazamos paralelas al segmento resultante que pasen por los puntos obtenidos anteriormente en el segmento:

Nos quedaría el diámetro CD dividido en siete partes iguales:

En este punto nos encontramos con una de las claves de la construcción: desde N trazamos una semirrecta que pase por el segundo punto que nos encontramos en CD comenzando a contar desde C. Esa semirrecta cortará a la circunferencia inicial en dos puntos. Quedándonos con el que en la figura se denomina P

tenemos que el lado del heptágono regular buscado es CP. Ahora simplemente tenemos que transportar ese lado a lo largo de la circunferencia

para obtener nuestro heptágono regular:

Sorprendente, ¿verdad? ¿Cómo que no se podía construir un heptágono regular con regla y compás?

Bien, pues no, no se puede, ya que 7 no cumple el teorema que aparece en este artículo. Por tanto tiene que haber algo mal. ¿Alguien ha encontrado el fallo?

Vamos a ampliar un poco la imagen anterior:

¿Veis qué ocurre? La última circunferencia no pasa exactamente por el punto C, como debería ocurrir, sino que corta a la circunferencia inicial en otro punto. Lo que ocurre es que cada punto que obtenemos en nuestra circunferencia no es exactamente un vértice del heptágono regular, aunque lo parece. Conforme vamos obteniendo puntos vamos cometiendo un mínimo error que se va acumulando hasta llegar al último punto, en el que se muestra el error total cometido. Por tanto, el último lado del supuesto heptágono regular que habríamos dibujado sería más pequeño que los anteriores. En consecuencia, la figura que tenemos inscrita en la circunferencia inicial no es en realidad un heptágono regular. Es una interesante aproximación, pero solamente eso, una aproximación.


En esta página se pueden ver algunas mentiras clásicas relacionadas con construcciones con regla y compás, acompañadas de una explicación y un applet de GeoGebra. Por ejemplo, aquí tenéis un método aproximado para construir un eneágono regular con regla y compás (recordemos que el eneágono regular, polígono regular de 9 lados, tampoco se puede construir con regla y compás).

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