En los últimos días ha circulado por las redes sociales un problema que se ha propuesto en el examen de matemáticas de acceso a la universidad de la Scottish Qualifications Authority que, según parece, tiene una dificultad muy alta teniendo en cuenta el nivel para el que estaba preparado. Os voy a enseñar el problema y os dejaré a vosotros que decidáis si en realidad es tan complicado.

Bueno, vamos a comenzar presentando el problema en cuestión:

Ahí va una traducción del mismo:

Un cocodrilo, situado a un lado de un río, acecha a su presa, una cebra, que está situada al otro lado del río a 20 metros de distancia.

El cocodrilo viaja a diferentes velocidades en tierra y en agua.

El tiempo que tarda el cocodrilo en alcanzar a su presa se puede minimizar si nada hasta un cierto punto P, situado en la otra orilla a x metros de la vertical del cocodrilo, como se muestra en la imagen:

El tiempo total, T, medido en décimas de segundo está dado por:

T(x)=5 \sqrt{36+x^2}+4(20-x)

a)

i) Calcula el tiempo si el cocodrilo no va por tierra.
ii) Calcula el tiempo si el cocodrilo nada la menor distancia posible.

b) Entre los dos extremos hay un valor de x que minimiza el tiempo. Encuentra ese valor de x y después el menor tiempo posible.

Os dejo un ratito para que intentéis resolverlo.

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¿Lo habéis resuelto? ¿Os parece muy complicado para personas que tienen intención de acceder a la universidad?

La función T(x) nos da el tiempo que tarda el cocodrilo en llegar a su presa, la cebra, en función de una cierta distancia x que viene perfectamente especificada en la imagen. Por otro lado, en la imagen se ve claramente que el cocodrilo puede moverse sólo por agua (si va nadando directamente hacia la presa) o puede combinar agua y tierra, nadando hacia un punto del otro lado del río y después recorriendo el resto del camino hacia la presa andando (se entiende que la presa no se mueve, debe ser una cebra ciega y sorda…). Vamos a interpretar ahora cada uno de los enunciados para ver qué nos están pidiendo:

  • En la primera parte del apartado a) nos dicen que calculemos el tiempo que tardaría el cocodrilo en llegar a la cebra si no va por tierra. Evidentemente eso significa que, en este caso, el cocodrilo va directamente hacia la presa nadando.
  • En la segunda parte del apartado a) nos piden el tiempo que tardaría el cocodrilo si nada la menor distancia posible. Está claro entonces que, en ese caso, el cocodrilo debe nadar en línea recta vertical hacia el otro lado del río y después andar los 20 metros que le separarían en ese momento de su presa.
  • Y en el apartado b) nos piden la distancia que debería recorrer el cocodrilo para que el tiempo sea el mínimo posible. Vamos, el mínimo de la función T(x).

Creo que no debería ser demasiado difícil que alumnos preuniversitarios pudieran realizar estas interpretaciones, ¿verdad? Veamos ahora cómo podríamos calcular cada uno de los datos que nos piden:

  • a) i): En este caso, está claro que el valor de x es el mayor posible, ya que el cocodrilo va nadando directamente hacia la presa. Por tanto, x=20, y el valor de tiempo que nos piden será entonces T(20). Haciendo las cuentas queda lo siguiente:

    T(20)=104.4 \ldots décimas de segundo=10.4 \ldots segundos

  • a) ii): Aquí x debe ser nula, ya que el cocodrilo nada en vertical. Entonces, el valor de tiempo en este caso sería T(0):

    T(0)=110 décimas de segundo=11 segundos.

  • b): Y aquí nos piden un mínimo de la función T(x). Como todo alumno que haya superado el bachillerato debe saber, podemos calcular dicho mínimo mediante derivadas. Hagamos los cálculos:

    \begin{matrix} T'(x)=\cfrac{5x}{\sqrt{36+x^2}}-4 \\ T'(x)=0 \Rightarrow \cfrac{5x}{\sqrt{36+x^2}}-4=0 \\ 5x=4 \sqrt{36+x^2} \\ 25x^2=16(36+x^2)=576+16x^2 \\ 9x^2=576 \\ x^2=64 \Rightarrow x=8 \end{matrix}

    (Descartamos la solución x=-8 porque x simboliza una distancia.)

    Para comprobar que en ese punto se alcanza el mínimo, podríamos calcular la segunda derivada de T(x), evaluarla en x=8 y confirmar que el resultado es positivo.

    Por tanto, el tiempo mínimo se alcanza cuando el cocodrilo nada en línea recta hasta el punto x=8 y después anda en línea recta de nuevo hacia la cebra. Ese tiempo sería, entonces:

    T(8)=98 décimas de segundo=9.8 segundos


    Después de ver el problema, la interpretación del mismo y su solución viene la pregunta que titula esta entrada: ¿es tan difícil el problema escocés del cocodrilo? Yo entiendo que no, que es un problema de una dificultad adecuada teniendo en cuenta el nivel para el que está planteado (acceso a la universidad). Puedo entender que personas no familiarizadas con el cálculo diferencial en una variable no lleguen a resolverlo, pero alumnos de ciencias preuniversitarios…

    Bueno, pues al parecer ha habido muchas quejas sobre el examen en general, y sobre este problema en particular. Mucha gente considera que la dificultad del problema de la cebra y el cocodrilo es excesiva para este examen (se comenta incluso que hubo alumnos que salieron llorando del examen…). La cosa llegó a tal punto que los organizadores de la prueba se vieron obligados a bajar el aprobado a una nota de 3.4 (fuente: BBC News), supongo que porque si no lo hubieran hecho habrían aprobado cuatro gatos.

    Está habiendo mucho debate sobre el tema en muchos lugares, pero ya digo que para mí no hay debate. ¿Qué pensáis vosotros?

    Por cierto, aquí tenéis el examen completo. Espero vuestras opiniones.

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