Falacias geométricas (I)

Introducción

Estoy convencido de que mucha gente piensa que la única obra de Euclides es Elementos. O al menos que es la única que se conservó o que se conoce. Nada más lejos de la realidad. Se conservan cinco obras más del gran matemático griego y además se conoce que escribió algunas más, que por desgracia no han llegado a nuestros días (en la entrada sobre Euclides de la Wikipedia inglesa podéis ver información sobre el tema).

Vamos a pararnos en una de las perdidas: Pseudaria (El Libro de los Engaños). Aunque no tenemos datos concretos sobre su contenido se sabe que en esta obra Euclides nos presentaba algunas falacias geométricas. Posiblemente dicha presentación se realizaría planteando un teorema absurdo y dando una demostración ilícita, analizando posteriormente la situación en conjunto. ¡Qué lástima que no hayamos podido disfrutar de ellas!

El caso es que en este artículo os voy a presentar tres falacias geométricas que bien podían haber sido parte del contenido de Pseudoria, ya que los conocimientos necesarios para desmontarlas no pasan de la geometría plana que se conocía en la época de Euclides. En todas ellas se plantea un enunciado totalmente contrario a la realidad y se incluye una demostración del mismo (las construcciones que se realizan en las mismas podéis consultarlas en Construcciones con regla y compás (I)). Encontrar el punto del camino en el que se encuentra el error es cosa vuestra. ¿Me acompañáis? ¡Adelante!

Ángulo rectuso

Teorema:

A veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

Demostración:

Partimos de un cuadrado, digamos , como el de la figura de la derecha. Podéis seguir toda la demostración a partir de dicha figura.

Tomamos el punto , punto medio del lado , y trazamos desde ese punto una perpendicular a que cortará al lado en un punto. Llamemos a dicho punto. Es evidente que en esta situación el segmento es igual al segmento .

Trazamos ahora desde un segmento de la misma longitud que el lado , pero un poco desplazado. Obtenemos el punto , a partir del cual se cumple (por construcción) que . Construimos el segmento , tomamos su punto medio, digamos , y desde él se traza una perpendicular a .

Como y no son paralelas, y la perpendicular a trazada anteriormente desde tampoco lo son. Por tanto deben cortarse en algún punto. Llamamos a ese punto de corte entre ellas. DEsde este punto tracemos los segmento y .

Los triángulos y son iguales, ya que , es un lado común y los ángulos en son rectos. Por tanto se tiene que .

Lo mismo ocurre con los triángulos y . Son iguales ya que , el lado es común y los ángulos en son rectos. En consecuencia , y el ángulo es igual al ángulo .

Por otra parte, se tiene que (son dos de los lados del cuadrado inicial) y además también son iguales a (por construcción de este segmento). Esto significa que los triángulos y tienen iguales todos sus lados, por lo que los ángulos y son iguales.

Ya lo tenemos: como los ángulos y son iguales (visto antes), se los podemos restar a los dos ángulos que hemos visto que son iguales en el párrafo anterior, quedando por consiguiente dos ángulos iguales. Lo vemos:

Es decir, los ángulos y deben ser iguales…pero el primero es un ángulo recto y el segundo un ángulo obtuso.

Con esto demostramos el teorema inicial: A veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

Isoscelosis

Teorema:

Todo triángulo es isósceles.

Demostración:

Tomamos un triángulo cualquiera. Igual que en el caso anterior podéis seguir la demostración en la figura adjunta.

Construimos el punto , punto medio del lado , y desde él trazamos el segmento , perpendicular a . Ahora construimos la bisectriz del ángulo , a partir de la cual pueden darse dos casos:

1.- La bisectriz no corta a : entonces ambas rectas son paralelas. Por tanto la bisectriz es perpendicular a . Esto nos lleva a que , esto es, el triángulo es isósceles.

2.- La bisectriz corta a : llamemos al punto de intersección entre ellas. Trazamos y y también y , perpendiculares a y a respectivamente.

A partir de aquí se tiene que los triángulos y son iguales, al tener a como lado común y los ángulos y iguales a los ángulos y respectivamente. Por tanto, y .

Por otra parte, los triángulos y son iguales, al ser , lado común y los lados del vértice iguales. De aquí .

Además los triángulos y son rectángulos. Por ello, el cuadrado de es igual a la suma de los cuadrados de y (teorema de Pitágoras) y el cuadrado de es igual a la suma de los cuadrados de y . Pero tenemos que y . Por ello el cuadrado del lado es igual al cuadrado de . Entonces . Como teníamos de antes que se cumple que , lo que implica que el triángulo es isósceles.

Conclusión: todo triángulo es isósceles.

Ángulo=Ángulo, lado=lado paralelogramo

Teorema:

Si en un cuadrilátero se cumple que el ángulo es igual al ángulo y el lado es igual al lado , entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Demostración:

Tomamos un cuadrilátero , como el de la figura. Trazamos , perpendicular a y , perpendicular a . Ahora trazamos el segmento .

Los triángulos y son congruentes (es decir, sus lados y sus ángulos son iguales, aunque no están colocados en la misma posición). Por ello es igual a y es igual a . De aquí los triángulos y también son congruentes, por lo que es igual a .

Como es igual a y es igual a , el cuadrilátero es un paralelogramo.

Conclusión

Como hemos comentado antes, es evidente que los tres teoremas son falsos. Lo suyo sería que encontráramos los errores de las demostraciones, si puede ser junto a un contraejemplo. ¿Podremos?

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