Todos los que habitualmente pasáis por aquí conocéis el factorial, que aplicado a los naturales positivos se calcula mediante el producto del natural en cuestión por todos los naturales positivos menores que él. Incluso muchos sabréis que puede generalizarse a («casi todos») los números complejos mediante la función Gamma.

Ahora, ¿alguien se ha preguntado qué saldría si, en vez de multiplicar por los naturales positivos menores que el número, dividimos de manera sucesiva entre ellos? Tanto si la respuesta es afirmativa como si no, hoy vamos a analizar esta situación.

Y no lo voy a hacer yo, sino que lo va a hacer Daniel Galán. Más conocido en redes como @parcialdeseis, Daniel se hizo esa pregunta y comenzó a analizar la expresión resultante, a la que llamó cuestional. Después, descubrió que algunas personas ya se lo habían preguntado antes, pero sin profundizar demasiado. Y eso fue lo que hizo: profundizar más en ello.

En el artículo de hoy, nos presenta su cuestional y nos habla un poco sobre algunas de las cosas que ha desarrollado sobre él. Os dejo con su presentación y, después, con su artículo. Muchas gracias, Daniel, por permitir que Gaussianos sea el sitio en el que presentes tu trabajo.


Daniel GalánSoy Daniel Galán y nací en el año 2002 en la isla canaria de Tenerife, y desde entonces he estado dando la tabarra tanto con las cosas que sabía por qué eran así como con las que no. Es por esto que en 2020 comencé en la Universidad de La Laguna el Grado en Física, del que me gradúo este año, sin haber aprendido la lección, pues este septiembre voy a empezar el Grado en Matemáticas.

Es por esto de no poder callarme las cosas que sé que el 21 de julio de 2021 empecé una pequeña página de divulgación en Instagram, ParcialDeSeis (@parcialdeseis), donde intento divulgar física y matemáticas de un nivel más alto al estándar de manera amena y, con algo de suerte, graciosa. El año pasado me uní también a X (anteriormente conocida como Twitter) simplemente por las risas, pero no pude evitar empezar a escribir hilos, descubriendo en ellos una nueva y maravillosa forma de divulgar la ciencia.


Conozco Gaussianos desde hace muchos años, y creo que es más que justo decir que es uno de los referentes de la divulgación de matemáticas en España, por lo que no puedo enfatizar el increíble honor que es para mi estar escribiendo para este blog.

Pero bueno, vamos a hablar de matemáticas, que para esto estamos aquí. El día 6 de enero de 2024 publiqué a modo de broma un tuit definiendo una nueva operación, el cuestional, que denoté como \( n? \) en contraposición al factorial:

n? = \cfrac{n}{\frac{n-1}{\frac{n-2}{\frac{\vdots}{1}}}} \qquad (1)

Unas cuantas personas me han dicho que por qué lo llamé cuestional en vez de fraccional, o algo así. La verdad es que simplemente lo pensé en inglés, como si factorial viniera de fact (hecho, en inglés) en vez de factor. Lo contrario a un hecho, a algo seguro, es una pregunta, así que como estaba definiendo lo «contrario» al factorial decidí llamarlo cuestional (de cuestión) y ponerle una interrogación en vez de una exclamación.

Lo primero que podemos ver es que, de forma análoga al factorial ( con el que se cumple que \( n! = n (n-1)! \)), el cuestional viene definido por una relación de recurrencia:

\[
n? = \cfrac{n}{(n-1)?} \qquad (2)
\]

o, de una manera más eficiente para las demostraciones, \( n?(n-1)? = n \). También podemos ver que el cuestional se puede escribir en términos de dobles factoriales de la siguiente manera:

\[
n? = n \cdot \cfrac{1}{n-1}\cdot \cfrac{1}{\frac{1}{n-2}}\cdots \cfrac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{\vdots}{1}}}} = \cfrac{n(n-2)(n-4)\cdots}{(n-1)(n-3)(n-5)\cdots} = \cfrac{n!!}{(n-1)!!}
\]

donde \( n!! \) indica el doble factorial de \( n \), que se define tal que

\[
n!! = \left\{ \begin{array}{ll}
n(n-2)\cdots 2& \textrm{si } n \textrm{ es par,} \\
n(n-2)\cdots 1& \textrm{si } n \textrm{ es impar.}
\end{array} \right.
\]

De esta manera, podemos calcular el cuestional de los primeros 10 números naturales, por ejemplo. Pero esto nos genera una pregunta, ya que el 0 es obviamente natural. ¿Cuánto vale el cuestional de 0?. De la propia definición, podemos ver que \( 1?=1 \), y si combinamos esto con la relación de recurrencia (2) vemos que no queda otro remedio que \( 0?=1 \). Ya sabiendo esto, podemos ver que

\[
\begin{array}{ll}
0?=1 & 5? = 15/8 \\
1?=1 & 6? = 48/15\\
2?=2 & 7? = 105/48\\
3?=3/2 & 8? = 384/105\\
4?=8/3 & 9? = 945/384\\
\end{array}
\]

De hecho, si siguiéramos un poco más veríamos que \( 15? = \pi\) …hasta el segundo decimal. Podemos ver con relativa facilidad cómo todos los números naturales mayores que 2 tendrán cuestional racional. Esto se sigue directamente de su definición como razón entre dos dobles factoriales. Si \( n \) es par, \( n!! \) será un producto de números solamente pares y \( (n-1)!! \) será un producto de números solamente impares. Al dividirlos, no se podrá cancelar ningún término de arriba con ninguno de abajo, por lo que siempre quedará una razón entre números naturales: un número racional. Si \( n \) es impar, ocurre algo parecido, pero a la inversa.


Representación gráfica del valor de \( n? \) para \( 0 \leq n \leq 15 \) natural.

Hasta aquí todo está precioso (en mi opinión), pero esto es algo que podría haber hecho cualquiera. De hecho, al publicar el hilo que resume todo de lo que hemos hablado y hablaremos, una persona me compartió un enlace de Flammable Math en el que define esta misma operación, la llama dividorial y la denota como \( n¡ \). Me asusté bastante, no lo voy a negar, pero solo se quedaba en los naturales. También @tricojones tuvo la misma idea en 2022 con la misma notación (igual que yo, a modo de chiste). Lo que hice yo, con ayuda de @maikiowo, fue extender esta operación a los complejos, obteniendo por el camino sorpresa tras sorpresa.

La primera pregunta es obvia: ¿por dónde empezamos? Pues por los dobles factoriales. Lo que buscamos fue una extensión compleja de los dobles factoriales. Sabemos que si \( z \) es un número par,

\[
z!! = 2^{z/2} \Gamma\left( 1+ \cfrac{z}{2} \right),
\]

y, si es impar,

\[
z!! = \sqrt{\cfrac{2}{\pi}} \ 2^{z/2} \Gamma\left( 1+ \cfrac{z}{2} \right).
\]

Recordamos que la Gamma de Euler se define de la siguiente manera:

\[
\Gamma (z) = \displaystyle{\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} \ \mathrm dt}
\]

para todos los complejos que no sean enteros no positivos. De esta manera, podemos extender a los complejos el doble factorial mediante la siguiente función:

\[
z!! = T_2 (z) 2^{z/2} \Gamma\left( 1+ \cfrac{z}{2} \right),
\]

donde lo único que tiene que cumplir esta función \( T_2 (z) \) es que tiene que valer \( 1 \) para todos los números pares y \( \sqrt{2/\pi} \) para todos los impares. Esto lo cumplen infinitas funciones, pero nos vamos a quedar con la aparentemente más sencilla, y en un par de párrafos, cuando sepamos más cositas, os contaré por qué no solo es una buena opción, sino la mejor

\[
T_2 (z) = \left( \sqrt{\cfrac{2}{\pi}}\right)^{[1-\cos (\pi z)]/2}
\]

Sé que cuando dije que esta era la función más sencilla no era esto lo que esperabais encontrar, pero mirad: cuando \( z \) es par, \( \cos (\pi z) = 1 \), por lo que el exponente es 0, y cualquier cosa elevada a 0 es 1. Además, si \( z \) es impar, \( \cos (\pi z) = -1 \), por lo que el exponente es 1 y entonces la función vale \( \sqrt{2/\pi} \). Esto es exactamente lo que pedíamos. Entonces, vemos que el cuestional toma la siguiente forma:

\[
\begin{matrix} z? = \cfrac{z!!}{(z-1)!!} = \cfrac{2^{z/1}}{2^{(z-1)/2}} \ \cfrac{T_2 (z)}{T_2 (z-1)} \ \cfrac{\Gamma(1+z/2)}{\Gamma ((1+z)/2)}= \\
= \sqrt{2} \ \cfrac{T_2 (z)}{T_2 (z-1)} \ \cfrac{\Gamma(1+z/2)}{\Gamma ((1+z)/2)} \end{matrix}
\]

Vamos ahora a fijarnos en el cociente de las Gammas de Euler y veamos cómo podemos jugar con él. Si pensamos en cocientes de Gammas, no se ustedes, pero yo me acuerdo de la Beta de Euler, \( \beta (p,q) \). En concreto, de cómo está relacionada con la Gamma:
\[
\beta (p,q) = \frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)},
\]
donde
\[
\beta(p,q) = \int_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1} \ \mathrm dt.
\]
De esta manera, podemos escribir un cociente de Gammas como
\[
\frac{\beta (p,q)}{\Gamma (q)} = \frac{\Gamma (p)}{\Gamma (p+q)}.
\]
Comparándolo con nuestro cociente, obtenemos que
\[
\left\{ \begin{array}{l}
p = 1+ \frac{z}{2} \\
p + q = \frac{1+z}{2},
\end{array} \right.
\]
por lo que, despejando, vemos que \( q=-1/2 \). De esta manera, podemos escribir nuestro cociente de Gammas como
\[
\frac{\Gamma(1+z/2)}{\Gamma ((1+z)/2)} = \frac{\beta(1+z/2, -1/2)}{\Gamma (-1/2)} = -\frac{\beta(1+z/2, -1/2)}{2\sqrt\pi},
\]
ya que \( \Gamma (-1/2) = -2\sqrt\pi \). De esta manera, hasta el momento hemos visto que
\[
z? = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{T_2 (z)}{T_2 (z-1)}\beta\left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right),
\]
de tal forma que solamente nos queda hallar el cociente de \( T_2 (z) \) y \( T_2 (z-1) \). Recordemos que
\[
T_2 (z) = \left( \sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)^{[1-\cos (\pi z)]/2}
\]
Sabiendo que \( \cos ([z-1]\pi) = -\cos (\pi z) \), es fácil ver que
\[
T_2 (z-1) = \left( \sqrt{\frac{2}{\pi}}\right)^{[1+\cos (\pi z)]/2}
\]
y, dividiendo estos dos valores, llegamos a que
\[
\frac{T_2 (z)}{T_2 (z-1)} = \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)^{\cos (\pi z)}
\]
Incorporando esto a nuestra expresión anterior y operando, llegamos a nuestra expresión final para el cuestional:
\[
\boxed{
z? = -\frac12 \left( {\frac{\pi}{2}}\right)^{[\cos (\pi z)-1]/2} \! \! \beta\left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right)
}
\]

Este resultado depende, evidentemente, de nuestra elección de \( T_2 (z) \), que hace unos párrafos dije que justificaría en unos párrafos. Bien, este es el párrafo al que hacía referencia hace algunos párrafos. Esta elección de \( T_2 (z) \) es la única que mantiene aquella relación que definía el cuestional para los naturales junto con un par de condiciones más (que son que en los números naturales la derivada del cuestional sea la misma que la de la envolvente o, más toscamente, que la gráfica no se salga de la envolvente, y que en cada intervalo \( [2n, 2n+2) \) se toque solamente una vez cada una de las envolventes):
\[
n? = \frac{n}{(n-1)?}
\]
¡Con esta elección de \( T_2 (z) \), esto es cierto incluso para los complejos!

Representación gráfica del valor de \( n? \) para \( 0\leq n \leq 16 \) real.

Y paraos a pensar esto un momento: la \( \Gamma (z) \) generaliza el factorial y la \( \beta (p,q) \), el cuestional. No se me ocurren más maneras de venderos lo precioso que es todo esto, la verdad.

Con esa formulita podemos hacer virguerías para hallar los cuestionales de los números que queramos. No siempre llegaremos a una expresión analítica, por supuesto, pero haciendo uso de la siguiente propiedad de la Gamma de Euler,
\[
\Gamma (1-z)\Gamma (z) = \frac{\pi}{\sin (\pi z)}
\]
podemos hallar por ejemplo el valor del cuestional de 1/2.
\[
\boxed{\left( \frac12 \right)? = \frac{\Gamma^2 (1/4)}{4\pi} \simeq 1.04604\ldots}
\]

El cuestional, al estar generalizado por la Beta y por ello tener una fuerte relación con la Gamma, está metido en el mundo de las funciones especiales, y, a la que hagas cualquier operación con él, salen a raudales. Su derivada, por ejemplo, depende de la función digamma, \( \psi (z) = (\log (\Gamma (z)))’ \):
\[
\frac{\mathrm d z?}{\mathrm dz} = \frac{z?}{2} \left[ \psi \left( 1 +\frac{z}{2} \right) – \psi \left(\frac{1+z}{2} \right) -\pi\log \left( \frac{\pi}{2}\right)\sin (\pi z) \right]
\]

Con vuestro permiso, esto lo vamos a demostrar, nos vamos a «ensuciar» las manos. Para que no sea todo una barbaridad de farragoso, vamos a escribir el cuestional como
\[
z? = -\frac12 k^{g(z)}\beta \left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right),
\]
donde, evidentemente, \( k=\pi /2 \) y \( g(z) = [\cos (\pi z) -1]/2 \). De esta manera,
\[
\frac{\mathrm d z?}{\mathrm dz} = -\frac12 \left[ (k^{g(z)})’ \beta \left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right) + k^{g(z)} \beta’ \left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right) \right]
\]

Por derivación logarítmica, vemos que \( (k^{g(z)})’ = k^{g(z)} g'(z) \log (k) \). Donde hay más chicha es en la derivada de la Beta. Para calcularla, tendremos que recurrir a la función digamma, que más explícitamente toma la forma
\[
\psi (z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz} \log (\Gamma (z)) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma (z)}.
\]
Podemos calcular la derivada de la Beta en términos de la derivada de la Gamma:

\[
\begin{matrix}
\beta’ \left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right) = \left[ \frac{\Gamma (1+z/2)\Gamma(-1/2)}{\Gamma ((1+z)/2)} \right]’= \\ = \frac{\Gamma(-1/2)}{\Gamma^2((1+z)/2)} \left[\Gamma ‘ (1+z/2)\Gamma((1+z)/2) – \Gamma (1+z/2)\Gamma'((1+z)/2) \right]
\end{matrix}
\]

Podemos escribir las derivadas de la Gamma en función de la Digamma. Según vimos en el párrafo anterior, \( \Gamma’ (z) = \Gamma (z) \psi (z) \)0. Y usando la Regla de la Cadena:

\begin{align*}
\Gamma ‘ (1+z/2) &= \frac12 \Gamma (1+z/2) \psi (1+z/2) \\
\Gamma ‘ ((1+z)/2) &= \frac12 \Gamma ((1+z)/2) \psi ((1+z)/2)
\end{align*}

Sustituyendo estos resultados y reordenando,

\begin{align*}
\beta’ \left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right) &= \frac12 \left[ \frac{\Gamma(1+z/2)\Gamma(-1/2)}{\Gamma ((z+1)/2)} \right] \left( \psi (1+z/2) – \psi ((1+z)/2) \right)= \\
&= \frac12 \beta \left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right)\left( \psi (1+z/2) – \psi ((1+z)/2) \right)
\end{align*}

Por lo tanto, sustituyendo todo:

\begin{align*}
\frac{\mathrm d z?}{\mathrm dz} &= -\frac12 \left[ k^{g(z)} g'(z) \log (k) \beta \left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right) \right. + \\
&\left. + k^{g(z)} \frac12 \beta \left( 1+\frac{z}{2}, -\frac12 \right)\left( \psi (1+z/2) – \psi ((1+z)/2) \right) \right],
\end{align*}

y si recordamos que \( z? = -\frac12 k^{g(z)} \beta (1+z/2,-1/2) \), vemos que

\[
\frac{\mathrm d z?}{\mathrm dz} = z? \left[ \frac12 \left( \psi \left( 1+\frac{z}{2}\right) – \psi \left(\frac{1+z}{2}\right) \right) + g'(z) \log (k) \right],
\]

y como \( k=\pi /2 \) y \( g'(z)=-\pi\sin(\pi z)/2 \), llegamos a nuestro resultado de la derivada del cuestional:

\[
\boxed{\frac{\mathrm d z?}{\mathrm dz} = \frac{z?}{2} \left[ \psi \left( 1 +\frac{z}{2} \right) – \psi \left(\frac{1+z}{2} \right) -\pi\log \left( \frac{\pi}{2}\right)\sin (\pi z) \right] }
\]


Por cierto, ¿soy el único que se había dado cuenta de esto?

\[
\require{cancel} \frac{\mathrm d z?}{\mathrm dz} = \frac{\cancel{\mathrm d z}?}{\cancel{\mathrm d z}} = ?
\]

Sorry…


Para seguir la «broma», voy a llamar a esta función \( ?(z) \), i.e.

\[
?(z)=\frac{z?}{2} \left[ \psi \left( 1 +\frac{z}{2} \right) – \psi \left(\frac{1+z}{2} \right) -\pi\log \left( \frac{\pi}{2}\right)\sin (\pi z) \right]
\]

Esta expresión no es la más compacta del Universo, no hace falta que me lo digáis, pero honestamente (y sé que estoy sesgado) me parece preciosa. Para empezar, la derivada del cuestional es proporcional al propio cuestional. Además, incluye una de mis funciones favoritas (la digamma), el número \( \pi \) y su logaritmo natural (en base \( e \)). Evidentemente, al integrar esta expresión entre \( 0 \) y un \( z’ \) arbitrario, recuperamos la expresión de \( z? \).

Para terminar, simplemente me gustaría comentar que esta operación que empecé como una broma (que, en principio, a cualquiera se le puede ocurrir jugando con números )puede parecer artificial y forzada, pero la estructura \( n!!/(n-1)!! \) aparece de vez en cuando, siempre refiriéndose a valores naturales. Por lo que quién sabe, igual este resultado es un primer paso a la hora de generalizar cosas más complicadas a las que estamos acostumbrados.

Muchísimas gracias por leerme, y además desde este entorno que es Gaussianos. Si os ha gustado y/o habéis aprendido algo, podéis encontrarme sin problema en todas las redes sociales como @parcialdeseis, y podríais considerar seguirme (por ejemplo, en este hilo de X he recopilado todo lo que he publicado allí sobre el cuestional). Un saludo.


Muchísimas gracias a ti, Daniel, por tu artículo, y enhorabuena por tu trabajo con este nuevo objeto matemático. Seguro que no será lo último que veamos sobre este cuestional, y tampoco será lo último que tratemos sobre ti en este blog y en otros lugares matemáticos importantes.

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