Segundo problema de la Olimpiada Matemática Española 2013 celebrada en Bilbao. Ahí va el enunciado:
Determina todos los números enteros positivos
para los cuales
es constante, cualesquiera que sea
reales tales que
y
.
A por él.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
Gaussianos recibió el Premio Prisma 2018 a la mejor web/red social. Haz click en la imagen si quieres saber más.
Los Premios Prismas son una iniciativa de los Museos Científicos Coruñeses para premiar la difusión de la cultura científica y apoyar a profesionales que trabajan en este campo. Más información en Premios Prismas.
Si quieres recibir los artículos de Gaussianos en tu mail, haz click en la imagen.
Únete a la iniciativa Yo construí el poliedro de Császár. Haz click en la imagen para conocer todo los detalles.
Y visita este set de Flickr para ver las construcciones de los lectores de Gaussianos.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Segundo problema de la Olimpiada Matemática Española 2013 celebrada en Bilbao. Ahí va el enunciado: Determina todos los números enteros positivos para los cuales es constante, cualesquiera que sea reales tales que y . A p……
S1 = x + y + z = 0, luego n = 1 pertenece al conjunto de soluciones
Editado
Si hacemos x>y>z, de las condiciones se deduce 2>x>1 y 0>y>z>-1.
n= 1 y n =3, todo pinta a que solo son esas dos soluciones
Mi anterior comentario no es correcto, las restricciones si x>y>z son x>4^(1/3) y 0>y>z.
Si llamamos R=raiz(x*x/4-1/x), tenemos que Sn=x^n+(-x/2+R)^n+(-x/2-R)^n.
Para n=1, S1=0.
Para n=2, S2=2*x*x-2/x.
Para n=3, S3=3.
Mmonchi,
no sé como llegas a esos resultados, pero si S2=f(x), n=2 no pertenece al conjunto de soluciones
Efectivamente, Juanjo.
Hago y=1/x/z y la sustituyo en x+y+z=0. Queda x*x*z+1+x*z*z=0. Despejo z de la ecuación de segundo grado y tengo dos soluciones de z. Al calcular las dos de y compruebo que cada una es la otra z, por lo que solo hay una fórmula para Sn(x).
A partir de aquí falta encontrar para qué valores de n Sn es constante. Es fácil comprobar cada caso, lo he hecho para n=1, n=2 y n=3, pero haría falta generalizar para cualquier n.
Mmonchi,
yo también he deambulado por esa solución y tampoco he progresado mas
Para n=3 también me sale S3=f(x)=(3/4)*x^3
Creo que podría funcionar lo siguiente (no tengo tiempo de escribir los detalles): Si consideramos la parametrización del plano
, 
, 
, para estudiar si 
es constante, bastaría estudiar si es constante la aplicación 
en el conjunto 
. Este conjunto se puede expresar como unión de dos conjuntos de la forma 
, 
, para ciertas funciones 
que se obtienen de poner 
en función de 
. Por tanto el problema se reduce a estudiar cuando es constante, las aplicaciones de una variable 
y 
, para lo cual se podría cálculo diferencial de una variable…
En el caso de n=3 tenemos que:
Tras expandir y simplificar:
Por lo que pienso que Mmonchi está en lo correcto.
Usando los datos
Sn=x^n+y^n+(-1)^n*(x+y)^n
n tiene que ser impar para que se anulen los coeficientes, y si ese es el caso Sn es simplemente la suma del binomio -(x+y)^n sin los términos x^n y^n.
El caso n=1 es directo, y para n=3 tenemos que Sn=-3yx^2-3xy^2=-3xy(x+y)=3
Para casos mayores se debería demostrar que la suma del binomio no es nunca constante, porque yo diría que no existen más casos.
El caso n=1 es totalmente trivial y el n=3 ya lo habéis probado en multiples comentarios. Asimismo también es cierto que con n par no se puede hacer. Para el resto de casos no sé muy bien como tirar, pero tiene pinta de ir bien por Cardano.
Las ternas que verificarían eso serían las ternas de solucion de este polinomio en variable p P(p)=p^3+(ac+ab+bc)p-1. con a,b,c los que se quieran.
Voy a resolverlo para n impar:
Sabemos que
![x=\sqrt[3]{4}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B4%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "x=\sqrt[3]{4}")
de modo que 
![S_{n}(\sqrt[3]{4})=2^{\frac{2n}{3}}+(-1)^{n}*2^{\frac{3-n}{3}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_%7Bn%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B4%7D%29%3D2%5E%7B%5Cfrac%7B2n%7D%7B3%7D%7D%2B%28-1%29%5E%7Bn%7D%2A2%5E%7B%5Cfrac%7B3-n%7D%7B3%7D%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "S_{n}(\sqrt[3]{4})=2^{\frac{2n}{3}}+(-1)^{n}*2^{\frac{3-n}{3}}")
, de modo que 
![S_{n}(\sqrt[3]{4})\neq S_{n}(k)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_%7Bn%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B4%7D%29%5Cneq+S_%7Bn%7D%28k%29&bg=T&fg=000000&s=0 "S_{n}(\sqrt[3]{4})\neq S_{n}(k)")
y por tanto no puede ser constante.
Hacemos
Queda
Ahora hacemos
Queda
Los dos primeros términos se van con el primero y el último del desarrollo del binomio:
Si hacemos k lo suficientemente grande, cuando n>3:
Por tanto no existen soluciones para n impar mayor que 3. Solo pueden ser soluciones n=1 y n=3, que ya se han comprobado.
(Es la primera vez que uso LaTeX. Me dabais mucha envidia… :-))
S(5) = x^5+y^5+z^5=(-y-z)^5+y^5+z^5 = -y^5-5y^4*z-10y^3*z^2-10y^2*z^3-5yz^4-z^5+y^5+z^5 = -5(y^4*z+2y^3*z^2+2y^2*z^3+yz^4) = -5yz(y^3+2y^2*z+2yz^2+z^3) = -5yz((y+z)^3-y^2*z-y*z^2) = -5yz(-x^3-y^2*z-y*z^2) = 5yz (x^3+yz(y+z)) = 5yz(x^3-xyz) = 5yz(x^3-1) = 5(x^3-1)/x=5x^2-1/x = f(x), luego n= 5 no pertenece al conjunto (salvo error en la demostración)
Siguiendo el mismo método, y también salve error,
S(7) = 7 * (x^4 – (2/x^4) + 1/x^2)
Para n=5 en el último paso, S(5) = 5*(x^2-1/x)
El sistema que he utilizado es generalizable, el problema es que no encuentro una manera de sintetizar las constantes que van apareciendo, pero, teniendo en cuenta que las constantes del desarrollo de Newton son simétricas, existe un método para reducir la suma S(n) a un cociente de polinomios:
1.- Para n=1 la solución es inmediata y el procedimiento no existe.
2.- Para n mayor que 1 e impar,
2.1 En S(n) = x^n + y^n + z^n sustituimos x^n = -(y+z)^n y desarrollamos por el binomio de Newton. Nos desaparecen los elementos y^n y z^n y tenemos una suma de elementos y^p1*z^q1 con p1+q1 = n y p1 y q1 mayor que 0.
2.2 Sacamos factor común yz=1/x y el parentesis es un nuevo sumatorio de términos con coeficientes simétricos y^p2*z^q2 con p2 y q2 mayor o igual que 0 y p2 + q2 = n-2
2.3 Sumamos y restamos los elementos necesarios para conseguir el término k1(y+z)^(n-2) = -k1x^(n-2) (k1 estará determinado por el valor de n) y un complementario.
2.4 El complementario tiene la misma estructura que al final de 2.1 y nos buclamos en 2.2 (n-1)/2 veces.
2.5 en la última iteración nos queda k2(y+z) = -k2*x
con lo que se demuestra que S(n) se puede representar como f(x).
Una versión simplificada del resultado es:
S(n) = (-1/x)(-nx^(n-2) + 1/x ((n^2+3n)x^(n-4)/2+ …) en la que los términos del paréntesis aumentan y se complican al aumentar el valor de n.
Para n=3 solo vale el primer término y s(3) = n = 3
Para n mayor que 3 entran mas términos del paréntesis y la expresión no se puede simplificar, por lo que las únicas soluciones deben ser n={1,3}
Expongo mi solución:
Sea
el plano de ecuación cartesiana 
. Consideremos la
parametrización de
, 
definida por 
. Sea
entonces
Puesto que,
se tiene que
donde
Obsérvese que![U=(-\infty,0)\cup\left[\sqrt[3]{4},\infty\right)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=U%3D%28-%5Cinfty%2C0%29%5Ccup%5Cleft%5B%5Csqrt%5B3%5D%7B4%7D%2C%5Cinfty%5Cright%29&bg=T&fg=000000&s=0 "U=(-\infty,0)\cup\left[\sqrt[3]{4},\infty\right)")
. Para estudiar cuando 
es constante, bastará ver cuando son constantes las aplicaciones
Realizando operaciones se llega a
De la expresión anterior, se observa que si
es par entonces 
no es constante. Supongamos, pues, que 
es impar.
Sea
, entonces
Obsérvese que, puesto que
es impar, todos los exponentes de la expresión anterior son enteros. Además, como 
, se tiene que 
luego
tenderán o bien a
o bien a 
. Luego 
y por tanto 
no puede ser constante (si 
es impar y mayor que 
).
Es fácil ver que
y que para 
, 
es constante.
Partiendo de la ecuación original:
Revisando por separado los siguientes términos:
y
Se observa que para eliminar los términos
, n debe ser impar.
Por lo que la ecuación queda:
![S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\left[ \left(-1 \right)^{n-i}+\left(-1 \right)^{n}\right]\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_n%5Cleft%28x+%5Cright%29%3D%5Cleft%281-%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B2%7D%5E%7Bn-1%7D%7D%5Cright%29%5Ccdot%7Bx%7D%5E%7Bn%7D%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+n%5C%5C+i+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28-1+%5Cright%29%5E%7Bn-i%7D%2B%5Cleft%28-1+%5Cright%29%5E%7Bn%7D%5Cright%5D%5Ccdot+%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D+%5Cright%29%5E%7Bn-i%7D%5Ccdot%7B%5Cleft%28%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%5Cright%29%7D%5E%7Bi%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\left[ \left(-1 \right)^{n-i}+\left(-1 \right)^{n}\right]\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}")
Para que no los términos de la sumatoria no se anulen es necesario que n-i sea impar, lo que solamente se consigue si i es par.
Tenemos que:
Sustituyendo:
Para que existan valores constantes es necesario que n=0 ó que 2·n/i-3=0, de donde obtenemos que n=3/2·i
Nuevamente sustituyendo:
Es fácil ver que el desarrollo de
cuando i>2, siendo par, generará coeficientes no nulos para x^(n-3), x^(n-6), etc.
Por lo tanto i=2 y n=(3/2)·(2) =3.
Resumiendo, los únicos valores de n que generan Sn = constante son 0 y 3.
Únicamente aclaro que en mi comentario anterior, en lugar de ‘k’ debería decir ‘1’ (Error tipográfico) Gracias.
Ya con un poco de más tiempo, he aquí mi comentario corregido.
Partiendo de la ecuación original:
Revisando por separado los siguientes términos:
y
Se observa que para eliminar los términos
, n debe ser impar.
Por lo que la ecuación queda:
![S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\left[ \left(-1 \right)^{n-i}+\left(-1 \right)^{n}\right]\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_n%5Cleft%28x+%5Cright%29%3D%5Cleft%281-%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B2%7D%5E%7Bn-1%7D%7D%5Cright%29%5Ccdot%7Bx%7D%5E%7Bn%7D%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+n%5C%5C+i+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28-1+%5Cright%29%5E%7Bn-i%7D%2B%5Cleft%28-1+%5Cright%29%5E%7Bn%7D%5Cright%5D%5Ccdot+%5Cleft%28%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D+%5Cright%29%5E%7Bn-i%7D%5Ccdot%7B%5Cleft%28%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%5Cright%29%7D%5E%7Bi%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "S_n\left(x \right)=\left(1-\cdot\frac{1}{{2}^{n-1}}\right)\cdot{x}^{n}+\sum_{i=1}^{n-1}\begin{pmatrix} n\\ i \end{pmatrix}\left[ \left(-1 \right)^{n-i}+\left(-1 \right)^{n}\right]\cdot \left(\frac{x}{2} \right)^{n-i}\cdot{\left(\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{1}{x}}\right)}^{i}")
Para que no los términos de la sumatoria no se anulen es necesario que n-i sea impar, lo que solamente se consigue si i es par.
Tenemos que:
Sustituyendo:
Para que existan valores constantes es necesario que n=0 (que sabemos no es válido) ó que 2·n/i-3=0, de donde obtenemos que n=3/2·i
Nuevamente sustituyendo:
Es fácil ver que el desarrollo de
cuando i>2, siendo par, generará coeficientes no nulos para 
, 
, etc.
Por lo tanto i=2 y
Resumiendo, los únicos valores de n que generan Sn = constante son 1 y 3.
Comentar la curiosidad de que si n fuera par, la media aritmética de x,y,z sería cero en tanto que la media geométrica de x,y,z sería 1, cosa que sabemos que no puede ser por la conocida desigualdad media aritmética >= media geométrica.
Incorrecto mi comentario anterior, pero me estaba preguntando si se puede aprovechar la desigualdad media aritmética >= media geométrica en este problema.