Segundo problema de la Olimpiada Matemática Española 2013 celebrada en Bilbao. Ahí va el enunciado:
Determina todos los números enteros positivos
para los cuales
es constante, cualesquiera que sea
reales tales que
y
.
A por él.
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S1 = x + y + z = 0, luego n = 1 pertenece al conjunto de soluciones
Editado
Si hacemos x>y>z, de las condiciones se deduce 2>x>1 y 0>y>z>-1.
n= 1 y n =3, todo pinta a que solo son esas dos soluciones
Mi anterior comentario no es correcto, las restricciones si x>y>z son x>4^(1/3) y 0>y>z.
Si llamamos R=raiz(x*x/4-1/x), tenemos que Sn=x^n+(-x/2+R)^n+(-x/2-R)^n.
Para n=1, S1=0.
Para n=2, S2=2*x*x-2/x.
Para n=3, S3=3.
Mmonchi,
no sé como llegas a esos resultados, pero si S2=f(x), n=2 no pertenece al conjunto de soluciones
Efectivamente, Juanjo.
Hago y=1/x/z y la sustituyo en x+y+z=0. Queda x*x*z+1+x*z*z=0. Despejo z de la ecuación de segundo grado y tengo dos soluciones de z. Al calcular las dos de y compruebo que cada una es la otra z, por lo que solo hay una fórmula para Sn(x).
A partir de aquí falta encontrar para qué valores de n Sn es constante. Es fácil comprobar cada caso, lo he hecho para n=1, n=2 y n=3, pero haría falta generalizar para cualquier n.
Mmonchi,
yo también he deambulado por esa solución y tampoco he progresado mas
Para n=3 también me sale S3=f(x)=(3/4)*x^3
Creo que podría funcionar lo siguiente (no tengo tiempo de escribir los detalles): Si consideramos la parametrización del plano
, 
, 
, para estudiar si 
es constante, bastaría estudiar si es constante la aplicación 
en el conjunto 
. Este conjunto se puede expresar como unión de dos conjuntos de la forma 
, 
, para ciertas funciones 
que se obtienen de poner 
en función de 
. Por tanto el problema se reduce a estudiar cuando es constante, las aplicaciones de una variable 
y 
, para lo cual se podría cálculo diferencial de una variable…
En el caso de n=3 tenemos que:
Tras expandir y simplificar:
Por lo que pienso que Mmonchi está en lo correcto.
Usando los datos
Sn=x^n+y^n+(-1)^n*(x+y)^n
n tiene que ser impar para que se anulen los coeficientes, y si ese es el caso Sn es simplemente la suma del binomio -(x+y)^n sin los términos x^n y^n.
El caso n=1 es directo, y para n=3 tenemos que Sn=-3yx^2-3xy^2=-3xy(x+y)=3
Para casos mayores se debería demostrar que la suma del binomio no es nunca constante, porque yo diría que no existen más casos.
El caso n=1 es totalmente trivial y el n=3 ya lo habéis probado en multiples comentarios. Asimismo también es cierto que con n par no se puede hacer. Para el resto de casos no sé muy bien como tirar, pero tiene pinta de ir bien por Cardano.
Las ternas que verificarían eso serían las ternas de solucion de este polinomio en variable p P(p)=p^3+(ac+ab+bc)p-1. con a,b,c los que se quieran.
Voy a resolverlo para n impar:
Sabemos que
![x=\sqrt[3]{4}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B4%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x=\sqrt[3]{4}")
de modo que 
![S_{n}(\sqrt[3]{4})=2^{\frac{2n}{3}}+(-1)^{n}*2^{\frac{3-n}{3}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_%7Bn%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B4%7D%29%3D2%5E%7B%5Cfrac%7B2n%7D%7B3%7D%7D%2B%28-1%29%5E%7Bn%7D%2A2%5E%7B%5Cfrac%7B3-n%7D%7B3%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "S_{n}(\sqrt[3]{4})=2^{\frac{2n}{3}}+(-1)^{n}*2^{\frac{3-n}{3}}")
, de modo que 
![S_{n}(\sqrt[3]{4})\neq S_{n}(k)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=S_%7Bn%7D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B4%7D%29%5Cneq+S_%7Bn%7D%28k%29&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "S_{n}(\sqrt[3]{4})\neq S_{n}(k)")
y por tanto no puede ser constante.
Hacemos
Queda
Ahora hacemos
Queda
Los dos primeros términos se van con el primero y el último del desarrollo del binomio:
Si hacemos k lo suficientemente grande, cuando n>3:
Por tanto no existen soluciones para n impar mayor que 3. Solo pueden ser soluciones n=1 y n=3, que ya se han comprobado.
(Es la primera vez que uso LaTeX. Me dabais mucha envidia… :-))
S(5) = x^5+y^5+z^5=(-y-z)^5+y^5+z^5 = -y^5-5y^4*z-10y^3*z^2-10y^2*z^3-5yz^4-z^5+y^5+z^5 = -5(y^4*z+2y^3*z^2+2y^2*z^3+yz^4) = -5yz(y^3+2y^2*z+2yz^2+z^3) = -5yz((y+z)^3-y^2*z-y*z^2) = -5yz(-x^3-y^2*z-y*z^2) = 5yz (x^3+yz(y+z)) = 5yz(x^3-xyz) = 5yz(x^3-1) = 5(x^3-1)/x=5x^2-1/x = f(x), luego n= 5 no pertenece al conjunto (salvo error en la demostración)
Siguiendo el mismo método, y también salve error,
S(7) = 7 * (x^4 – (2/x^4) + 1/x^2)
Para n=5 en el último paso, S(5) = 5*(x^2-1/x)
El sistema que he utilizado es generalizable, el problema es que no encuentro una manera de sintetizar las constantes que van apareciendo, pero, teniendo en cuenta que las constantes del desarrollo de Newton son simétricas, existe un método para reducir la suma S(n) a un cociente de polinomios: 1.- Para n=1 la solución es inmediata y el procedimiento no existe. 2.- Para n mayor que 1 e impar, 2.1 En S(n) = x^n + y^n + z^n sustituimos x^n = -(y+z)^n y desarrollamos por el binomio de Newton. Nos desaparecen los elementos y^n y z^n y tenemos una suma de… Lee más »
Expongo mi solución: Sea el plano de ecuación cartesiana . Consideremos la parametrización de , definida por . Sea , entonces Puesto que, se tiene que donde siendo Obsérvese que . Para estudiar cuando es constante, bastará ver cuando son constantes las aplicaciones Realizando operaciones se llega a De la expresión anterior, se observa que si es par entonces no es constante. Supongamos, pues, que es impar. Sea , entonces Obsérvese que, puesto que es impar, todos los exponentes de la expresión anterior son enteros. Además, como , se tiene que luego , el resto de términos de la expresión,… Lee más »
Partiendo de la ecuación original: Revisando por separado los siguientes términos: y Se observa que para eliminar los términos , n debe ser impar. Por lo que la ecuación queda: Para que no los términos de la sumatoria no se anulen es necesario que n-i sea impar, lo que solamente se consigue si i es par. Tenemos que: Sustituyendo: Para que existan valores constantes es necesario que n=0 ó que 2·n/i-3=0, de donde obtenemos que n=3/2·i Nuevamente sustituyendo: Es fácil ver que el desarrollo de cuando i>2, siendo par, generará coeficientes no nulos para x^(n-3), x^(n-6), etc. Por lo tanto… Lee más »
Únicamente aclaro que en mi comentario anterior, en lugar de ‘k’ debería decir ‘1’ (Error tipográfico) Gracias.
Ya con un poco de más tiempo, he aquí mi comentario corregido. Partiendo de la ecuación original: Revisando por separado los siguientes términos: y Se observa que para eliminar los términos , n debe ser impar. Por lo que la ecuación queda: Para que no los términos de la sumatoria no se anulen es necesario que n-i sea impar, lo que solamente se consigue si i es par. Tenemos que: Sustituyendo: Para que existan valores constantes es necesario que n=0 (que sabemos no es válido) ó que 2·n/i-3=0, de donde obtenemos que n=3/2·i Nuevamente sustituyendo: Es fácil ver que el… Lee más »
Comentar la curiosidad de que si n fuera par, la media aritmética de x,y,z sería cero en tanto que la media geométrica de x,y,z sería 1, cosa que sabemos que no puede ser por la conocida desigualdad media aritmética >= media geométrica.
Incorrecto mi comentario anterior, pero me estaba preguntando si se puede aprovechar la desigualdad media aritmética >= media geométrica en este problema.