La Geometría Plana es un mundo muy estudiado, pero no por ello deja de ser interesante. Sabemos una barbaridad de cosas sobre él, pero el hecho de que la cantidad de figuras que nos podemos encontrar al adentrarnos en este terreno sea tan grande y tan diversa hace que nunca pierda su interés.

Concretamente todo lo relacionado con las curvas planas no deja de darme sorpresas, de descubrirme pequeñas maravillas, de dejarme en ocasiones con la boca abierta admirando ciertos ejemplos concretos. Espero que durante esta entrada algunos de vosotros sintáis esta misma emoción, aunque sea mínimamente.

¿Recordáis la cicloide? Sí, la curva que da el camino más rápido de la que también hable el otro día en el post sobre Imaginary en el RAC. Es quizás el ejemplo más conocido y más característico de lo que podríamos llamar curvas generadas por movimiento. En concreto, la cicloide la genera un punto fijo de una circunferencia que rueda sin deslizamiento a lo largo de una recta. En este applet de GeoGebra podéis verlo. Moviendo el deslizador t se genera la cicloide, y moviendo el deslizador r podéis dibujar cicloides de distintos tamaños:

Basándose en este tipo de construcciones, tenemos dos grandes grupos de curvas: las hipocicloides y las epicicloides. Vamos a ver cómo se definen cada una de ellas y algunos ejemplos.

Hipocicloides

Las hipocicloides son curvas generadas por un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizar por la parte interna de otra circunferencia fija, de radio mayor que la primera. Se puede definir de forma paramétrica así:

\begin{matrix} x(t)=(R-r) \cos{(t)}+r \cos{\left (\frac{R-r}{r} \cdot t \right )} \\  y(t)=(R-r) \sin{(t)}-r \sin{\left (\frac{R-r}{r} \cdot t \right )} \end{matrix}

siendo R el radio de la circunferencia fija y r el de la circunferencia que gira.

Es interesante tener en cuenta la relación entre los radios de las dos circunferencias. Si tomamos k=R/r, las ecuaciones quedarían así:

\begin{matrix} x(t)=r(k-1) \cos{(t)}+r \cos{((k-1) t )} \\  y(t)=r(k-1) \sin{(t)}-r \sin{((k-1)t)} \end{matrix}

El valor de este k hace variar la hipocicloide que nos aparece. Si k es un número racional cuya fracción irreducible es p/q, la hipocicloide es una curva cerrada con p puntos singulares (donde no se puede definir una tangente), y si k es irracional, entonces la hipocicloide es una curva no cerrada que ocupa todo el espacio entre las circunferencias cuyos radios son R y R-2r. Aquí tenéis varios ejemplos, entre los que aparece el astroide (para k=4), figura que generó una pequeña polémica en los comentarios del problema de la semana pasada:

En este applet de GeoGebra podéis cambiar ese valor y ver cómo se generan varias hipocicloides con k natural (el ratio que aparece en el applet es 1/k):

En particular, un astroide se genera así:

Y aquí os dejo un applet donde vemos algunas hipocicloides para algunos valores racionales de k, que vosotros mismos podéis modificar:

Epicicloides

Las epicicloides son curvas generadas por un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizar por la parte externa de otra circunferencia, de radio mayor que la primera. Se puede definir de forma paramétrica así:

\begin{matrix} x(t)=(R+r) \cos{(t)}-r \cos{\left (\frac{R+r}{r} \cdot t \right )} \\  y(t)=(R+r) \sin{(t)}-r \sin{\left (\frac{R+r}{r} \cdot t \right )} \end{matrix}

siendo R el radio de la circunferencia fija y r el de la circunferencia que gira.

Igual que en el caso anterior, interesa tener en cuenta la relación entre los radios de las dos circunferencias. Si tomamos k=R/r, las ecuaciones quedarían de la siguiente forma:

\begin{matrix} x(t)=r(k+1) \cos{(t)}-r \cos{((k+1) t )} \\  y(t)=r(k+1) \sin{(t)}-r \sin{((k+1)t)} \end{matrix}

De forma análoga a lo que ocurre con la hipocicloide, el valor de k hace variar la epicicloide generada. Aquí tenéis algunos ejemplos, entre los que aparece el cardioide (para k=1):

En este applet de GeoGebra podéis cambiar ese valor y ver cómo se generan varias epicicloides:

En concreto, un cardioide se genera de la siguiente forma:

Y aquí os dejo un applet donde vemos algunas epicicloides para algunos valores racionales de k, que vosotros mismos podéis cambiar:


Llamativo esto de jugar con las hipocicloides y las epicicloides en los applets, ¿verdad? Pues quedan muchas cosas por explorar, tanto en lo que se refiere a las propiedades de estas figuras como en lo que tiene que ver con figuras nuevas, parecidas a éstas. En próximos posts veremos más cosas relacionadas con ellas.


Fuentes:

  • Curvas peligrosas (Elipses, parábolas y otras maravillas geométricas), de Josep Sales y Francesc Banyuls.
  • Hipocicloide en la Wikipedia en español.
  • Epicicloide en la Wikipedia en español.
  • El applet de GeoGebra de la cicloide lo he hecho yo. El resto los he tomado de esta web, , donde Manuel Sada tiene una grandísima cantidad de applets de GeoGebra de temáticas muy variadas. Muy recomendable.
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