Hoy lunes os propongo el quinto problema de la IMO 2011 celebrada en Amsterdam durante el mes de julio:
Sea
una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enteros
y
, la diferencia
es divisible por
. Demostrar que para todos los enteros
, el número
es divisible por
.
Que se os dé bien.
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Bien, he dado con una solución que, aunque no termina de convencerme, la pongo (y de paso a ver si alguien más se anima). Si f(m)|f(n) >> f(n)-f(m)= ax, con a,x€Z* Si f(m-n)|f(m)-f(n) >> f(m)-f(n)-f(m-n)= by, con b,y€Z* Planteamos las dos ecuaciones como un sistema, de lo que queda: -f(m-n)= ax+by Por el algoritmo de la división de Euclides sabemos que: (x,y)= ax+by, para algún par a,b€Z Y por el Teorema de Bézout sabemos que: -f(m-n)= (x,y)= ax+by, para algún par a,b€Z Luego, cualquier cuaternión (a,b,x,y) que cumpla la propiedad, demuestra el enunciado. Correcciones y comentarios serán agradecidos. ¡Saludos! Y… Lee más »
Hola Sebastian!
Tengo una pregunta, demostraste que la función de la cual se habla tiene la forma
. No entendí muy bien lo que demostraste.
Cordial saludo y sí, a disfrutar lo que queda de Agosto 😀
Buenas noches Zeta; Lo que yo deduzco de mi demostración (que, como dije, no me convence ni a mí, jejeje) es que si f(m)|f(n), existen cuatro enteros {a,b,x,y} que aseguran la divisibilidad de f(m)-f(n)|f(m-n). Cualquier corrección es bienvenida, compañero. La ‘cosa’ es que la mayoría de las veces resuelvo los problemas de forma mental; pienso que aquí hubiese sido efectivo las congruencias en módulo cero o la reducción al absurdo, pero el calor veraniego y la mala costumbre de no coger papel y bolígrafo me la pueden haber jugado. Pero me alegro que la respuesta despierte tu interés. Vi el… Lee más »
Hola de nuevo Sebastian! Mmm… veo un problema. Sea el siguiente hecho: :=»Si para , tenemos que , entonces «. es lo que tu demostraste. Si es cierto podríamos demostrar que la única función que lo cumple es la función cero: Por hipótesis del enunciado, , entonces por , tendríamos que . De este modo, tomando tenemos . Entonces . Por otro lado, como , entonces, tomando , tenemos . Como , necesariamente para todo . De lo cual podemos deducir que para todo . En conclusión para todo . Como la función va de los enteros a los enteros… Lee más »
Yo lo intenté durante algunas horas y no lo conseguí.
Recuerdo haber demostrado resultados como que, para todo m se cumple que:
La ya comentada
Pero ahí me quedé.
Otro resultado que quizás ayude.
Para todo
entero y 
entero positivo, 
.
La prueba es por inducción.
Esto junto con el hecho de que la función es par (el tercer resultado de Sive) generaliza a
Para todo
enteros, 
.
😀 Un saludo.
Sí también vi eso ZetaSelberg, es una generalización del segundo resultado que puse.
También demostré que, salvo en f(0), donde hay una especie de singularidad, la función tiene que ser periódica.
La demostración de que la función es «casi periódica» es curiosa, y mi intuición me dice que se puede sacar petróleo de ella. La idea es que, puesto que sabemos que la función tiene un máximo en f(0), eso nos garantiza que existirá también un máximo si nos fijamos únicamente en el dominio de los enteros positivos (en principio este máximo no necesariamente coincidirá con f(0)). Supongamos que conocemos el valor mínimo de a, tal que f(a) es este máximo. En este caso, dado un b positivo arbitrario, y según enunciado: Pero puesto que f(a) es necesariamente mayor que ,… Lee más »
Por reducción al absurdo.
– Hipótesis: f(m-n) no divide a f(m)-f(n)
Entonces, f(m)-f(n)= cf(m-n)+r, con r≠0
Por otro lado, f(m)|f(n) para todo f(m)≤f(n), luego
f(n)= c’f(m)
Entonces,
f(m)-f(n)= f(m)-c’f(m)= f(m)[1-c’]= cf(m-n)+r
De ahí,
f(m)= cf(m)-cf(n)+r+f(n)
f(m)= cf(m)+f(n)[1-c]+r
f(m)[1-c]= f(n)[1-c]+r
f(m)= f(n)+r/(1-c)
Dije antes que r≠0, y el único c que anularía el denominador es c= 1.
Luego no se cumple que todo f(m)|f(n) para f(m)≤f(n).
Me parece haber llegado a la contradicción que esperaba.
De nuevo, correcciones y aportaciones son bienvenidas.
Saludos y buen domingo 😉
*revisándolo… ¡qué cacao!
Mmmm, hay algo que no entiendo en tu demostración Sive.
«Pero puesto que f(a) es necesariamente mayor que
, eso nos deja que 
»
La función
si 
par y 
si 
impar, cumple las condiciones. Tiene máximos en todos los pares, en particular en 2. Si tomamos 
, entonces, 
pero 
.
Si bien es cierto que
es mayor a 
, no sé como dedujo la igualdad.
Cordial saludo a todos. 🙂
ZetaSelberg bueno, ahí hay dos pequeñas errata, una míay otra tuya. La mía la vi después, pero no lo maticé porque pensé que se entendería. Debí poner (en negrita lo que faltaba):
Pero puesto que
es necesariamente mayor que el valor absoluto de 
, eso nos deja que 
Y la tuya es que crees que la igualdad es
, cuando no es eso lo que puse.
La igualdad sale de que el único múltiplo no negativo de x, que es menor que x, es cero. Es decir:
Tu contraejemplo no es tal porque a=2 y b=1, y f(3)=f(1)
Sep!
Demostré este problema poco después de mi último comentario. No creo que sea la demostración más breve posible, pero tiene la ventaja de definir exactamente como deben ser las funciones que cumplen el enunciado.
Este fin de semana, con más tiempo, lo expondré.
Voy a demostrar unos resultados parciales que ya hemos comentado pero no demostrado. Ya en el siguiente post abordo el problema. 1) Esto se demuestra aplicando la definición de la función para y Dado que los dos sumandos del segundo término son múltiplos de , también. 2) Con b no negativo. Se demuestra fácilmente por inducción. Más adelante, cuando demuestre que la función es par, quedará demostrado también para negativo. Claramente se cumple para y , así que directamente veo que pasa con , suponiendo que se cumple para : Igual que antes, dado que ambos sumandos del segundo término… Lee más »
Buff, madre mía, es un lío tremendo explicar esto sin una pizarra. Voy a explicar primero que forma tiene la función, sin demostrarlo. Así, con una idea visual de a qué quiero llegar, será más fácil cuando vaya demostrando cada detalle. Para construir una función cualquiera que cumpla el enunciado, podemos hacerlo así: 1. Primero elegimos los valores que va a tomar la función, ordenados de menor a mayor, de modo que cada uno sea un divisor del siguiente. Salvo los dos últimos, que pueden coincidir, los demás deben ser diferentes. Por ejemplo, usaré los números: 2 6 12 48… Lee más »
Lo he intentado varias veces y está visto que no puedo demostrar esto sin una pizarra, así que voy a explicar los pasos que he seguido. Es una pena porque la demostración es relativamente sencilla (para ser el quinto problema de la IMO). Tengo que comenzar aclarando que hay un error en mi demostración de la periodicidad de la función. Concretamente, lo cometo cuando apresuradamente digo que la paridad de la función extiende la periodicidad al lado negativo de la función. Eso no es cierto porque la paridad también refleja toda la función con respecto al eje , y por… Lee más »
el sol nunca sera brillara igual