Hoy comienzo a publicar los problemas que se han propuesto en la IMO 2012, celebrada en Mar del Plata en julio de este año.
Vamos con el primero de ellos:
Dado un triángulo
, el punto
es el centro del excírculo opuesto al vértice
. Este excírculo es tangente al lado
en
, y a las rectas
y
en
y
respectivamente. Las rectas
y
se cortan en
, y las rectas
y
se cortan en
. Sea
el punto de intersección de las rectas
y
el punto de intersección de las rectas
y
Demostrar que
.
(El excírculo de
y a la prolongación del lado
.)
Que se os dé bien.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Primera vez en mi vida que leo lo de excírculo
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Hoy comienzo a publicar los problemas que se han propuesto en la IMO 2012, celebrada en Mar del Plata en julio de este año. Vamos con el primero de ellos: Dado un triángulo , el punto es el centro del excírculo opuesto al ……
Vaya infierno de enunciado. Un poquito más y se quedan sin abecedario. Lo he comprobado con Geogebra y sí se cumple, pero tengo ganas por ver la demostración.
Yo también lo he comprobado con GeoGebra. No me apetece tampoco seguir, pero la figura tiene bastantes regularidades, un paralelogramo, dos triángulos isósceles…
Con los 4 triangulos isosceles que se forman con el enunciado, mas otro a terminar de trazar, la demostración es elemental
Video solución http://youtu.be/5dt3i1-02VM
Saludos 😉
http://a3.sphotos.ak.fbcdn.net/hphotos-ak-ash4/406314_10150988465084398_443343244_n.jpg
PISTA: Llamando $\angle BAC=\alpha, \angle CBA=\beta, \angle ACB=\gamma$, tendremos $\angle JFL=\angle BFM =\pi – \angle FBM – \angle FMB= \pi – (\pi – \angle JBM) – \angle CML=\angle JBM-\angle CML=\frac{\pi}{2}-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2} =\frac{\alpha}{2}$. Ahora bien $\angle JAL=\frac{\alpha}{2}$, por estar $J$ sobre la bisectriz interior de $\alpha$. Por tanto $\angle JFL=\angle JAL$, y en consecuencia el cuadril’atero $JFAL$ es c’iclico.
Tuve un accidente y pulsé publicar en lugar de vista previa en mi post anterior, lo siento:
, tendremos 
. Ahora bien 
, por estar 
sobre la bisectriz interior de 
. Por tanto 
, y en consecuencia el cuadrilátero 
es cíclico.
PISTA: Llamando