Segundo problema de la IMO 2012, celebrada en Mar del Plata en julio de este año. Ahí va:
Sea
un enteero y sean
números reales positivos tales que
. Demostrar que
A por él.
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Valora en Bitacoras.com: Segundo problema de la IMO 2012, celebrada en Mar del Plata en julio de este año. Ahí va: Sea un enteero y sean números reales positivos tales que . Demostrar que A por él. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún come……
A mi entender, no es excesivamente sofisticado para tratarse de un 2 de IMO, ya que utiliza realmente matemática elemental, pero es necesario percatarse de la idea clave, sino estás perdido… Oí que había una solución con los multiplicadores de Lagrange, pero la oficial es mucho más fácil…
Aplicando la desigualdad entre la media aritmética y la media geométrica, MA-MG
http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_de_las_medias_aritm%C3%A9tica_y_geom%C3%A9trica
Sean:
Luego queda:
Multiplicando los valores para cada
Simplificando
Y como
Luego para el caso de la igualdad:
Queda
Pero en la desigualdad de las MA-MG Se cumple únicamente la desigualdad cuando todos los elementos del conjunto son iguales.
Finalmente:
Ups!!! Error, la ultima parte deberia decir:
Finalmente:
Nada aun, sigue mal … no debí tomar tanto ron el fin de semana jejeje
Creo que lo tengo,
La igualdad de la formula:
Pero con la igualdad sale
Lo cual contradice
Entonces la correcta es la desigualdad
He encontrado una página que da una interesante solución ¡nos explica cómo lo ha hecho! Es decir, en vez de empezar por el final, cosa que produce una formalización perfecta, empieza por el principio. Habla de «ingeniería inversa» (con comillas, desde luego) y de números conspirando para producir el resultado, es decir, un razonamiento metamatemático muy poco valorado pero fundamental tantas veces en tantos sitios. Por una vez me he acordado de esa famosa frase, «la formalización es a la matemática lo que el robo al trabajo honrado», con gusto. Como está en un blog, pongo la página principal por… Lee más »
Un poco informal… Llamo al primero término Y al segundo término Divido el problema en 2 partes: 1º El mínimo de se da cuando Esto habrá que demostrarlo luego. Entonces 2º La sucesión sólo tiene un punto en común con . Es decir, para n=2 tenemos que y La sucesión crece mas rápido que . Tomando logaritmo en ambos términos y derivando se observa que ya que el primer término crece linealmente y el segundo logarítmicamente. ——- Faltaría demostrar la 1ª proposición, que me parece evidente y además me da la impresión que va en línea con lo que pronía… Lee más »
Sea y consideremos la función definida por . Es claro que es continua. Afirmamos que: (1) es conexo. (2) nunca toma el valor () (3) . Supongamos probado (1), (2) y (3), entonces . Como es continua y es conexo, se tiene que también es conexo, y teniendo en cuenta (3), se concluye que . Ahora »sólo» fata probar (1), (2) y (3): (1) y (3) son fáciles de probar. El punto más difícil es el (2). No obstante, según la afirmación de Cartesiano Caótico en su comentario anterior (punto 2º) ya estría probado. ¿Podrías dar más detalles, cuando dices… Lee más »
Si hacemos todos los
entonces tenemos para n=2 que los dos términos de la inecuación son iguales a 4,
garantizara la demostración completa.
A partir de ahí el primer término crece más rápidamente que el segundo tal y como expuse.
Lo único que no me quedó claro en mi demostración es que haciendo todos los
Además ahora ya no me parece tan evidente, el hecho de que cada término vaya elevado a una potencia cada vez mayor hace pensar que tal vez el mínimo del primer término se de para una secuencia decreciente de valores
Seguiremos investigando 🙂
Sea
y
definida por
Sea
y supongamos que al menos dos componentes son distintas. Sea
una permutación de
tal que
. Puesto que estamos suponiendo que hay dos componentes distintas, al menos, uno de los
debe ser estricto.
y
. Por tanto,
se hará mínimo en un punto
que cumpla
. Pero en
sólo hay un punto que cumpla esta condición: el punto
.
para todo 

Además
Para concluir, basta observar que
La última parte se puede probar estudiando el crecimiento de la función
Leyendo de nuevo mi comentario anterior, he visto que no está correcto. Voy a intentar corregirlo: Sea y definida por . Sea y una permutación de tal que entonces y . Por tanto, si existe mínimo de , se debe alcanzar en el subconjunto de , definido por . Sea , entonces , para todo entero tal que luego , para todo entero tal que Esto nos permite expresar de la siguiente forma: Afirmamos que no puede alcanzar mínimo en un punto cuyas componentes no sean todas iguales. En efecto, sea donde no todas las componentes son iguales. Observemos que… Lee más »
Leyendo de nuevo mi comentario anterior, he visto que no está correcto. Voy a intentar corregirlo: Sea y definida por . Sea y una permutación de tal que entonces y . Por tanto, si existe mínimo de , se debe alcanzar en el subconjunto de , definido por . Sea , entonces , para todo entero tal que luego , para todo entero tal que Esto nos permite expresar de la siguiente forma: Afirmamos que no puede alcanzar mínimo en un punto cuyas componentes no sean todas iguales. En efecto, sea donde no todas las componentes son iguales. Observemos que… Lee más »
Algo tiene que haber mal Ratoncillo de Biblioteca, pues el mínimo no se da para (1,1,1,…,1).
Ejemplo:
Para n=3, tomando (1,1) obtenemos 32
Sin embargo tomando (2, 0.5) obtenemos 30,375 < 32
Así que el razonamiento que hice en mi segundo paso ya no vale, ya que el primero no es correcto. Y en tu razonamiento algo falla ya que, al menos para n=3, no se da para todos los términos iguales a 1.
Creo que alguien por ahí había hablado de los multiplicadores de Lagrange. Tal vez haya que hallar primero dónde está el mínimo.
Saludos
Gracias Cartesiano Caotico tienes razón, el error está en . En mi opinión, lo interesante es resolverlo sin multiplicadores de Lagrange y sólo usar matemáticas de bachillerato. Creo que tengo una solución, salvo que salga otro error… Ahí va: Observemos que . Luego Consideremos las funciones definidas por Derivando, se obtiene que el mínimo de cada una de estas funciones se alcanza en , siendo Por otro lado Por último, teniendo en cuenta y que la función logaritmo es creciente se obtiene Para concluir, falta descartar la igualdad: supongamos que se da la igualdad, entonces como en se alcanza el… Lee más »
Me acabo de dar cuenta de unas erratas al escribir algunas fórmulas:
La expresión
de mi comentario hay que sustituirla por:

También más abajo después de »Por último, teniendo en cuenta
y que la función logaritmo es creciente se obtiene» hay que sustituirlo por