Entre el 21 y el 28 del pasado mes de julio se celebró la Olimpiada Matemática Internacional (IMO en inglés) en Santa Marta (Colombia). Como suele ser habitual, los países asiáticos fueron los grandes vencedores, siendo China la primera clasificada. España quedó en el puesto 59 de un total de 97 países (podéis ver la clasificación completa aquí).
En lo que se refiere al plano individual, España consiguió dos Medallas de Bronce (Marc Felipe Alsina y Marcos García Fierro) y tres Menciones Honoríficas (Ismael Sierra del Río, Pau Surrell Rafart y Raúl González Molina), por lo que seguimos sin conseguir una Medalla de Oro en una IMO. Los primeros clasificados han sido Eunsoo Jee (Corea) y Yutau Liu (China), ambos con 41 puntos sobre 42 posibles.
Os dejo hoy el primer problema de esta IMO. Los demás los publicaré en las próximas semanas. Ahí va:
Demostrar que para cualquier par de enteros positivos
y
existen
(no necesariamente distintos) tales que
Evidentemente, las soluciones a los problemas ya estarán en internet. Como siempre, os pido que si habéis tenido acceso a ellas no las copiéis en los comentarios y dejéis así que la gente que quiera resolverlos pueda hacerlo. Muchas gracias.
Por cierto, por lo que he visto no ha participado Raúl Arturo Chávez Sarmiento, crack peruano que ya había demostrado sus capacidades en anteriores ediciones con una edad bien temprana. A ver si alguien sabe por qué.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Entre el 21 y el 28 del pasado mes de julio se celebró la Olimpiada Matemática Internacional (IMO en inglés) en Santa Marta (Colombia). Como suele ser habitual, los países asiáticos fueron los grandes vencedores, siendo ……
Creo que merece la pena destacar que el ponferradino Marcos García Fierro tiene tan solo 15 años y este curso acaba de terminar 3º de ESO. Era la primera vez que un español participaba con esa edad y ha conseguido una medalla de bronce. Todavía le quedan otros 3 años para mejorar sus resultados.
Para k =1, para cualquier n, m(1) = n cumple
¿Y este problema lo resolvieron chicos/as de 15 años? Me quito el sombrero ante ellos. Yo estoy perplejo.
Se me ha ocurrido este a mí que no sé resolver. Sean p,q,r primos. ¿ Son todos los primos impares sin excepción de la forma (pq + r)/(p+q) ?
Para k = 2 Desarrollo la fórmula para m1 = 1 y queda: 1 + 3/n = 2 * (1 + 1/m2) = 2 + 2/m2 3/n = 1 + 2 /m2 =( m2 + 2)/m2, luego n = 3*m2/(m2+2) = 3 – 6/(m2+2), luego no hay mas casos que m2 = {1,4} m1 = 1 m2 = 1 n=1 m1 = 1 m2 = 4 n= 2 Desarrollo la fórmula para m1 = 2 y queda: 1 + 3/n = 3/2 * (1 + 1/m2) = 3/2 + 3/2*m2 = (3m2+3)/2m2 y de aquí: 3/n = (m2+3)/2m2 y n… Lee más »
1 + (2^k -1)/n = (n + 2^k -1)(n + 2^k – 2)/[(n + 2^k -2)n] = (n + 2^k – 2 + 1)(n + 2^k -2)/[(n +2^k – 2)n] = [1 + 1/(n + 2^k – 2)][1 + (2^(k-1) – 1)/(n/2)]
y aplicar inducción sobre k en este último factor (n ha de ser par en este caso, pero para n impar factorizaríamos la expresión inicial de manera similar hasta obtener el factor en k-1 al que aplicaríamos de también inducción).
Supongamos k= 2 y m2 = 2m1-1
1+3/n=(1+1/m1)(1+1/(2m1-1)) = 1 + 1/m1 + 1/(2m1-1) +1/m1(2m1-1)
3/n = ((2m1-1)+m1+1)/m1(2m1-1) = 3m1/m1(2m1-1) = 3/(2m1-1)
luego n=2m1-1 y genero todos los impares
Para n par (haciendo n=2m):
y para n impar (haciendo n+1=2m):
y por inducción.
Muy bueno Golvano.
Por inducción y construcción
La lógica de la demostración se me escapa. La hipótesis de inducción es, en el caso par, que la igualdad se cumple para k-1 y ¡ n/2 ! (al caso impar le pasa lo mismo)
Algún paso en la inferencia lógica se me escapa, pero bueno…
Si nos dan un n par, hacemos la primera transformación, si no, la segunda. Es decir, para todo n cualquiera, podemos llegar a una expresión equivalente. La hipótesis de inducción recuerda que se ha de realizar sobre un producto: en concreto la transformación resulta en un producto de dos factores en los que en uno de ellos tenemos la expresión inicial pero en k-1 y aplicamos inducción sobre este factor en k-1 (que es la hipótesis que consideramos probada). Con lo que nos queda un primer factor de la forma (1+1/p) siendo p un natural cualquiera, y k-1 términos de… Lee más »
Tenemos un factor que involucra a k-1 y a n/2, lo multiplicamos por el factor adecuado (que incluye n) y logramos un término igual al primero pero con k (bien) y n, con lo que hemos logrado demostrar la afirmación en el supuesto de que se cumpla para k-1 y n/2 y no en el supoesto de que se cumpla para k-1 a secas.
Supongo que me he perdido algo respecto al método de demostración por inducción completa.
Lo que demostramos es que, si se cumple para k-1 y cualquier n, entonces se cumple para k y cualquier n. Como sabemos que se cumple para k=1 y cualquier n (es trivial), entonces se cumple para cualquier k y cualquier n, que es lo que queríamos demostrar.
Como mera apreciación técnica: tampoco podríamos aplicar inducción sobre n porque si nos fijamos en la expresión de la derecha, en concreto en el número de factores (que es k), éste no depende en absoluto de dicho n sino de k, valga la redundancia
Me temo que este va a ser el último comentario de la entrada, pero bueno…
Lo que ocurre es que por hipótesis se cumple para k-1 y cualquier n y demostramos que se cumplirá para k y la mitad de n, que no es cualquiera ya. Supongo que la idea es que se puede ir saltando k-1 veces hacia abajo desde n y entre pares e impares hasta que k sea 1 y m el que sea. ¿Qué pasa si, por ejemplo k = n = 8? No sé si los factores incluyen siempre enteros con el método de construcción.
Perdona pero no entiendo lo que dices. Demostramos que se cumple para k y cualquier n, sea par o impar.
Si k=n=8 el primer factor será
y tendremos el mismo problema para k=7 y n=4, de donde obtendremos los otros 7 factores, aplicando lo mismo recursivamente.
Yo pongo k=7 y n=1 y me quedo sin enteros en el mismísimo primer paso.
Hola,
Veo que nadie comentó sobre Raulito, sucede que él ya entró a la Universidad. Ingresó a la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Saludos!
No, maestrillo, para n=1 nos encontramos en el caso n impar, con lo que estamos en el segundo caso en el que hemos construido un factor con un (n+1)/2, el cual es un entero, en este caso 1.
La 1/2 en el denominador de la expresión que supuestamente tiene k-1 factores.
Sí, salen factores repetidos con n=1, todos son 2.
Lógicamente, porque para n=1 el término de la izquierda es
Eder Contreras, muchas gracias por la información. Saludos 🙂
Buenos días, Hay muchas cosas que no entiendo en esto del IMO: ¿Como se seleccionan los estudiantes? ¿Como se pueden tener ciertos conocimientos si el nivel de enseñanza es infimo y ni mucho menos parece posible que nadie adquiera esa maestria en dichas condiciones? ¿No serán entrenados especificamente para la resolución de problemas de este tipo, incidiendo en lo que realmente se exigirá, inducción, teoremas geometricos relevantes para la resolución de problemas, temas de probabilidad, ecuaciones y números más recurrentes en IMO y la forma de atacarlos, etc? ¿Como es posible que si el talento de, por ejemplo Lisa Sauermann,… Lee más »
Sí hay contestaciones lógicas:
Aun cuando el nivel de enseñanza fuera ínfimo (discutible) siempre habrá excepciones tanto entre el profesorado como en el alumnado, por ello siempre será posible esperar que alguien adquiera la «maestría» suficiente.
En cualquier actividad humana un entrenamiento específico mejora el rendimiento de quienes de forma natural tienen dotes para algo y disfrutan con ello.
El tener un talento especial para las matemáticas no es ni necesario ni suficiente para obtener un título universitario a edad temprana.
JJGJJG: Pues yo no encuentro ninguna “contestación lógica” en su exposición y mucho menos ninguna respuesta a lo que planteo. Cualquier profesor, por “extraordinario” que sea tiene que someterse al programa de su asignatura y estar por ver que lo finalice; cualquier alumno, por brillante que sea, solo recibirá esos conocimientos, insuficientes para “reinventar” métodos matemáticos de resolución de problemas que ha costado siglos descubrir y que por supuesto ningún profesor explica en la enseñanza media, suponiendo que los sepa manejar. Aún en el mejor de los mundos posibles tendría que darse el caso de que un profesor “extraordinario” (¿probabilidad?)… Lee más »
JL, tengo un nieto que, en su día, en un colegio normal, con profesores normales, sin apoyo específico y gracias a sus buenas notas en matemáticas fue seleccionado, tras unas pruebas, para formar parte de un grupo en el que un día a la semana recibía formación reforzada en el área en su propio colegio. Después de un curso, y sin más entrenamientos intensivos de ninguna clase, se apuntó él mismo y concurrió a pruebas en fase local, provincial y regional de Canarias para participar en la Olimpiada de matemáticas a nivel nacional. No ganó pero obtuvo una clasificación destacada,… Lee más »
JJGJJG, todo lo que comentas viene a reforzar lo que expongo; por el ejemplo de tu nieto se puede comprobar claramente la evidente trama de espectáculo que tiene el IMO; si queremos seleccionar a gente capaz sin IMOs bastaría con seleccionar a las personas con buenos resultados académicos, sin más. El que sean “prefabricados” (los mejores en IMO me refiero) casi seguro que es así, que son entrenados específicamente en la resolución de problemas y son enseñados con las técnicas que más se utilizan en este tipo de competición; estoy completamente seguro y si alguien lo sabe que nos lo… Lee más »
Con este comentario doy por terminada la discusión sobre «las» IMO. No veo ninguna relación entre el ejemplo de mi nieto y una «evidente trama de espectáculo». A tarvés de IMO no se seleccionan únicamente personas con buenos resultados académicos sino, entre ellos, a los que tienen adicionalmente cualidades como estímulo, afán competitivo y voluntad de esfuerzo entre otras. El hecho de que haya, si los hay, países que entrenan a sus candidatos para competiciones concretas no implica que todos los candidatos respondan a ese tipo y, en cualquier caso, lo que debe contar son los resultados. En muchos deportes… Lee más »
JL, me parece que te fas muchos aires a la hora de hablar, y sobretodo, que crees saber más que nadie sobre un tema del que, aparentemente, no tienes ni idea. No hubiera estado de más evitar este aura de superioridad que se desprendre de tus palabras, y esa utilización del lenguaje que podría llegar a inducir una falta de respeto por una competición y un sistema no discutido por casi nadie, y con una larga, exitosa, y laureada tradición. Recuerdo que muchos de los grandes matemáticos actuales han pasado por la IMO (Tao, Perelman…). De cualquier manera me dispongo… Lee más »
Pues hasta cierto punto JL tiene razón, sin desmerecer para nada a los olímpicos claro está. Pero sí es verdad que todos los problemas, salvo algunos excepcionales que a veces creo que ponen para «tentar» y «probar» si alguien, aunque sea uno solo, es capaz de resolverlos, se basan prácticamente en las mismas técnicas, constantemente: aplicación de medias y desigualdades geométricas-armónicas-aritméticas, teoremas sobre congruencias e inducción, principio del palomar, teoremas de menelao y razones simples o dobles, y un corto etcétera más. Evidentemente no te van a poner problemas de aplicación directa de estas técnicas sino que van a ser… Lee más »
Tenéis vuestra razón JL y Maelstrom pero yo prefiero que existan OIM a que no existan.
No, no. Si por supuesto es preferible que existan, y los que ahí brillan, incluso solo los que participan en cualquiera de las ediciones, muestran un talento inaudito que merece detectarse y potenciarse. Pero yo entiendo que incluso muchos matemáticos profesionales, delante por primera vez de un problema de estos, con mucha seguridad no sean capaz de resolverlos, lo cual les provoque estupefacción y extrañeza (y puede que incluso crisis vocacional, jaja). Y, viendo el panorama de cómo está la educación en este país, resulta insólito que chavales de la ESO sean capaces de resolverlos y un catedrático medio se… Lee más »
Evidentemente también, que se me olvidaba decirlo, los problemas de las olimpiadas no son ni siquiera aptos para los mismos participantes, pues no sé si la mediana de puntuación en dichas competiciones debe de estar en 4 puntos de los 42 posibles, es decir que resolverlos todos solo está al alcance de muy muy poquitos, no es cosa aquí de que el talento esté en un auge sin parangón en otras épocas y haya una distancia infinita entre una persona normal y un olímpico.
Aquí una entrevista a Raúl sobre su situación actual http://www.larepublica.pe/07-08-2013/campeon-de-matematicas-me-gustan-las-matematicas-por-ser-exactas-y-formales
Saludos!
Creí que el tema estaba más o menos finalizado, pero no, parece ser que siempre viene alguien a insultar gratuitamente. Vamos a ver, “etr”, ¿usted de que me conoce a mí? ¿Quién es usted para venir aquí a juzgarme e insultarme? Naturalmente que no conozco el funcionamiento de los IMO, pero eso ya lo digo yo y se desprende de lo que pregunto, por eso lo hago. Es un tema que jamás me ha interesado pero del que solo basta informarse someramente para ver que “hay gato encerrado” y que las referidas proezas no son para tanto. Usted contesta solo… Lee más »
JL, me parece que te infravaloras. Si con una inteligencia media has hecho en poco tiempo y con solo las ganas tres carreras y pico es que el 99% de los españoles que a duras penas acaban una, o ni eso, están muy por debajo de lo que para ti es normal. He recorrído exhaustivamente tu página . Recomiendo hacer lo mismo a los colegas de Gaussianos. No entiendo el significado de tu expresión «(para no esconderme en nicks)». Explícamelo, por favor, para poder compaginarlo con tu formación de Psicólogo. Por otro lado lamento que, aunque raramente, en un blog… Lee más »
Perdone pero creo que no le he insultado, señor JL, y si así lo desprendre de mi comentario ya le pido disculpas desde ahora. Insisto, no obstante, que de sus palabras se desprendre un aire de superioridad que puede irritar a cualquiera. Simplemente analicé el primer comentario que expuso en la página y saqué conclusiones de sus propias palabras, e intenté responder de manera más o menos ordenada a todas las preguntas que formuló. ¿A qué conclusión quiere llegar? ¿Que el sistema es de nivel bajo? Pues sí, de nivel muy bajo, pero tal cosa me parece una obviedad que… Lee más »
Sigue usted por el mismo camino ‘etr’, no entiende absolutamente nada y no es usted quien para conjeturas psicológicas o morales sobre personas desconocidas, que es simplemente lo que está haciendo. Lo que le sucede es que no está acostumbrado a que se presenten los temas sin tapujos, directamente, y eso le parece “agresivo” o “con aires de superioridad”. Penoso de verdad; aprenda usted de quien sí sabe ver el fondo de la cuestión que se presenta, como JJGJJG o Maelstrom, a los que no “hieren” otras opiniones y saben ver y contestar al fondo real de estas. Mire, haga… Lee más »
..2 Le agradezco su paso y opinión sobre mí página, pero ya habrá visto que en el momento actual solo está completada la sección “Damas” de mi página original, aunque hay suficiente material para mucho tiempo; agradecería su opinión sobre los programas existentes en esa sección, juego contra IA, bases de datos, etc. que programé en exclusiva para la página. A ver si saco tiempo para ir cumplimentando el resto; fíjese que ni siquiera he dado conocimiento de mis propias obras en otras secciones, como “Dominó”, donde tengo editado el libro “El arte del dominó: teoría y práctica” (Editorial Paidotribo)… Lee más »
Llego tarde, así que tal vez mucho se habrá dicho ya. Coincido con JJGJJG en el fondo de su argumentación. Sin embargo, habiendo vivido competiciones de algunas cosas a lo largo de mi vida, creo que lo natural al afrontarla es prepararse. Además, lo lógico es preparase de forma específica. Si los retos que la competición plantea, muestran un patrón, lo normal es estudiar ese patrón y sacar consecuencias y aplicarlas a nuestro entrenamiento (hasta aquí creo que no varía lo dicho de lo que se hace en cualquier deporte, donde se perfeccionan y entrenan una serie de habilidades básicas… Lee más »
La cuestión de una preparación específica («de manual») para las IMO es evidente.
Pero, si usted va a competir por ejemplo en atletismo, dudo mucho que prefiera prepararse jugando baloncesto o algo por el estilo.
Además, dudo mucho que si usted toma al azar de una «población» escolar promedio los elementos que conformarán el equipo y les prepara intensivamente por un tiempo considerable, estos puedan desarrollar la habilidad requerida con las matemáticas.