No, no vamos a hablar de inversiones en el sentido económico del término (no está la situación para ello), sino de inversas de funciones. Si, de esas inversas de tinte un tanto místico a veces. De esas que en algunas ocasiones existen y en otras no, de esas que nos indican cómo desandar el camino recorrido con nuestra función inicial. En definitiva, de esas que, cuando existen, producen la función identidad al componerlas con la inicial. Sí, he dicho componer, eso que en muchos lugares es conocido (lamentable, bajo mi punto de vista) con las palabras gof y fog por bastantes alumnos y que algunos profesores han ayudado a popularizar.
Y en concreto vamos a dedicarle unos párrafos a la representación gráfica de la inversa de una función. Porque siempre se le ha dado protagonismo a la gráfica de la función, pero no a la de su inversa (sí, la inversa, si existe, es otra función, y por tanto se podría representar como se hace con la inicial, pero ése es otro tema). Porque ha sido la gran olvidada. Y porque es muy bonita la relación que mantiene la gráfica de una función con la gráfica de su inversa.
Pero comencemos por el principio. ¿Cómo se define la inversa de una función? ¿Cuándo existe? Veamos:
Dada una función
definida en un conjunto
, y cuya imagen es
, se define la inversa de
, que llamaremos
, como la única función (si existe) que cumple que
Es decir, la inversa (si existe) de una función es otra función que cumple que al componerla con la primera nos da la función identidad. Vamos, que la inversa de es una función que anula el efecto que la propia
ejerce sobre un valor
, obteniéndose entonces el propio valor
cuando se las aplica de manera consecutiva.
Sería magnífico que siempre existiera inversa, pero por desgracia no es así:
Existe la inversa de una función
si dicha función es biyectiva entre el conjunto de definición
y su imagen,
.
Esta condición, que significa que debe haber una correspondencia 1 a 1 entre y
, no se cumple siempre. Por ejemplo, la función
está definida en todo
y su imagen es el intervalo
, pero no hay una correspondencia biunívoca entre esos dos conjuntos mediante
(por ejemplo, los valores -2 y 2 tienen la misma imagen, 4).
Pongámonos en el caso de que nuestra función sí tiene inversa. ¿Cómo se calcula? Pues muy sencillo: intercambiamos los papeles de e
en la función inicial y después despejamos
.
Veamos un ejemplo. Vamos a calcular la función inversa de
Tomamos , intercambiamos los papeles de
e
, quedando
, y despejamos
, obteniendo la función inversa:
Visto ya todo esto, pasemos a las gráficas (os había dicho que esta entrada iba de gráficas, ¿verdad?). Bien, veamos cuál es la gráfica de la función (una parte nada más, como es evidente):
Y veamos la gráfica de :
Como podéis ver, el dominio de la primera pasa a ser la imagen de la segunda, y la imagen de la primera se convierte en el dominio de la segunda. También hay cambio de papeles en las asíntotas: la que era horizontal para la primera pasa a ser vertical para la segunda, y la que era vertical para la primera ahora es horizontal en la segunda.
¿Veis alguna relación entre ellas? ¿Algo que se parezca? ¿Algo que permita identificarlas como las gráficas de dos funciones inversas? Una ayuda: girad la gráfica de
en el sentido contrario al de las agujas del reloj y después reflejad el resultado en un espejo (es decir, aplicad una simetría respecto del eje Y). ¿Qué queda? Veamos:
Ahora veámosla junto a la gráfica de :
Efectivamente, son la misma representación gráfica. Curioso, ¿verdad? Veamos otro ejemplo. Vamos a tomar la función . Esta función trigonométrica no es biyectiva, por lo que no tiene una inversa, digamos, global. Lo que sí podemos hacer es quedarnos con un subconjunto de su dominio para el cual dicha función sí sea biyectiva. Por ejemplo, vamos a tomar en este caso el conjunto
. En ese conjunto, la gráfica de la tangente es la siguiente:
Podéis observar que tiene dos asíntotas verticales en los dos extremos de dicho intervalo.
La inversa de la tangente en ese intervalo es la función , arcotangente de
. La gráfica de ésta es la que podéis ver a continuación:
¿Veis ahora la relación? Hagamos lo mismo, giremos la gráfica de la arcotangente en sentido antihorario y después reflejemos el resultado en un espejo:
Y ahora comparemos con la inicial de la tangente:
![]() |
![]() |
La misma, como habíamos dicho.
Os animo a que probéis con más funciones. Trabajad con ellas, manchaos las manos sin ningún miedo. Es la mejor forma de aprender.
¿Por qué ocurre esto? Pues porque por la propia definición de función inversa se tiene que las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la recta . Es decir, si nosotros tomamos la gráfica de una función y la aplicamos una simetría respecto de dicha recta lo que nos queda es la gráfica de la inversa. ¿Y qué es aplicar una simetría respecto de la recta
? Pues, precisamente, girar y reflejar.
Espero que entradas como ésta os gusten a todo, pero especialmente espero que motiven a todos los lectores que en los próximos días van a afrontar exámenes de asignaturas en cuyos contenidos se encuentran los conceptos tratados aquí (bueno, y a los demás también, cómo no). Espero que se os den muy bien a todos.
Actualización: Añado el applet de GeoGebra que Ignacio Larrosa realizó sobre las gráficas de una función y su inversa, y que podéis encontrar en este enlace. Magnífico:
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
Aqui hay un applet de geoGebra que permite visualizar la relación de una función con su(s) inversa(s), así como las tangentes a sus gráficas en los puntos correspondientes:
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Funcion_inversa.html
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: No, no vamos a hablar de inversiones en el sentido económico del término (no está la situación para ello), sino de inversas de funciones. Si, de esas inversas de tinte un tanto místico a veces. De esas que en algunas oca……
Muy bueno Ignacio. ¿Lo puedo incluir en la entrada?
No es más fácil, como dices al final, simplemente calcular la simetría respecto de la recta y=x?
Por supuesto Gaussianos. Como pongo en la página principal (http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/), todo esta acogido a una licencia Creative Commons:
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Licencia de Creative Commons
Actividades con GeoGebra de Ignacio Larrosa Cañestro se comparte bajo una licencia
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 3.0 Unported License.
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Arenvs, sí, es posible, pero encanta lo de girar y reflejar. A mis alumnos les llama más la atención que lo de la simetría respecto de la recta y=x :).
Ignacio, muchas gracias, lo guardo y lo añado a la entrada ahora mismo 🙂
Me parece más sencillo calcular la inversa de una función inyectiva asi: Se dibuja la gráfica de f –esta puede ser ya conocida o si se quiere “grosso modo”-observando la gráfica se ve si la función es inyectiva o no; ó también en que conjuntos la restricción es inyectiva. Claramente si alguna recta horizontal corta a la gráfica de una función en más de un punto la función no es inyectiva, y si las rectas horizontales cortan a la gráfica solo en un punto esta es inyectiva. Supongamos pues que f es inyetiva. Calculamos la imagen de f , Imf… Lee más »
pero GRAFICAMENTE la funcion inversa siempre SIEMPRE va a existir , basta con ‘dibujarla’ y luego reflejarla a traves de la recta (cada punto) y =x 🙂
es que a mi una vez me rechazaron un ‘paper’ aludiendo a que la formula implicita (inversa) en la que habia dado la solucion NO existia porque ‘no estamos seguros de que se pueda invertir’ a lo que le respondi yo que SIEMPRE se podria invertir graficamente
Jose Javier, todas las gráficas se pueden invertir, pero no todas las funciones tienen inversa en el conjunto de los reales (o en su dominio). Al invertir la gráfica siempre obtienes otra gráfica, pero puede que esta ultima no cumpla con la condición de función (esto es, que cada elemento del dominio tenga una y solo una imagen).
Yo diría que el teorema de la función inversa dice más o menos algo así como que toda función continua en x_0, derivable en un entorno de x_0 y tal que f'(x_0) =/= 0, tiene una inversa local en un entorno de x_0.
jose javier garcia, si la gráfica que te queda no es una función entonces la inversa no existe, como te ha dicho Santiago.
Ignacio Larrosa, muy oportuno tu comentario :).
[…] RT @gaussianos: Hoy hablamos de la gráfica de la inversa de una función http://t.co/G3sSI6rEXu. No os perdáis el applet de @ilarrosac http://t.co/8CFb1RrNR8 […]
José Javier García : Sólo podemos hablar de función inversa f^-1 cuando la función f es 1 a 1 entre Domf e Imf, no nos compliquemos la vida, y seamos rigurosos. Y lo de invertir gráficas como tu lo llamas no consiste en hallar la función inversa ni mucho menos. Ocurre muchas veces como por ejemplo con las funciones circulares que la función no tiene inversa pero si, si nos restringimos a ciertos intervalos; cada restricción te da una función inyectiva y por lo tanto, cada restricción te da una inversa. Asi por ejemplo la función seno puedes restringirla a… Lee más »
Pequeña errata: No estoy seguro de que lo hallan reportado ya, pero cuando dáis la definición de la función inversa ponés: A ∈ ℝ y B ∈ ℝ. Pero debería ser A ⊆ ℝ y B ⊆ ℝ.
Una opinión : Es habitual entre la comunidad matemática pensar que el dibujo de una gráfica es el último y más importante del los objetivos del estudio de una función, asi como dar las ecuaciones paramétricas o ecuaciones polares de curvas y dibujarlas. Mi experiencia me dice que eso no es cierto, lo más importante son las propiedades de una función y hay que desmenuzarla para no olvidarnos de ninguna propiedad, por lo tanto no valen los esbozos, salvo para resolver algunos problemas concretos que luego comentaré. Si se dibuja la gráfica de una función y es importante es porque… Lee más »
Este método no funciona por ejemplo con un seno. ¿Por qué? Claramente es los ceros influyen, pero no se dice nada de esto en el artículo.
David, hay que tomar un intervalo donde la función seno sea inyectiva. Toma, por ejemplo, el intervalo
.
Pero sigue sin ser así incluso en ese intervalo, porque si sin(0)=0, la inversa tiende a infinito en 0, y por mucho que giremos y reflejemos no vamos a obtener un infinito en x=0. Es más, si giramos con un eje de giro que pasa por x=0, el valor de la inversa seguirá siendo 0. ¿Esto como se explica o qué hago yo mal?
http://www.onlinefunctiongrapher.com/?f=sin(x)|1%2Fsin(x)&xMin=-3.057237742952778&xMax=3.0004666219545086&yMin=-3.1958359431619825&yMax=2.8618684217453043
Vale ya está, ahora lo entiendo :). No hace falta más aclaración.
David: Considera la gráfica del seno restringida al intervalo [-Pi/2 , Pi/2], dibuja el rectángulo limitado por las rectas y=1, y=-1, x=-Pi/2, x=Pi/2. Observarás que en dicho rectángulo la gráfica del seno pasa por el origen O, es impar luego simétrica respecto del origen, es continua, negativa en [-Pi/2 , 0) y positiva en (0, Pi/2]. Como es continua en el intervalo [-Pi/2 , Pi/2] derivable en (-Pi/2 , Pi/2) con derivada positiva implica que dicha restricción es estrictamente creciente en el intervalo [-Pi/2 , Pi/2] luego inyectiva en dicho intervalo, tiene un mínimo absoluto en -Pi/2 y el valor… Lee más »
[…] elación de una función con su(s) inversa(s), así como las tangentes a sus gráficas en los puntos correspondientesRT @gaussianos: Hoy hablamos de la gráfica de la inversa de una función http://t.co/G3sSI6rEXu. No os perdáis el applet de @ilarrosac http://t.co/8CFb1RrNR8 […]
En el applet construía la gráfica de la función inversa como lugar geométrico del reflejado en la recta y = x de un punto variable de la gráfica de la función. Pero parece que la herramienta LugarGeométrico a veces da problemas, como se puede ver en el applet actualmente insertado en el artículo, que aparece una molesta línea recta como parte del lugar, que no se sabe (yo al menos no) de donde aparece ….
En mi página web lo modifique para reflejar directamente la gráfica de la función, que parece que siempre funciona bien.