No, no vamos a hablar de inversiones en el sentido económico del término (no está la situación para ello), sino de inversas de funciones. Si, de esas inversas de tinte un tanto místico a veces. De esas que en algunas ocasiones existen y en otras no, de esas que nos indican cómo desandar el camino recorrido con nuestra función inicial. En definitiva, de esas que, cuando existen, producen la función identidad al componerlas con la inicial. Sí, he dicho componer, eso que en muchos lugares es conocido (lamentable, bajo mi punto de vista) con las palabras gof y fog por bastantes alumnos y que algunos profesores han ayudado a popularizar.

Y en concreto vamos a dedicarle unos párrafos a la representación gráfica de la inversa de una función. Porque siempre se le ha dado protagonismo a la gráfica de la función, pero no a la de su inversa (sí, la inversa, si existe, es otra función, y por tanto se podría representar como se hace con la inicial, pero ése es otro tema). Porque ha sido la gran olvidada. Y porque es muy bonita la relación que mantiene la gráfica de una función con la gráfica de su inversa.

Pero comencemos por el principio. ¿Cómo se define la inversa de una función? ¿Cuándo existe? Veamos:

Dada una función f definida en un conjunto A \in \mathbb{R}, y cuya imagen es B \in \mathbb{R}, se define la inversa de f, que llamaremos f^{-1}, como la única función (si existe) que cumple que

\begin{matrix} (f^{-1} \circ f)(x)=x, \; \forall x \in A \\ \\ (f \circ f^{-1})(y)=y, \; \forall y \in B \end{matrix}

Es decir, la inversa (si existe) de una función es otra función que cumple que al componerla con la primera nos da la función identidad. Vamos, que la inversa de f es una función que anula el efecto que la propia f ejerce sobre un valor x, obteniéndose entonces el propio valor x cuando se las aplica de manera consecutiva.

Sería magnífico que siempre existiera inversa, pero por desgracia no es así:

Existe la inversa de una función f si dicha función es biyectiva entre el conjunto de definición A y su imagen, B=f(A).

Esta condición, que significa que debe haber una correspondencia 1 a 1 entre A y f(A), no se cumple siempre. Por ejemplo, la función f(x)=x^2 está definida en todo \mathbb{R} y su imagen es el intervalo [0, \infty ), pero no hay una correspondencia biunívoca entre esos dos conjuntos mediante f (por ejemplo, los valores -2 y 2 tienen la misma imagen, 4).

Pongámonos en el caso de que nuestra función sí tiene inversa. ¿Cómo se calcula? Pues muy sencillo: intercambiamos los papeles de x e y en la función inicial y después despejamos y.

Veamos un ejemplo. Vamos a calcular la función inversa de

f(x)=\cfrac{1}{x-2}

Tomamos y=\frac{1}{x-2}, intercambiamos los papeles de x e y, quedando x=\frac{1}{y-2}, y despejamos y, obteniendo la función inversa:

f^{-1}(x)=\cfrac{1}{x}+2

Visto ya todo esto, pasemos a las gráficas (os había dicho que esta entrada iba de gráficas, ¿verdad?). Bien, veamos cuál es la gráfica de la función f (una parte nada más, como es evidente):

Y veamos la gráfica de f^{-1}:

Como podéis ver, el dominio de la primera pasa a ser la imagen de la segunda, y la imagen de la primera se convierte en el dominio de la segunda. También hay cambio de papeles en las asíntotas: la que era horizontal para la primera pasa a ser vertical para la segunda, y la que era vertical para la primera ahora es horizontal en la segunda.

¿Veis alguna relación entre ellas? ¿Algo que se parezca? ¿Algo que permita identificarlas como las gráficas de dos funciones inversas? Una ayuda: girad 90^\circ la gráfica de f en el sentido contrario al de las agujas del reloj y después reflejad el resultado en un espejo (es decir, aplicad una simetría respecto del eje Y). ¿Qué queda? Veamos:

Ahora veámosla junto a la gráfica de f:

Efectivamente, son la misma representación gráfica. Curioso, ¿verdad? Veamos otro ejemplo. Vamos a tomar la función f(x)=tg(x). Esta función trigonométrica no es biyectiva, por lo que no tiene una inversa, digamos, global. Lo que sí podemos hacer es quedarnos con un subconjunto de su dominio para el cual dicha función sí sea biyectiva. Por ejemplo, vamos a tomar en este caso el conjunto [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2} ]. En ese conjunto, la gráfica de la tangente es la siguiente:

Podéis observar que tiene dos asíntotas verticales en los dos extremos de dicho intervalo.

La inversa de la tangente en ese intervalo es la función arctg(x), arcotangente de x. La gráfica de ésta es la que podéis ver a continuación:

¿Veis ahora la relación? Hagamos lo mismo, giremos la gráfica de la arcotangente 90^\circ en sentido antihorario y después reflejemos el resultado en un espejo:

Y ahora comparemos con la inicial de la tangente:

La misma, como habíamos dicho.

Os animo a que probéis con más funciones. Trabajad con ellas, manchaos las manos sin ningún miedo. Es la mejor forma de aprender.

¿Por qué ocurre esto? Pues porque por la propia definición de función inversa se tiene que las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto de la recta y=x. Es decir, si nosotros tomamos la gráfica de una función y la aplicamos una simetría respecto de dicha recta lo que nos queda es la gráfica de la inversa. ¿Y qué es aplicar una simetría respecto de la recta y=x? Pues, precisamente, girar y reflejar.


Espero que entradas como ésta os gusten a todo, pero especialmente espero que motiven a todos los lectores que en los próximos días van a afrontar exámenes de asignaturas en cuyos contenidos se encuentran los conceptos tratados aquí (bueno, y a los demás también, cómo no). Espero que se os den muy bien a todos.


Actualización: Añado el applet de GeoGebra que Ignacio Larrosa realizó sobre las gráficas de una función y su inversa, y que podéis encontrar en este enlace. Magnífico:

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