Bienvenidos de nuevo al impactante (y a veces enigmático) mundo de las demostraciones visuales, esas maravillas que consiguen que ciertos conceptos matemáticos (en ocasiones relativamente complejos) entren directamente por los ojos. Por aquí ya han pasado unas cuantas, como la del área del círculo (y también en vídeo), o la que relacionaba segmento y recta, y muchas más, como las que podéis ver en La singular belleza de las demostraciones visuales y en La singular belleza de las demostraciones visuales (II).

En esta ocasión, la demostración involucra a una serie numérica. El tema a tratar va a ser el siguiente:

¿Cómo demostrar de forma visual la siguiente igualdad?

\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{8}+\cfrac{3}{16}+\cfrac{4}{32}+\ldots=1


En este post del blog de Patrick Honner podéis ver esta magnífica imagen que ilustra la igualdad anterior dividiendo un cuadrado de lado 1 (y, por tanto, de área 1) en pequeñas piezas tal que la suma de sus áreas es precisamente el lado izquierdo de nuestra igualdad:

Preciosa, ¿verdad?

Pero no nos vamos a quedar ahí, vamos a ponerle matemáticas al tema. Supongamos que no tenemos tanta imaginación como para colocar tan convenientemente los términos de esa suma infinita y tenemos que calcular la suma a mano. ¿Cómo lo podríamos hacer?

Las serie aritmético-geométricas son las serie numéricas de la forma siguiente:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} P(n) \cdot a^n}

siendo P(n) un polinomio y a \in \mathbb{R}, que se denomina razón de la serie (la tomamos comenzando en n=1, pero podría comenzar en cualquier otro número natural). Cuando el polinomio es una constante, al sacarla factor común fuera de la suma nos queda una serie geométrica. Echadle un ojo a esa entrada, aparte de ser interesante nos hará falta en lo que sigue.

Está claro que el lado izquierdo de la igualdad anterior se puede expresar mediante una serie aritmético-geométrica de la siguiente forma:

\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{8}+\cfrac{3}{16}+\cfrac{4}{32}+\ldots=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \left ( \cfrac{1}{2} \right )^{n+1}}=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{n}{2^{n+1}}}

Para calcular la suma de una serie de este tipo (que existirá siempre que |a| < 1) se suele seguir el siguiente esquema:

  • Se considera la sucesión de sumas parciales de la serie:

    S_n=P(1) \cdot a+P(2) \cdot a^2+ \ldots +P(n) \cdot a^n

  • Se multiplica S_n por la razón, a, y se resta el resultado de la S_n inicial. Es decir, se calcula S_n-a S_n.

    Este proceso se realiza con el resultado de cada resta tantas veces como indique el grado del polinomio P(n).

  • Terminado el paso anterior habremos llegado a una expresión en la que, después de tomar límite cuando n \to \infty, nos quedan varias constantes, varios elementos con límite cero y una serie geométrica, cuya suma será fácil de calcular. El resultado de sumar todos estos términos es el valor de la suma inicial.

Vamos a realizar el cálculo de nuestra serie siguiendo este esquema:

  • Tomamos la sucesión de sumas parciales de la serie:

    S_n=\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{8}+\cfrac{3}{16}+\cfrac{4}{32}+\ldots+\cfrac{n}{2^{n+1}}

  • Multiplicamos S_n por la razón, que es 1 \over 2, y colocamos el resultado debajo de la expresión de S_n:

    \begin{matrix} S_n=\cfrac{1}{4}+\cfrac{2}{8}+\cfrac{3}{16}+\cfrac{4}{32}+\ldots+\cfrac{n}{2^{n+1}} \\ \\ \cfrac{1}{2} \; S_n=\cfrac{1}{8}+\cfrac{2}{16}+\cfrac{3}{32}+\cfrac{4}{64}+\ldots+\cfrac{n}{2^{n+2}} \end{matrix}

    Y ahora restamos ambas expresiones, asegurándonos de que en la derecha restamos entre sí las fracciones que tienen mismo denominador. Así, el primer y el último término van solos y los demás se obtienen de restar la pareja de fracciones de mismo denominador. Nos queda la siguiente expresión:

    \cfrac{1}{2} \; S_n=\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{16}+\cfrac{1}{32}+\ldots+\cfrac{1}{2^{n+1}}-\cfrac{n}{2^{n+2}}

  • Es fácil ver que, como habíamos comentado antes en el esquema, todos los términos intermedios, excepto el primero y el último, se pueden expresar (después de tomar límite cuando n \to \infty) mediante la siguiente serie geométrica:

    \cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{16}+\cfrac{1}{32}+\ldots+\cfrac{1}{2^{n+1}}+\ldots=\displaystyle{\sum_{n=3}^{\infty} \cfrac{1}{2^n}}

    En realidad, en este caso el primer término también se podría haber incluido en la serie, pero como habitualmente esto no ocurre es mejor dejarlo así.

    Bien, entonces al tomar límite cuando n \to \infty en la expresión completa, y llamado S a la suma de la serie, tenemos lo siguiente:

    \cfrac{1}{2} \; S=\cfrac{1}{4} + \displaystyle{\sum_{n=3}^{\infty} \cfrac{1}{2^n}} - \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{n}{2^{n+2}}}

    El valor de este último límite es claramente {0} (los órdenes de magnitud de numerador y denominador así lo aseguran), y la suma de esa serie geométrica es:

    \displaystyle{\sum_{n=3}^{\infty} \cfrac{1}{2^n}=\cfrac{\left ( \frac{1}{2} \right )^3}{1-\frac{1}{2}}=\cfrac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\cfrac{1}{4}}

    Con esto ya es sencillo llegar al resultado final:

    \begin{matrix} \cfrac{1}{2} \; S=\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{4}-0=\cfrac{1}{2} \\ \\ S=\cfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1 \end{matrix}

Por tanto, la suma de la serie inicial es, efectivamente, 1, como nos decía nuestra demostración visual.

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