La universidad es una de las mejores etapas en la vida de un estudiante, al menos bajo mi punto de vista. En esta época de la vida académica uno se adentra en un mundo totalmente nuevo, en el que vive multitud de historias y en el que conoce a muchísima gente.

Al menos ese fue mi caso. Tuve la suerte de encontrarme con muy buenas personas en mi etapa universitaria en Granada, personas que me ayudaron mucho en aquellos momentos y con las que compartí experiencias inolvidables. Por desgracia siempre queda gente con la que no llegas a relacionarte tanto, aunque no haya una razón para ello. Gente que comparte el día a día contigo pero con la que no tienes tanto contacto.

Aunque hace ya unos cuantos años que terminó ese período sigo recordando a muchos de mis compañeros, tanto a los más cercanos (evidente) como a los que no lo fueron tanto. Isa pertenece, por desgracia, a este último grupo. Y digo por desgracia porque siempre me pareció una magnífica persona, siempre con una sonrisa en la boca, siempre dispuesta a echar una mano. Y, adentrándome ya en la parte académica, porque siempre fue una estudiante brillante. Y cuando digo brillante quiero decir tremendamente brillante. Lola, una de sus amigas en aquella época (no sé si antes de comenzar la carrera ya os conocíais), puede confirmar que Isa estuvo siempre por encima de todos los que compartimos clase con ella. Por este motivo no me extraña que haya llegado hasta donde ha llegado. Y por ser como es me alegro una barbaridad.

¿Quién es Isabel Fernández?

Isabel Fernández

Isabel Fernández


Isabel Fernández, nacida en Linares el 16 de agosto de 1979, comenzó su Licenciatura en Ciencias Matemáticas en el curso 1997-98 en la Universidad de Granada. Según sus propias palabras, desde el principio le llamó la atención la geometría (a ninguno de los que conocemos tu sublime curso de Geometría III con Paco Martín nos extraña esto). Hasta tal punto llegó la cosa que disfrutó en sus dos últimos años de carrera de dos becas de investigación en el departamento de Geometría y Topología en dicha universidad.

Después de pasar por Murcia y Badajoz, actualmente es Profesora Contratada Doctora del departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Sevilla.

Rumbo al ICM

Bueno, ¿y qué es lo que ha conseguido Isa? Pues algo tan importante como ser la primera mujer española que recibe una invitación para asistir como ponente en el ICM. Casi nada.

Dicha invitación le llegó por sus trabajos sobre superficies de curvatura media constante y tanto ella como su compañero Pablo Mira van a ser quienes comuniquen los resultados que han obtenido en este importantísimo congreso.

Pablo Mira

Pablo Mira


La noticia sobre esta invitación al ICM me llegó a través de Menéame (el enlace está al final de este artículo). Nada más verla me puse a buscar una manera de contactar con Isa para felicitarla y para comentarle que quería escribir algo sobre ella en Gaussianos, blog que, por cierto, ya conocía a través de Lola (gracias). Después cruzarnos unos cuantos correos, Isa me comentó que intentaría escribir algo explicando en qué consiste el trabajo que Pablo y ella han realizado y que les ha servido para ir al ICM. ¿Quién mejor que ella para explicarlo?

Los trabajos de Isa y Pablo

Bueno, ya va siendo hora de que sepamos por qué han invitado al ICM a Isa y Pablo. El siguiente texto es lo que Isa ha escrito para mí y para todos vosotros explicándonos sus trabajos.

Superficies de curvatura media constante (CMC)

Un concepto muy importante a la hora de estudiar superficies es el de la curvatura media, que nos da una medida de cómo se curva la superficie en el espacio. La idea es la siguiente: para cada punto P de la superficie consideramos todas las secciones normales de la superficie que pasan por ese punto, que son las curvas que se obtienen al cortar la superficie con todos los planos perpendiculares a la misma en el punto P. De todas estas curvas nos quedamos con las que tengan menor y mayor curvatura (las llamadas direcciones principales), estas direcciones marcan lo máximo que nos podemos curvar hacia un lado o hacia el otro en la superficie.

Si llamamos k_1(P) y k_2(P) a las curvaturas de las dos direcciones principales, la curvatura media en ese punto es, precisamente, la media aritmética entre las dos:

H(P)=\cfrac{k_1(P)+k_2(P)}{2}

Las superficies que tienen la misma curvatura media en todos sus puntos se denominan superficies de curvartura media constante (CMC), y tienen propiedades geométricas que las hacen muy interesantes.

Por ejemplo, las superficies de CMC igual a cero se denominan superficies mínimas, nombre que proviene del hecho de que estas superficies son las que tienen menor área de entre todas las superficies con su mismo contorno (localmente, es decir, considerando trozos suficientemente pequeños de la superficie). Esta propiedad es precisamente la que caracteriza a las películas de jabón (es la primera de las famosas leyes de Plateu, que rigen el comportamiento de las películas de jabón). Esto nos permite caracterizar las superficies mínimas como aquellas en la que, si recortamos un pequeño trozo de la superficie y metemos el resto de la superficie en agua con jabón, la película que se forma en el hueco dejado por el recorte tiene justamente la misma forma que el trozo original.

Bueno, todo lo anterior se refería a superficies que viven dentro del espacio usual (el espacio euclídeo tridimensional), pero las superficies de CMC en general, y las superficies mínimas en particular, existen en cualquier tipo de espacios, y una rama de la Teoría de Superficies de gran relevancia en la actualidad es el estudio de las superficies de CMC en espacios homogéneos. ¿Y qué es un espacio homogéneo? Pues dicho a grandes rasgos, es un espacio que es igual en todos sus puntos, es decir, no tiene puntos especiales (aunque sí puede haber direcciones especiales). Obviamente el espacio euclídeo es un espacio homogéneo, pero hay más. Pensemos por ejemplo en un cilindro sobre una esfera, es decir, el espacio producto \mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}. En ese cilindro todos los puntos son iguales, pero resulta evidente que la dirección vertical (la del factor \mathbb{R}) es especial. Los espacios homogéneos tridimensionales están muy estudiados, y su clasificación guarda mucha relación con las famosas geometrías de Thurston, relacionadas con la conjetura de Poincaré.

Y ése es el campo en el que hemos trabajado Pablo Mira y yo en los últimos años (desde 2005) y sobre el que nos han invitado a dar una conferencia en el ICM (que probablemente llevará por título Thusrton 3-dimensional geometries).

¿Que por qué nosotros? Pues básicamente gracias a dos artículos que publicamos sobre el tema y en los que resolvimos uno de los problemas abiertos sobre superficies mínimas en espacios homogéneos de más actualidad en ese momento. Intentaré explicar brevemente en qué consiste.

Uno de los problemas básicos sobre superficies mínimas es el llamado problema de Bernstein, que consiste en clasificar las superficies mínimas que son grafos sobre todo un plano. En el espacio euclídeo este problema fue resuelto en 1915 por el propio Bernstein, que demostró que los únicos grafos mínimos enteros son los planos.

Uno de los espacios homogéneos más estudiados es el espacio de Heisenberg. Este espacio es (topológicamente) como el espacio usual, pero con una métrica distinta. Es decir, la forma de medir distancias (y por tanto todo lo relacionado con la curvatura) es distinta. En este espacio la dirección vertical es especial, y tiene propiedades distintas a las direcciones horizontales. En el espacio de Heisenberg tiene por tanto sentido plantearnos el problema de Bernstein que comentamos anteriormente, es decir, clasificar los grafos enteros mínimos en el espacio de Heisenberg.

Resolver este problema ha sido nuestra mayor aportación a esta teoría. En 2007, y gracias a un primer trabajo de 2005, Pablo y yo clasificamos la familia de grafos enteros mínimos del espacio de Heisenberg que, contrariamente a lo que sucede en el espacio euclídeo, es una familia muy grande, parametrizada en términos de diferenciales cuadráticas holomorfas, que se obtienen a partir de una aplicación armónica sobre la superficie, pero eso ya es otro tema…

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