El estudio de los primos gemelos ha sido un tema recurrente desde, que se sepa, la época de Euclides (siglo III a.C.), pero el tiempo transcurrido desde entonces no implica que conozcamos todo lo que se puede conocer sobre ello. De hecho, la mayoría de los resultados relacionados con los primos gemelos que se conocen son en realidad conjeturas (esto es, enunciados que se creen ciertos pero que no están ni demostrados ni refutados)
Después de todo este tiempo uno podría pensar que ya no se podrían encontrar cuestiones interesantes relacionadas con los primos gemelos que no se hayan estudiado hasta ahora, pero nada más lejos de la realidad. Y hoy vamos a comentar una de ellas.
Comencemos comentando qué son los primos gemelos, por si alguien todavía no lo sabe. Se dice que dos números primos son primos gemelos si están a dos unidades de distancia. Por ejemplo, las parejas (3,5), (11,13) y (17,19) son parejas de primos gemelos (son primos y en cada caso están a dos unidades de distancia).
¿Qué sabemos sobre los primos gemelos? Pues, como decía antes, casi todo estudiado sobre los primos gemelos son conjeturas (en Twin Prime en la Wikipedia en inglés y en Twin Primes en MathWorld tenéis unas cuantas), pero la más importante es la que trata sobre la infinitud de las parejas de primos gemelos:
Conjetura de los primos gemelos:
Existen infinitas parejas de primos gemelos.
A día de hoy este enunciado, como decía, sigue siendo una conjetura: no se sabe si hay infinitas parejas de este tipo o no.
Otra de las cuestiones interesantes relacionadas con los primos gemelos, y que además nos sigue dejando con la duda sobre su infinitud, está relacionada con la suma de los inversos de dichos primos gemelos. Es decir, con esta suma (siendo 
Imaginemos que conseguimos demostrar que dicha suma es infinita. Si fuera así, dicho resultado implicaría automáticamente que hay infinitas parejas de primos gemelos (ya que si hubiera un número finito de ellas, la suma de sus inversos nunca podría ser infinita). Pero…nuestro gozo en un pozo: esa suma es finita. El valor de la misma se conoce como constante de Brun, en honor de Viggo Brun, que fue quien demostró su convergencia. Se suele denotar por 
Se conocen otras constantes de este estilo y algunos otros resultados relacionados con ellas, algunos de los cuales podéis verlos en Brun’s constant en la Wikipedia en inglés.
Pero hay un detalle relacionado con los primos gemelos en el que parece que nadie había reparado hasta ahora. Concretamente en una constante relacionada con ellos de la cual no he encontrado ningún tipo de información. Y tuvo que ser nuestro gran comentarista JJGJJG quien la encontrara. Hace unos días, en este comentario del post Números primos gemelos y demás familia, JJGJJG nos decía lo siguiente:
Es decir, lo que estudió fue cómo es la suma de los inversos de los números que quedan entre cada pareja de números primos. Si llamamos a dicha suma 
La pregunta que debe venir ahora es evidente: ¿es dicha suma convergente?. Pues la respuesta es sí, y de hecho es sencillo comprobarlo utilizando la convergencia de la constante de Brun
Tenemos que la constante de Brun
es convergente. Ahora, la serie
cumple que su término general es menor (término a término) que el término general de la serie que determina la constante de Brun (hemos elegido solamente uno de los sumandos de cada pareja de fracciones que generan las parejas de primos gemelos). Por tanto, dicha serie también es convergente (por serlo la de Brun).
Ahora, nuestra serie, la de los inversos de los números naturales situados entre cada pareja de primos gemelos,
cumple que término a término es menor que la anterior. Por tanto, nuestra serie es convergente.
Sobre el valor aproximado de dicha constante
Podría ser interesante que si alguien tiene un rato intentara avanzar más en el número de términos para obtener cada vez mejores aproximaciones de
Esta entrada es la segunda aportación de Gaussianos a la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene a Mago Moebius como anfitrión.
¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉
¿Con los 200 primeros sumandos se llega a ese valor de $B_1$ ? Porque estoy haciendo pruebas con SAGE y la suma de todos los primeros 10000 términos me da
0.834774098200018…
Es muy fácil ver que la suma de los inversos de primos gemelos, par a par, es ligeramente mayor que el doble de los términos de la sucesión propuesta por JJGJJG, por lo tanto un límite superior a la suma es la constante de Brun dividida por dos. El defecto es 2/(a*(a+1)*(a+2)), donde a es el inferior de cada par de primos gemelos. Calcular la suma de esta sucesión parece tener los mismos problemas que calcular la constante de Brun… Curioso, según veo en wikipedia, la constante de Brun es un número irracional si y sólo si el número de… Lee más »
Información Bitacoras.com
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GOB, el caso es que después de programar el post estuve haciendo pruebas con Mathematica y después de sumar un buen puñado de valores obtenía un valor aproximado parecido al tuyo (a ver si esta noche cuando llegue a casa pongo el código que he utilizado). La verdad es que ahora a mí también me resulta extraño que con solamente 200 términos se obtenga el valor que nos comentaba JJGJJG…
gaussianos, para mi valor aproximado, según expliqué en el correo aclaratorio que te envié utilicé 200 términos de la sucesión que sugiere Francesc. Puedes comprobarlo releyendo mi correo. La serie 1/((k-1)*k*(k+1)) converge muy deprisa. He reanudado mis cálculos y he sumado los 3423 primeros términos. El valor nuevamente calculado es 0,928835827131 que, como ves es más parecido al que obtuve al principio y es mucho mayor que el obtenido por GOB. De hecho el término 3423 de la serie vale 2,33*10^(-17) lo que me hace pensar que el error residual difícilmente podrá afectar a los primeros 10 dígitos del valor… Lee más »
[…] La constante "entre primos gemelos" […]
He usado los primos dobles del primer millón de primos, es decir, hasta 15485863, (hay 86027) y me sale B2(86027)=1,742677464 y B1(86027)=0,849094268.
También lo he hecho para los 200 y los 10000 primeros, por comparar resultados:
B2(200)=1,615872101, B1(200)=0,785691586.
B2(10000)=1,714037125 , B1(10000)=0,834774098.
Lo he hecho bajando una lista del primer millón de primos a Excel y operando.
Ahora bien, si extrapolo a partir del valor de B2 conocido, 1,902160583, obtengo para B1 prácticamente el mismo valor que dice JJGJJG, 0,928835956.
JJGJJG, me imagino que lo que haces no es calcular la suma real sino extrapolar suponiendo que los últimos términos de B1 son la mitad de los de B2.
Si a partir de B2(86027)=1,742677464, B1(86027)=0,849094268 y B2=1,902160583104 se cumple 1/((k-1)*k*(k+1)), puedes hacer B1=B1(86027)+(B2-B2(86027))/2=0,92883582713101.
Bueno, bueno, bueno, pero que tenemos aqui!! Felicidades JJGJJG, la constante,de no existir con anterioridad, deberíamos empezar a llamarla, por ejemplo, J1.
Mmonchi, efectivamente, es fácil comprobar que para la pareja nº 860276 el término de la serie B2 es aproximadamente 1,3*10^(-7) y la diferencia entre su mitad y el término correspondiente de B1 será parecido a 2,7*10^(-22) y podemos despreciar su influencia en la suma pues está a más de 14 órdenes decimales de magnitud.
Si realizas tus cálculos con 10000 parejas en lugar de con 86000 comprobarás que te sale el mismo valor de B2 en sus 12 primeros dígitos.
Es fácil comprobarlo:
B2(10000)=1,714037125, B1(10000)=0,834774098 y B2=1,902160583104.
B1=B1(10000)+(B2-B2(10000))/2=0,92883582713101.
Efectivamente, igual hasta el último decimal. Pero eso no quiere decir que el resultado sea «exacto» porque depende de B2. Si calculamos B2 directamente tenemos:
p B2(p)
10^2 1.330990365719…
10^4 1.616893557432…
10^6 1.710776930804…
10^8 1.758815621067…
10^10 1.787478502719…
10^12 1.806592419175…
10^14 1.820244968130…
10^15 1.825706013240…
10^16 1.830484424658…
Si lo calculamos extrapolando tenemos:
p B2*(p)
10^2 1.904399633290…
10^4 1.903598191217…
10^6 1.901913353327…
10^8 1.902167937960…
10^10 1.902160356233…
10^12 1.902160630437…
10^14 1.902160577783…
10^15 1.902160582249…
10^16 1.902160583104…
Un cálculo más preciso de B2 permitiría tener un valor mejor de B1.
(Datos de http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html)
Mmonchi, puesto que tienes la herramienta y los datos ¿por qué no sumas la serie
1/((k-1)*k*(k+1)) hasta 10^16 y por diferencia obtienes B1 con el valor «conocido» de B2 que es 1,902160583104?
Comprobarás que, como la serie que te propongo converge muy deprisa, los valores que adopta para los escalones que utilizas desde 10^2 hasta 10^16 permanecen prácticamente constantes al cabo de unos cuantos intervalos.
De este modo es innecesario calcular directamente B1 y B2, sino que calculamos la diferencia entr B2/2 y B1 y conseguimos mucha más precisión.
Bajé de internet una lista de los 10000 primeros números primos e hice un sencillo programa en Pascal (usé Pascal por lo rápido que es pero es muy fácil de implementar en otros lenguajes). Tarda una décima de segundo en hacer el cálculo y el resultado me da así:
8.14603975537142E-001
Los números primos los saqué de aquí: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/10000_primos.htm
Y el programa es este:
var b1:double;
var p,pant:longint;
var f:text;
begin
assign(f,’primos.txt’);
reset(f);
b1:=0;
pant:=2;
while not eof(f)
do begin
read(f,p);
if (p-pant)=2
then begin
writeln(‘sumando 1/’,(p-1));
b1:=b1+(1/(p-1));
end;
pant:=p;
writeln(p);
end;
writeln(b1);
end.
Más pruebas con mi programa.
Encontré más listas de números primos aquí http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/primos-listas.html
En total hay 78498 primos hasta el 100000
El resultado del cálculo con todos esos primos me da: 8.33144000981119E-001
Buenas
Hace un tiempo realice un pequeño programita en python para probar la ejecucion multinucleo y tengo calculados todos los primos hasta el 10.124.999.981 por si a alguien le interesa, los tengo en archivos txt.
Hola me interesa tener esa lista,por favor si me podrías enviar a mi correo: xces18@gmail.com te lo agradezco de antemano.
anv, supongo que en tu tercera frase hay una errata:
«En total hay 78498 primos hasta el 100000»
JJGJJG, he calculado la diferencia entre (1/n+1/(n+2)) y 2/(n+1), que es 2/n/(n+1)/(n+2) para todos los primos dobles que tengo (hasta 15485863, son 86027). A continuación está el resultado de su suma, los he sumado por separado porque los valores que dan son muy pequeños y podrían perderse en errores de redondeo. En la primera columna están los números entre los que busco los primos dobles, en la segunda la suma de 2/n/(n+1)/(n+2) para cada uno de ellos y en la tercera el acumulado con toda la precisión que tengo. La primera fila significa que busco entre 1 y 9, (los… Lee más »
Gracias Mmonchi. Este es el método que utilicé desde el principio para determinar el valor de B1 aunque yo solo había utilizado los primos hasta un millón.
Necesitaba que alguien realizara el mismo cálculo para asegurarme de que no había cometido errores.
Ahora ya podemos asegurar con fundados motivos que
B1 = 0,928835827131…
Diamond, te sugiero que actualices el post para reflejar en él el último valor estimado de la constante B1 ya que el aproximado que ahora figura en tamaño resaltado es bastante menos preciso y fue una primera estimación que ya está superada.
anv, yo los bajo de aquí:
http://primes.utm.edu/lists/small/millions/
Tienes los primeros 50 000 000 primos, hasta el 982 451 653.
Quarkbite, si me dices como bajarlos me interesaría. Gracias.
son 10125 archivos txt, en el el primero esta todos los primos hasta 1000000 en el segundo todos los primos desde 1000000 hasta 2000000 y asi sucesivamente.
sin comprimir son unos 5Gb, los he comprimido en un rar de 900mg que lo he subido a mega.
https://mega.co.nz/#!shVgRCoI!0vBvGR6j9ryERtIUEGI2L1k2Lt-44Ig3y2gEg5kfSNE
[…] La constante “entre primos gemelos”, en Gaussianos. […]
Darse cuenta que el número que esta entre los primos gemelos es un múltiplo de 6, si uno de ellos es mayor a 6
entre 5 y 7, 6
entre 11 y 13, 12
entre 17 y 19, 18
de hecho, todo primo mayor que 5 tiene un múltiplo de 6 antes o después de él.
http://torrentproject.com/0f47ece8de817798b14f16e378acddabab9e7efa/
Holas… Datos interesantes que analizan, aunque no cmprendo muy bien su utilidad. ○ Lo que puedo aportar sobre primos gemelos es que solo hay 3 pares de «Primos de Origen» que son primos gemelos y de estos se generan todos los demas primos gemelos habidos y por haber. ○ Para los que no sepan sobre los Primos Origen, les dire, que son unos unos cuantos numeros especiales de los que se originan Todos los numeros primos habidos y por haber. ○ Con mi descubrimiento sobre la organizacion de los numeros primos, este tema de los primos gemelos que no los… Lee más »
Víctor: si fuera fácil generar números primos sin tablas, estaríamos en un grave problema, porque toda la seguridad en las comunicaciones modernas se nada en la premisa de que no hay forma fácil de crear números primos. Imagina los robos de datos o falsificación de transacciones financieras. Sin contar con que en algunos países la firma digital tiene el mismo valor legal que una de puño y letra. Imagina contratos firmados con firmas falsas.
Holas ANV: No creo que sea para tanto eso de la seguridad, pues supongo que usan numeros primos grandes. Mi algoritmo como dije genera en mi ordenador de 32 bits numeros primos validos y ordenados hasta 15 digitos, ya que despues hay falla en los calculos por esto de las variables. La generacion de numeros primos lo hace con solo los que he denominado «Primos Origen» ya que de estos se originan todos los numeros primos, lo cual pareciera que serian una especie de multiplos de los primos origen y algo de esto se da ya que desde un primo… Lee más »
Víctor, mientras no digas cuáles son esos «primos origen» y como se calculan los sucesivos primos partiendo de ellos resulta muy difícil creer lo que dices. Yo soy un mero informático aficionado a teoría de números desde hace un par de años y todo lo que he leído al respecto difiere mucho de lo que comentas. Publicaste un comentario, aquí en gaussianos, sobre tus primos origen en diciembre del 2013 y ya comentas en él : «Disculpas si no indico cuales son los primos origen y como generan a los números base (casi primos), es algo realmente simple y lo… Lee más »
Víctor… Yo no soy matemático pero sospecho que si existiera una manera de «calcular» los números primos eso significaría que serían predecibles, y justamente loa cifrados asimétricos se basan en que son impredecibles.
Holas… ◘ QuarkBite comprendo tu posicion y escepticismo, no eres el unico en pensar asi ya que al afirmar que todos los numeros primos se originan de unos cuantos primos de origen, serian como multiplos y la mayoria lo entiende asi. Sucede algo parecido, ya que se generan «Numeros Base» donde unos seran primos y otros no, por ser multiplos de primos anteriores. Cada primo origen forma de esta manera un «Grupo Origen» donde los numeros base no primos son multiplos de primos de todos los grupos origen. Esta organizacion es muy diferente a como los ven y estudian a… Lee más »
Creo que entendí su comentario ya que en un principio también me di cuenta de esto pero llegue a un punto en el que me fue imposible continuar. Se pueden calcular números primos partiendo de algún numero primo anterior en función de la raíz cuadrada del numero primo precedente más un diferencial pero no conseguí solventar el problema de los huecos aleatorios. Ahora que lo comentas tal vez el problema de los huecos se pueda resolver seleccionando ciertos números primos. Veo muy difícil lo que comentas pero no imposible, espero ver tu publicación.
Victor: Pues si finalmente se confirma que has encontrado una manera de calcular números primos de una manera rápida y sencilla, desde ya te anticipo que dejarás obsoletos a los principales sistemas de cifrado y firma electrónica. Y la verdad sería un problema MUY grave. Si tienes los conocimientos de matemática suficintes para formular una teoría así sobre los números primos yo creo que podrás buscar alguna de las explicaciones que hay en internet sobre cifrados asimétricos y entenderlo sin problemas. Así te harás una idea de lo grave que puede ser si se comprobara que los números primos no… Lee más »
he editado mi anterior comentario pero parece que no se guardo. ANV: no te preocupes por el cifrado ya que se está trabajando en sistemas que son imposibles de revertir ya que aunque no se solucione el problema de los primos el cifrado quedara obsoleto en el momento en que algún país tenga un ordenador cuántico funcional y a la vista que google tiene uno, aunque no sea funcional, será cuestión de unos años que con los nuevos materiales se construya uno verdaderamente potente. Por este motivo se trabajan en funciones criptográficas basadas en procesos físicos naturales, como la función… Lee más »
Victor Luis, no acabo de entender tu programa porque no sé los valores iniciales de CTC, VPO(n, n), FMG, NUPO ni el de n, pero a simple vista no me parece más eficiente que los algoritmos basados en la criba de Eratóstenes. Si pudieras indicar con qué valores funciona el sistema podría compararlo con el que se usa habitualmente y evaluarlo. Lo de usar tablas de primos es porque es más fácil generarlos una vez y trabajar a partir de una lista que ejecutar el mismo programa una y otra vez. Por ejemplo, buscar primos dobles en una lista de… Lee más »
Quarkbite: lo de los ordenadores cuánticos es algo de lo que se habla mucho pero se consigue poco. La verdad yo todavía no he podido encontrar una explicación clara de cómo se supone que funcionan e incluso en cosas que sí están más claras como los cifrados cuánticos, ya se ha visto que en la vida real no resultan más seguros que los cifrados tradicionales. De hecho, el cifrado cuántico no es que añada secretismo sino que supuestamente se puede detectar si el mensaje ha sido interceptado, aunque en la práctica se ha demostrado que es posible burlarlo. Sobre cifrados… Lee más »
De todas manera ANV, el calcular números primos instantáneamente con una función no implica la ruptura de la seguridad de las claves asimétricas pues estas se fundamenta en el problema de factorización de un numero y no de si es primo o no. Este problema seguirá estando intacto pues seguiremos teniendo que probar con todos los números primos menores que la raíz cuadrada de dicho numero para comprobar si es divisible o no por ese primo.
¿ Cómo llamamos a esta constante? ¿ Constante de JJGJJG? ….Pués la verdad, no suena bien. Sería bueno que JJGJJ revelara su identidad.
¿ Cómo llamamos a a esta constante? ¿ Constante de JJGJJG? ….Pués la verdad, no suena bien. Sería bueno que JJGJJ revelara su identidad.
Holas Mmonchi… Respondiendo a tu consulta, ya que este hilo es sobre «Primos Gemelos», bueno CTC es el Limite hasta donde se quiere generar numeros primos por ejemplo 50.000.000. Como mencione de estos numeros naturales solo se toman como posibles primos casi el 25%, donde con total seguridad el resto son compuestos. El el array VPO() estan los primos origen y sus relaciones para cada grupo origen, estos datos y de las variables no te las puedo indicar, por ahora, hasta registrar mi autoria y publicar mi investigacion para que sea de dominio publico. Espero comprendas. ○ Sobre la comparacion… Lee más »
Víctor: quizás deberías usar una biblioteca de aritmética de precisión arbitraria. Eso te permitirá independizarte de la cantidad de dígitos. Obviamente es mas lento pero por suerte cada vez es mas común tener procesadores muy potentes y de muchos núcleos.
Con respecto a tu forma de obtener números primos, espero que pronto pueda ver en las noticias tu trabajo publicado. Si es tal como dices, seguro que causará mucho revuelo. Hace siglos que se viene buscando algún a lógica en lis números primos, que de cerca parecen aleatorios pero vistos en conjunto parecen seguir algún patrón.
Holas ANV… Gracias por la sugerencia de usar biblioteca, aunque no tengo claro esa parte ya que mis desarrollos y analisis los hago en VBAExcel y ahora aplicare Delphi porque la capacidad de sus variables son mayores a los de Visual Basic. Ya estoy llegando a los 21 digitos, reduciendo el numero a determinar a 15 digitos, donde los calculos son confiables, como todo esta friamente calculado en los numeros primos, funciona este metodo y ademas encontre 2 formas mas para determinar si es multiplo de uno de los primos, en base a su Factor Multiplo Global como lo llamo.… Lee más »
Víctor: si se te da buen la matemática estoy seguro de que no te costará nada aprender cualquier lenguaje de programación, por ejemplo el C. Busca en google y encontrarás bibliotecas gratis (bajo LGPL) que te permitirán olvidarte del límite de los 32 o 64 bits.
Gracias ANV… Tu sugerencia es oportuna, ya estoy bajando informacion para actualizarme; pero mi fuerte es Visual basic y Delphi, aunque Java y C++ son mas optimos, tan solo pude codificar mi algoritmo de tamiz en C. Comentar que tengo un amigo de España que tiene una pagina sobre algoritmos de primalidad, el cual me ha orientado muchisimo, ya que no sabia lo que tenia, a que categoria correspondia mis algoritmos, lo importante de la complejidad asintotica con el cual se determina la eficacia de un algoritmo y vastante informacion sobre los avances matematicos en estos 200 años de misterio… Lee más »
Victor solo un par de preguntas mas, la ansia me corroe, ¿podrias decirnos cuantos primos origen has identificado? y otra cosa, ¿podrias factorizar este numero?.
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Victor Luis, para convencer al mundo «cerrado, preciso y exacto de los matematicos» no vale con calcular un número primo muy grande. Tienes que demostrar matemáticamente que tu descubrimiento es correcto. Con un ejemplo no hacemos nada.
Holas… QuarkBite, el numero que pusiste es de 212 digitos y es valido ya que corresponde a un grupo origen, el cual puede ser un multiplo o un primo. Los factores duros para este numero tendran como maximo entre 70 a 80 digitos; pero como mencione y bien me orientaba ANV, las variables en mi equipo realizan calculos confiables hasta 15 digitos y estoy analizando la sugerencia de ANV de implementar librerias, aunque no lo veo tan practico y prefiero codificar en Delphi. Este numero primero determinaria su primalidad con uno de los primeros algoritmos; pero tardaria dias, es por… Lee más »
Holas compañeros Gaussianistas… Queria sugerir, que abran otro hilo para debatir y compartir conocimientos e ideas sobre los Numeros Primos, ya que este hilo trata sobre Primos Gemelos y estamos llevando el tema original a otro campo. QuarkBite… revise mi anterior algoritmo; pero solo llega hasta factores de 15 digitos y no creo que estos sean asi, del numero que publicaste. De todas maneras, ya lo tengo guardado y sera una de las primeras metas por alcanzar con mi nuevo desarrollo. Por otra parte si pones un numero digamos de 500 digitos donde el primer factor no pase de los… Lee más »
Víctor: insisto, delphi no te solucionará el problema de los números grandes. Sólo lograras tal vez trabajar en 64 bits en lugar de 32, pero eso no hace más que postergar el problema. Existen bibliotecas ya hechas justamente para esa función. Sólo tienes que descargar una y leer el manual para saber usarla.
Una sugerencia a todas esas personas que se esmeran en calcular valores de sumas…
Recuerdo que cuando hice la asignatura de métodos numéricos el profesor nos dijo, y demostró, que cuando se trabaja en aritmética finita ( por ejemplo el protocolo IEEE que usan los ordenadores para representar números ) la MEJOR FORMA de sumar un conjunto de números positivos es hacerlo de menor a mayor; así se reduce el error relativo.
JJGJJG, DiAmOnD, ahora la constante está en la OEIS, ver aquí.