El estudio de los primos gemelos ha sido un tema recurrente desde, que se sepa, la época de Euclides (siglo III a.C.), pero el tiempo transcurrido desde entonces no implica que conozcamos todo lo que se puede conocer sobre ello. De hecho, la mayoría de los resultados relacionados con los primos gemelos que se conocen son en realidad conjeturas (esto es, enunciados que se creen ciertos pero que no están ni demostrados ni refutados)

Después de todo este tiempo uno podría pensar que ya no se podrían encontrar cuestiones interesantes relacionadas con los primos gemelos que no se hayan estudiado hasta ahora, pero nada más lejos de la realidad. Y hoy vamos a comentar una de ellas.

Comencemos comentando qué son los primos gemelos, por si alguien todavía no lo sabe. Se dice que dos números primos son primos gemelos si están a dos unidades de distancia. Por ejemplo, las parejas (3,5), (11,13) y (17,19) son parejas de primos gemelos (son primos y en cada caso están a dos unidades de distancia).

¿Qué sabemos sobre los primos gemelos? Pues, como decía antes, casi todo estudiado sobre los primos gemelos son conjeturas (en Twin Prime en la Wikipedia en inglés y en Twin Primes en MathWorld tenéis unas cuantas), pero la más importante es la que trata sobre la infinitud de las parejas de primos gemelos:

Conjetura de los primos gemelos:

Existen infinitas parejas de primos gemelos.

A día de hoy este enunciado, como decía, sigue siendo una conjetura: no se sabe si hay infinitas parejas de este tipo o no.

Otra de las cuestiones interesantes relacionadas con los primos gemelos, y que además nos sigue dejando con la duda sobre su infinitud, está relacionada con la suma de los inversos de dichos primos gemelos. Es decir, con esta suma (siendo \mathbb{P} el conjunto de los números primos):

\displaystyle{\sum_{p,p+2 \in \mathbb{P}} \left ( \cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{p+2} \right )= \left ( \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5} \right ) +\left ( \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7} \right )+\left ( \cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{13} \right )+\left ( \cfrac{1}{17}+\cfrac{1}{19} \right )+\cdots}

Imaginemos que conseguimos demostrar que dicha suma es infinita. Si fuera así, dicho resultado implicaría automáticamente que hay infinitas parejas de primos gemelos (ya que si hubiera un número finito de ellas, la suma de sus inversos nunca podría ser infinita). Pero…nuestro gozo en un pozo: esa suma es finita. El valor de la misma se conoce como constante de Brun, en honor de Viggo Brun, que fue quien demostró su convergencia. Se suele denotar por B_2 (por lo de que los primos están a distancia 2) y su valor aproximado es:

B_2=\left ( \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5} \right ) +\left ( \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7} \right )+\left ( \cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{13} \right )+\left ( \cfrac{1}{17}+\cfrac{1}{19} \right )+\cdots=1.902160583104 \ldots

Se conocen otras constantes de este estilo y algunos otros resultados relacionados con ellas, algunos de los cuales podéis verlos en Brun’s constant en la Wikipedia en inglés.

Pero hay un detalle relacionado con los primos gemelos en el que parece que nadie había reparado hasta ahora. Concretamente en una constante relacionada con ellos de la cual no he encontrado ningún tipo de información. Y tuvo que ser nuestro gran comentarista JJGJJG quien la encontrara. Hace unos días, en este comentario del post Números primos gemelos y demás familia, JJGJJG nos decía lo siguiente:

Es decir, lo que estudió fue cómo es la suma de los inversos de los números que quedan entre cada pareja de números primos. Si llamamos a dicha suma B_1 (por estar cada uno a distancia 1 de cada uno de los primos gemelos de «su pareja»), nos quedaría lo siguiente:

B_1=\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{12}+\cfrac{1}{18}+\cfrac{1}{30}+\cfrac{1}{42}+\cdots

La pregunta que debe venir ahora es evidente: ¿es dicha suma convergente?. Pues la respuesta es , y de hecho es sencillo comprobarlo utilizando la convergencia de la constante de Brun B_2. Veámoslo:

Tenemos que la constante de Brun

B_2=\left ( \cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5} \right ) +\left ( \cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{7} \right )+\left ( \cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{13} \right )+\left ( \cfrac{1}{17}+\cfrac{1}{19} \right )+\cdots

es convergente. Ahora, la serie

\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{11}+\cfrac{1}{17}+\cdots

cumple que su término general es menor (término a término) que el término general de la serie que determina la constante de Brun (hemos elegido solamente uno de los sumandos de cada pareja de fracciones que generan las parejas de primos gemelos). Por tanto, dicha serie también es convergente (por serlo la de Brun).

Ahora, nuestra serie, la de los inversos de los números naturales situados entre cada pareja de primos gemelos,

\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{12}+\cfrac{1}{18}+\cdots

cumple que término a término es menor que la anterior. Por tanto, nuestra serie es convergente.

Sobre el valor aproximado de dicha constante B_1, el propio JJGJJG calculó la suma de los 200 primeros términos, obteniendo el siguiente resultado aproximado:

B_1=0.9288359558 \ldots

Podría ser interesante que si alguien tiene un rato intentara avanzar más en el número de términos para obtener cada vez mejores aproximaciones de B_1. Si lo hacéis os agradeceremos que dejéis un comentario con vuestros resultados y, si es posible, el método utilizado para realizar dicha suma.


Esta entrada es la segunda aportación de Gaussianos a la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene a Mago Moebius como anfitrión.

Print Friendly, PDF & Email