Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:
Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.
Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radrio también R:
Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:
- Cilindro: circunferencia de radio R.
- Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente figura
y usando el teorema de Pitágoras tenemos que
.
- Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos ver aquí
el radio es d.
Por tanto tenemos:
Sección cilindro=
Las secciones de cada figura son como rebanadas de las figuras:
Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parace bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:
Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono
Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:
Por tanto:
De donde multiplicando por 2 obtenemos el volumen de una esfera de radio R:
Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:
Fuente: Ciencia Fácil
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Simplemente genial cómo lo calculó. Una maravilla.
Genial el tal Arquímedes y la manera tan sencilla como usted lo plantea, mis alumnos de Geometría quedaron asombrados ya que no conocen el Cálculo y no encontraban la demostración
Que maravilla!
Buen artículo, aunque sólo faltó especificar en los detalles de la deducción, que la suma de las áreas o de los volúmenes de la semiesfera y del cono corresponden a un cilindro circunscrito (donde solo cabe la esfera), ya que no se daría para todo tipo de cilindros con h (altura) distinta de R. Un saludo.
Impresionante post e impresionante deducción.
Dicen que un genio no es una persona que encuentra algo que ha estado oculto, sino una persona que encuentra lo evidente, que todos hemos tenido delante, pero no nos hemos sabido dar cuenta.
Encaja aquí perfectamente.
Salud!
Notable demostración, elegantísima.
Saludos!
Yo creo q las matemáticas son muy difíciles y me voy hacer mochilero y drogadicto
Todo un maestro el señor Arquimedes, nada mas que decir
¿cómo conocía el volumen del cono?
No parece evidente que sea justo la tercera parte del volumen del cilindro.
¿alguien puede darme una demostración elemental?
Hola, así lo encontró de hecho uso una balanza imaginaria para «pesar» los solidos. La demostración es distinta y tuvo que usar 11 proposiciones para llegar a ella, con barias contrucciones auxiliares…muy lindo el texto. Saludos!
Varias.
El volumen del cono se considera como una pirámide de infinitos lados. Mientras aumenten los lados de la pirámide se llegará al límite del perímetro de las bases, o sea, la longitud de la circunferencia; asimismo la altura de los triángulos de la pirámide tiende a el lado del cono. Recordemos que una pirámide triangular (tetraedro) es la tercera parte de un prisma triangular. Todo prisma se puede descomponer en tetraedros uniendo sus vértices; después sacas el factor común que será la altura, y te quedará que la suma de las bases de los tetraedros es igual a la de… Lee más »
Joer con Arquímedes, aquí nos parece elegante, bonito y simple… pero pensad que él no usaba esa notación, las variables no existían y la mejor aproximación de PI que se conocía (aportada por él) sólo tenía 2 decimales exactos.
Todo un genio, sin duda… ¿dónde habría llegado con todas las herramientas que poseemos ahora?
La verdad que la demostración es preciosa.
Mimetist por eso mismo creo que la demostración es tan elegante.
Una vez escuche que Dios se expresa con las matemáticas, si esto es cierto, entonces Arquimides es uno de sus apostoles…..
Asier el caso es que yo también lo pensé, pero después de publicar el post. En esta página le atribuyen el descubrimiento de esa fórmula a Demócrito, pero no he podido encontrar más información acerca de este hecho.
Y es cierto, no parece muy intuitivo el tema. Con las herramientas que tenemos ahora es sencillo calcularla (por ejemplo mediante integrales) pero con lo que ellos tenían en aquellos tiempos no parece fácil. Si alguien sabe algo sobre el tema que lo comente.
Arquímedes dice en el prólogo de «El Método» que Demócrito descubrió que el volumen de la pirámide y del cono es un tercio de la base por la altura y que Eudoxo lo demostró por primera vez. Las demostraciónes de Eudoxo son quizá las que aparecen en las proposiciones XII.7 y XII.10 de los «Elementos» de Euclides. Deberían ser elementales 🙂
Felices fiestas.
demostre que el volumen de la piramide es 1/3abh, solo hay que seccionar la piramide en cuatro, cortando por dos planos verticales paralelos a los lados de la base y altura y que pasen por el vertice ( planos x-z y y-z) se reordenan 3 de las 4 partes seccionadas para formar un prisma de base a/2 y b/2 y altura la de la piramide que es h.si el volumen del prisma asi construido es (a/2).(b/2).h, el volumen de cada sección es 1/3.(a/2).(b/2).h= a.b.h/12, como la piramide la forman 4 secciones, entonces Volumen de la piramide es 1/3abh saludos (… Lee más »
a ver esta…
¿alguien sabe porque el volumen de la esfera es la integral indefinida de su superficie?
es muy bueno lo que tratan de enseñar mediante esta pajina
estupefacto por la ingeniosidad del procedimiento con tan pocas herramientas para el trabajo matematico para calcular el VOLUMEN DE LA ESFERA.
ALGUIEN PODRIA AYUDARME A DETERMINAR SIEN LA LITERATURA SUMERIA, HAY EVIDENCIAS CONSISTENTES DE INVESTIGACIONES MATEMATICAS… QUE SE SEPA ES LA CULTURA MAS ANTIGUA DE TODA LA HUMANIDAD… Y SI HAY ELEMENTOS DE INVWESTIGACION EN TORNO A PI…
MUCHAS GRACIAS ESTE BLOG ES BERRACO
Cesar: Los sumerios sí tenían matemáticas pero siempre manejaron conceptos prácticos (aplicables a su vida diaria) careciendo de las idealizaciones griegas, por lo que sus «investigaciones matemáticas» carecen de la suficiente rigurosidad. Sus descendientes culturales (caldeos) siempre fueron famosos por sus conocimientos en astrología (astrología antigua = astrología moderna + astronomía), hasta el punto que las palabras «caldeo», «mago» y «astrónomo» eran sinónimos en las culturas antiguas (reyes magos = reyes caldeos = reyes astrónomos). En cuanto a pi, sus descendientes culturales (entre quienes se incluyen los asirios, los babilónicos y los hebreos bíblicos)usaban el 3, por lo que no… Lee más »
Nexus7 conceptualmente puede que no haya muchas diferencias, pero sí es cierto que en lo que respecta al uso de cada una de ellas sí las hay. Además en estos tiempos nos hemos acostumbrado tanto al cálculo que nos cuesta mucho usar las ideas de la geometría para muchas cosas. Por eso las demostraciones puramente geométricas son mucho más bonitas pero mucho más difíciles de entender para mucha gente.
interesante forma la verdad, ese dia se le prendio el foquito ^^, no pero si notable hombre.
uhmm aver alguien me podria decir como medir el rapdio de una pelota de tenis sin utilizar instrumentos medibles
Por favor si me pueden ayudar: necesito hacer una varilla de medición de litros de un recipiente cilíndrico que tiene en sus dos extremos casquetes esféricos.Las medidas son: Radio 0,90 metros altura cilindro (sin los casquetes): 1,04 metros y altura de cada casquete (flecha) 0,425 mt. Cual es la fórmula?
Muchas gracias por su ayuda.
¿Es para un problema real (existe ese recipiente) o teórico (un problema de clase que te ha puesto el profesor)? Es que si mal no recuerdo, no existe tal fórmula para el volumen del casquete porque no se puede despejar la altura, y eso es precisamente lo que tú pides. Si es para un problema de clase: yo no puedo ayudarte (y creo que nadie podrá hacerlo) de la forma que tú quieres pues la respuesta no pasa por una fórmula matemática sino que consiste en una graficación para los casquetes (la fórmula del cilindro es Volumen=PI·(0,9)^2·altura, y despejando la… Lee más »
entre la formula geometrica para una esfera y el metodo de arquimides cual es mas exacto
Fernando: respecto a tu pregunta de porque el volumen de la esfera es la integral (no la indefinida, eso es por mera coincidencia, ya que la variable que se usa en ambas es la misma, el radio R) de su superdicie: Recordemos que una integral es una suma. Por lo que, usando este concepto, imaginate una esfera como si se tratara de una cebolla, constituida por muchas «cascaras» una inmediatamente despues de la otra, de forma que los espesores de todas esas capas sumaran R (el radio de la esfera). Pues bien, ahora imaginate que esas capas tienen un espesor… Lee más »
ME PARECE GENIAL LA IDEA DE EXPLICARLO CON EL DIBUJO ASI ME ES MAS FACIL COMPRENDERLO LOS FELICITO.
Porque una esfera se puede dividir en infinitas partes circulares proporcionales al área de su superficie
[…] Un bonito ejemplo de como deducir de manera sencilla el área de una esfera es el siguiente. Sabemos que el volumen de una esfera es $$V_S=frac{3}{4}pi R^3,$$ quien tenga dudas que vea la demostración de Arquímedes que expuso gaussianos, El volumen de la esfera. […]
muy bueno pero ahora quien le paga a arquímedes los derechos de autor, por ese descubrimiento o a sus herederos, que todos usámos en todos los cáculos, jajaja, si la época fuera la actúal se hubiera llenado de plata y para navegar usaríamos troncos de árboles por no pagar, jajaja
Los chinos calcularon pi con gran aproximacion, bastantes numerous despues de coma y elegancia instuitiva.
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80
Oh,… y gracias por este blog tan consistente,…
Mario: Hace varios años tuve el mismo problema. En mi caso era un antiguo carro tanque de ferrocarril utilizado para almacenar combustible diésel. No encontré fórmulas ni nadie que me ayudara. Quería saber, centímetro a centímetro, cuánto fluido había en ese tanque. Logré hacerlo con papel milimétrico, dibujando en tamaño real la sección del tanque (Solo la mitad, pues obviamente la otra parte es igual pero invertida) figuré filetes de un cm. por el ancho de la sección correspondiente y la pequeña parte curvada resultó ser un valor constante que luego distribuí en cada capa. Los casquetes del tanque los… Lee más »
Jorge Salazar:
Tal vez hubiera resultado mas sencillo ir llenando con volumen de liquido conocido y marcando la altura que iba alcanzando en la varilla. Usando la experimentación directa.
Tambien se llama usar los sesos.
La razón de volúmenes entre una esfera y una de las seis pirámides incritas en el cubo circuncrito es igual a Pi.
<>
También se estudia gramática, para saber dónde poner comas.
Increíble como logró la formula de la esfera partiendo de la relacion de el cono y el cilindro es un gran genio
Al fin encontre lo que buscaba. Que delicia de explicacion, simplemente exquisita. Un genio total.
Gracias por la presentación.
Creo q s puede rematar la demostración, aclarando el paso de áreas a volúmenes:
Si en la fórmula:
Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono
Multiplicamos los dos términos por una altura pequeña, h, tenemos volúmenes.
El cálculo de las tres secciones: en la semiesfera, en el cono y en el cilindro, se entiende perfectamente, resultando:
Sección cilindro=Sección semiesfera+Sección cono
Ahora el aserto que sigue al condicional «Si para cada rebanada se tiene la relación anterior»…parace bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación.
Yo no lo veo evidente. Hay algo que se escapa en el «parece bastante claro…» que escribe Miguel Ángel Morales Medina. Habría que leer el texto original para ver cómo Arquímedes justificaba la «evidencia».
Felicitaciones por el blog
Mi pregunta es la siguiente: Arquimedes probaba diferentes combinaciones geométricas para tratar de llegar al resultado o utilizaba alguna metodologia geométrica-analítica para llegar a un resultado
a simpele vista solo se puede afirmar que la suma de las superficies se cumple en los extremos de la semiesfera y la piramide, se puede concluir que esta igualdad es valida para el resto de los planos?
No deja de maravillarme e intrigarme una y vez este descubrimiento, que mente tan genial.
Hola! Qué tal? Muy interesante el blog, te felicito. No sé si alguien lo habrá mencionado ya, pero me gustaría señalarte una aclaración que estaría faltando, que es que el cilindro y cono que usó evidentemente eran ambos de altura R, por consiguiente esas no son las fórmulas generales para cuerpos de altura variable, sino que aplican únicamente a este caso. Es algo menor, pero bueno. Saludos!
no entiendo
por que no aparece la explicacion de por que 4/3 aparece para calcular el volumen de una esfera
no entiendo soy de sexto y ya me están dejando tareas así
Enhorabuena y gracias por el Blog Miguel Ángel.
Tengo una duda con respecto a la demostración de Arquímedes, encuentro por internet la demostración que utilizó en el «Método» y es más complicada de entender, por ejemplo en:
http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-archimedes3
o la misma en :
https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/archimedes-method-for-computing-areas-and-volumes-cylinders-cones-and-spheres
Entonces me pregunto, la demostración del Blog ¿es una simplificación de la original? o ¿es otra que también mostró Arquímedes?
Saludos
NEWTON EN SU ENSAYO ESCRITO A SUS 33 AÑOS DEJO MUY CLARO AL MOMENTO DE HABLAR SOBRE EL VOLUMEN DE UNA ESFERA DE MAS DE 120 CM DE DIAMETRO QUE ES UN CAGON DE MIERDA
Una visualización usando geogebra: https://www.geogebra.org/m/yjc2ef5e
hola, una pregunta como se saca que la seccion del cono tiene de radio a «d»
Es consecuencia directa del hecho de que, inicialmente, el radio y la altura del cono son iguales.