La circunferencia de Feuerbach

Dos puntos cualesquiera del plano determinan una única recta. Eso lo sabemos desde el colegio. Y también sabemos que tres puntos que no estén alineados determinan una única circunferencia. Vamos a buscar tres puntos:

Dibujamos un triángulo cualquiera y marcamos los puntos medios de cada uno de los lados:

Por lo que hemos dicho antes, como estos tres puntos no están alineados seguro que existe una única circunferencia que pasa por ellos. Eso no es ninguna sorpresa. Lo interesante del asunto comienza ahora:

Dibujamos las tres alturas del triángulo, es decir, trazamos un segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto. Marcamos los puntos de corte en cada uno de los lados:

Pues curiosamente se cumple que esos tres puntos de corte con los lados también están en la misma circunferencia que los tres anteriores. Es decir, si trazamos la circunferencia que pasa por los tres primeros puntos y la que pasa por los tres que acabamos de calcular ahora resulta que son exactamente la misma.

Hemos visto que el hecho de que tres puntos cualesquiera pertenezcan a una circunferencia es evidente, pero que seis puntos cumplan esa condición comienza a ser muy interesante. Pero todavía hay más:

Las tres alturas se cortan en un punto que se llama ortocentro. Si ahora señalamos los puntos medios entre el ortocentro y cada uno de los vértices obtenemos tres nuevos puntos:

Como podemos ver en la figura estos tres nuevos puntos también pertenecen a la circunferencia que pasaba por los seis anteriores. Impresionante. Nueve puntos calculados a partir de un triángulo acaban perteneciendo a la misma circunferencia. Esta circunferencia se conoce como circunferencia de Feuerbach o como circunferencia de los nueve puntos.

Pero aún hay más: ¿cuál será el centro de esa circunferencia?

Si trazamos las mediatrices de cada uno de los lados (la mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio) nos encontramos con que las tres rectas se cortan también en un único punto, llamado circuncentro. Pues sorprendentemente el centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio del segmento que une el ortocentro que calculamos anteriormente (punto M) con el circuncentro (punto Q):

En este enlace podéis ver la demostración de un resultado del que se deduce el de la circunferencia de los nueve puntos.

Fuentes:

• Math Fun Facts
• Tío Petros