En Gaussianos ya hemos hablado unas cuantas veces de Leonhard Euler (véanse, por ejemplo, la identidad de Euler y el problema de Basilea). Es uno de los matemáticos más grandes de la historia, y el que más publicaciones matemáticas tiene a su nombre. Se interesó por muchas de las ramas de las matemáticas y realizó aportaciones a muchas de ellas. Pero todo esto no le da fiabilidad total. Veamos cómo los genios también se equivocan.
Esta conjetura de Euler está inspirada en el último teorema de Fermat. Este resultado dice que xn+yn=zn no tiene soluciones enteras positivas cuando n > 2. El resultado que Euler propuso en 1769 puede formularse de la siguiente forma:
No existen n-1 números tal que sus potencias n-ésimas suman otra potencia n-ésima
Esta afirmación dice que, por ejemplo, las siguientes ecuaciones no tienen soluciones enteras positivas:
a4+b4+c4=d4
a5+b5+c5+d5=e5
La relación con el último teorema de Fermat se ve claramente…pero a diferencia de éste la conjetura es falsa. En 1966 Lander y Parkin encontraron el siguiente contraejemplo:
275+845+1105+1335=1445
Es decir, la conjetura es falsa ya que hemos encontrado un contraejemplo para un cierto n, n=5 concretamente. Pero podría ser cierta para n=4. En 1986 Noam Elkies se encargó de refutar la conjetura también para este n encontrando el siguiente contraejemplo mediante un método construido por él mismo:
26824404+153656394+187967604=206156734
En 1988 Roger Frye, usando las técnicas sugeridas por Elkies, encontró el contraejemplo más pequeño para n=4:
958004+2175194+4145604=4224814
En esta página se publican los ejemplos que van encontrando que cumplen alguna de las ecuaciones de este tipo. En esta sección podéis ver algunos. Son los que tienen delante un (n,1, n-1).
Por ejemplo, en marzo de 2006 encontraron el siguiente contraejemplo bestial:
224955952840404+75924319813914+272397916926404=299998579386094
Por tanto aquí tenemos otro ejemplo de conjetura que tiempo después acaba resultando falsa (véase la conjetura de Polya).
Fuente: Math is Good For You
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Que tal para n-ésimos números?
Es verdad la conjetura de que no hay números enteros tales?, claro está que para el caso n=2 esto no se cumpliría porque sí existen números enteros 
para el efecto. Así que la pregunta es para n>2…
y así extender la conjetura como lo hizo Euler pero ya vimos que con contraejemplo se prueba su falsedad.
Ahora es evidente hacerse la siguiente conjetura no existen ternas de numeros enteros para n>=4 que sea la misma potencia de otro entero, es decir:
nota: Claro está que estas ideas son para enteros mayores que 1.