…puede pasar cualquier cosa.

Me imagino al señor Norman Gilbreath en un momento de aburrimiento comenzando a escribir números en un papel, cual Ulam en una conferencia. Éste último los dispuso por casualidad en forma de espiral y encontró curiosos patrones marcando los números primos en dicha espiral; Gilbreath colocó los números primos en línea recta y, quién sabe por qué (bueno, algo se sabe, lo veréis más adelante), comenzó a restarlos…¿Qué consiguió?

La conjetura de Gilbreath

Norman Gilbraeth

Pongámonos en situación. Corría el año 1958 cuando Norman Gilbreath presentó a la comunidad matemática su conjetura. Pero antes de exponerla vamos a motivarla un poco.

Supongamos que ponemos en orden unos cuantos números primos consecutivos comenzando por el 2, por ejemplo estos:

2, 3, 5, 7, 11

Restemos ahora cada dos números consecutivos, escribiendo los resultados en valor absoluto:

1, 2, 2, 4

Realizando la misma operación hasta obtener un único número obtenemos la siguiente tabla:

\begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 5 & 7 & 11 \\ \hline 1 & 2 & 2 & 4 & \\ 1 & 0 & 2 & & \\ 1 & 2 & & & \\ 1 & & & & \end{array}

¿Qué tienen en común todas las filas obtenidas? Pues que todas ellas comienzan con el número 1. ¿Casualidad? Probemos con una lista de números más larga, comenzando siempre por el 2:

\begin{array}{cccccccc} 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 \\ \hline 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & & \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & & & \\ 1 & 2 & 0 & 0 & & & & \\ 1 & 2 & 0 & & & & & \\ 1 & 2 & & & & & & \\ 1 & & & & & & & \end{array}

Vaya, igual que antes. ¿Será siempre así? Esto mismo es lo que conjeturó Gilbreath, que si escribimos la sucesión de números primos completa y después construimos las correspondientes sucesiones formadas por el valor absoluto de la resta de cada pareja de números consecutivos, entonces todas esas filas que obtenemos comienzan siempre por 1. En notación matemática podríamos definirla de la siguiente forma:

Conjetura de Gilbreath

Sea \{p_n \}, para n \ge 1, la sucesión ordenada de números primos, y sea

d_n=p_{n+1}-p_n

Para cada k \ge 1, sea

d_n^k=|d_{n+1}^{k-1}-d_n^{k-1}|

La conjetura de Gilbreath asegura que para todo k se tiene que d_1^k=1.

Que es exactamente ampliar al caso general lo que hemos comentado en los casos particulares.

¿Qué se sabe sobre dicha conjetura? Pues además de que Paul Erdös pensaba que era cierta, pero que se tardaría unos 200 años en resolverla…básicamente nada. Bueno, se sabe lo mismo que de otras conjeturas famosas, como la de Goldbach, que se cumple para valores muy grandes (hasta el año 1993 se había comprobado que era cierta para k \le 3,4 \cdot 10^{11}), pero poco más.

¿De dónde salió esta conjetura?

Y ahora la pregunta obligada: de dónde salió una conjetura como ésta? Pues de una de las aspiraciones más antiguas y a la vez más ambiciosas de los matemáticos de toda la historia: encontrar una forma de generar números primos. Vamos a intentar explicar qué tiene que ver esto de la conjetura con generación de números primos.

Para comenzar, es interesante comentar que a Gilbreath le gustaba más su conjetura expresada de otra forma, que vamos a explicar con un ejemplo:

Partimos de la secuencia de números primos 2, 3, 5, 7, 11 y vamos formando filas debajo de ellos obtenidas de restar los valores absolutos de cada número y el de su izquierda. Para estos números la tabla quedaría de la siguiente manera:

\begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 5 & 7 & 11 \\ \hline & 1 & 2 & 2 & 4 \\ & & 1 & 0 & 2 \\ & & & -1 & 2 \\ & & & & 1 \end{array}

Como decíamos antes, el objetivo de Gilbreath era encontrar alguna forma de generar números primos. Para ello comenzó a estudiar las diferencias entre primos como hemos descrito anteriormente, notando que éstas daban normalmente resultado pequeños. Pero también observó que si estudiaba la situación como acabamos de comentar, con las diferencias entre los valores absolutos, los resultados era aún más pequeños. Pero vio un par de cosas más: que si iba guardando los signos entonces podía volver hacia atrás sin problemas y que todas las filas construidas a partir de la primera comenzaban con +1 ó -1 (cada uno de ellos quedando debajo de un número primo si se colocan los números como hemos visto en la última tabla escrita).

Con todo esto Gilbreath aseguraba lo siguiente: si toda fila debajo de la inicial comenzaba con +1 ó -1 y además podía generar el patrón de signos de cada una de ellas, entonces podía generar los números primos. La lástima es que no podía generar dicho patrón de signos, por lo que nuestro gozo en un pozo. Pero no estaba todo perdido, al menos manteníamos una condición necesaria para que un número fuera primo…si la conjetura de Gilbreath es cierta, claro. Es decir:

Si la conjetura de Gilbreath es cierta, entonces se cumple que para que un número entero positivo sea primo es necesario que todas las filas de números obtenidas a partir de la secuencia de primos que acaba en él comiencen por +1 ó -1.

No es mucho, la verdad, pero bueno, no seré yo quien le quite mérito a este tipo de planteamientos o quien pretenda ponerle paredes al avance de las matemáticas restándole importancia a conjeturas como ésta.

Extra: Para quienes os lo estáis preguntado os puedo decir que sí, este Norman Gilbreath es el mismo Norman Gilbreath del principio de Gilbreath de magia con cartas que podéis ver explicado aquí junto con otros trucos.

Fuentes:

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