El próximo viernes 21 de febrero el matemático peruano Harald Helfgott dará una charla sobre la conjetura débil de Goldbach en el ICMAT. El evento se encuadra dentro de la serie de coloquios que organiza el ICMAT junto con la Universidad Autónoma de Madrid.

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado sobre el tema (de hecho el propio Harald Helfgott publicó en este blog un extenso post en el que explicaba las líneas generales de su demostración), creo que es interesante volver a recordar algunos de los detalles más importantes de la historia de este resultado y de otros relacionados con él. Por ello, a continuación podréis encontrar un resumen de esta historia realizado por Javier Cilleruelo (que ya ha colaborado en otras ocasiones en Gaussianos, por ejemplo con este post sobre su resolución del problema de los conjuntos generalizados de Sidon) en el que también se incluyen enlaces a los artículos de Gaussianos que han hablado sobre esta conjetura.

Harald Helfgott y la conjetura débil de Goldbach

En una carta dirigida a Euler y fechada en 1742, Goldbach decía haber observado que “todo número par mayor que 2 es suma de dos primos” y que “todo número impar mayor que 5 es suma de tres primos”.

La sencillez y belleza del primer enunciado lo han convertido en uno de los problemas más codiciados de las matemáticas.

Christian Goldbach a la izquierda y Leonhard Euler a la derecha. En el centro, la carta que envió el primero al segundo.

Conjetura de Goldbach: Todo número par mayor que 2 es suma de dos primos.

La segunda observación de la carta es la conjetura débil de Goldbach (también llamada problema ternario de Goldbach) y ha pasado a la categoría de teorema al haber sido demostrada en tres artículos, de 79 páginas cada uno, por Harald Helfgott, 271 años después de la misiva dirigida a Euler.

Teorema (Harald Helfgott, 2013): todo número impar mayor que 5 es suma de tres primos.

Harald Helfgott es el conferenciante del próximo Colloquium (21 de febrero a las 11:30 en el Aula Naranja del ICMAT) que organizan conjuntamente el ICMAT y el Departamento de Matemáticas de la UAM. Con el título “La conjetura débil de Goldbach”, Harald Helfgott nos contará de primera la mano las estrategias seguidas para la resolución de este problema histórico.

Harald Helfgott (1977, Lima) es investigador CNRS en la École normale supérieure (Paris). Sus intereses matemáticos son tan variados como profundos sus resultados. Ha sido invitado a dar una conferencia en el próximo ICM y ha recibido varios premios por sus contribuciones a la teoría de números, la combinatoria aritmética y la teoría de grupos.

La conjetura de Goldbach

La teoría de números, a la que Gauss denominó “la reina de las matemáticas”, destaca sobre otras áreas de las matemáticas por la sencillez y belleza de sus enunciados. Algunos han sido ya resueltos, como el último Teorema de Fermat, pero otros han resistido a todos los intentos, como la conjetura de Goldbach que hoy nos ocupa.

¿Es cierto que todo par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos primos?

Si probamos a mano con los primeros pares, vemos que efectivamente todos ellos se pueden escribir como suma de dos primos. Además observando la tabla parece que según va creciendo el número par también va aumentando el número de representaciones que tiene como suma de dos primos:

El siguiente argumento heurístico puede convencernos de que la conjetura de Goldbach debería de ser cierta. El Teorema de los números primos afirma que el número de primos menores que N es aproximadamente N \over log(N). Así que si elegimos un impar al azar menor que N, la probabilidad de que sea primo será aproximadamente 2 \over log(N). Por otra parte, cada N par tiene N/4 representaciones como suma de dos enteros impares. La “probabilidad” de que los dos enteros impares involucrados en una representación dada sean primos debería ser 4 \over log^2(N) y el número de representaciones de N como suma de dos primos debería de un orden de magnitud comparable con N \over log^2(N). Por supuesto está muy lejos de ser una demostración (ni ser primo es un suceso aleatorio ni el modelo probabilístico es del todo correcto) pero explica bien el por qué va aumentando el número de representaciones.

La conjetura de Goldbach se ha comprobado numéricamente hasta 4 \cdot 10^{18} (y ha sido utilizado por Harald Helfgott para comprobar la conjetura débil hasta 10^{29}).

Entre las aproximaciones a la conjetura de Goldbach hay que destacar que se ha demostrado que ésta era cierta para casi todos los números pares. Es decir, que aquellos para los que no es cierta ocupan una proporción muy pequeña (que tiende a cero) en la sucesión de todos los números pares.

Otro resultado teórico importante respecto a esta conjetura se debe a Chen Jing-run.

Teorema (Chen Jing-run, 1966): Todo par suficientemente grande se puede escribir como un primo más otro número que es primo o es producto de dos primos.

Quizás el lector se acuerde del libro “El tio Petros y la conjetura de Goldbach”, de Apostolos Doxiadis. Era una lectura entretenida centrada en la obsesión por demostrar esta conjetura. La editorial, como gancho, ofreció un millón de dólares a quien demostrase la conjetura en un plazo de dos años. Nadie lo consiguió, como era previsible, aunque fueron muchos los aficionados que reclamaron el premio con demostraciones erróneas.

La conjetura débil de Goldbach

Se denomina así porque sería una consecuencia sencilla de conjetura de Goldbach. Efectivamente, si la conjetura de Goldbach fuese cierta y n es un número impar mayor que 5, entoncs n-3 es un par mayor que 2, y por tanto sería suma de dos números primos, n-3=p+q. Y en ese caso n=3+p+q, con lo que n es suma de tres números primos.

A principios del siglo XX, Hardy y Littlewood inventaron “el método del círculo” para hallar fórmulas asintóticas para el número de representaciones de un entero como suma de elementos de una sucesión determinada.

Hardy (izquierda) y Littlewood (derecha)

Consiste en expresar dicho número mediante una integral en el intervalo [0,1] y luego calcular esa integral a trocitos, donde los trocitos que más contribuyen y que se denominan “arcos mayores” son aquellos intervalos (muy pequeños) cercanos a racionales de denominador pequeño. No es éste el lugar para explicar con detalle este método, pero de esta manera y asumiendo la Hipótesis Generalizada de Riemann (un conocimiento muy preciso de la distribución de los primos en progresiones aritméticas) Hardy y Littlewood demostraron que la conjetura débil era cierta para todo impar “suficientemente grande”.

En 1937 Vinogradov consiguió una demostración sin necesidad de asumir la Hipótesis Generalizada de Riemann.

Teorema (Vinogradov, 1937): Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos.

En la demostración original de Vinogradov el “suficientemente grande” no era efectivo. Es decir, no se sabía hasta qué impar habría que comprobar la conjetura a mano o de otra manera.

Aunque se consiguió finalmente dar una constante explícita y ésta fue disminuyendo en diferentes trabajos, la constante más pequeña que se había conseguido era 10^{1346}. Así que la conjetura débil de Goldbach quedaría demostrada si se pudiese comprobar que es cierta para todos los impares menores que esa cantidad.

En el artículo de divulgación “La conjetura débil de Goldbach” que el mismo Harald Helfgott ha escrito para la sección “El diablo de los Números” de la Gaceta de la RSME, el autor dice:

Incluso 10^{100} sería demasiado: como 10^{100} es más grande que el producto del número estimado de partículas subatómicas del universo por el número de segundos desde el Big Bang, no habría ninguna esperanza de comprobar cada caso hasta 10^{100} por ordenador (aun asumiendo que uno fuera un dictador alienígena usando el universo entero como una computadora muy altamente paralela).

Harald ha introducido unas innovaciones teóricas en el método del círculo que le han permitido rebajar esa constante hasta 10^{27}. Comprobar la conjetura débil de Goldbach hasta esa cantidad sí que está al alcance de los ordenadores y él, junto con D. Platt, lo han hecho utilizando aritmética de intervalos (la precisión exigida para dar rigurosidad matemática a los cálculos con ordenador).

Termino con una cita de Euler sobre los números primos, al que sin duda también le hubiera gustado conocer la demostración de la conjetura débil de Goldbach:

Los matemáticos han intentado en vano descubrir algún orden en la sucesión de los números primos pero tenemos muchos motivos para creer que hay algunos misterios en los que la mente humana nunca podrá penetrar.

Leonhard Euler, 1770


Para finalizar, agradezco enormemente a Javier Cilleruelo que me haya enviado este texto, que como comenté antes es muy oportuno teniendo en cuenta la visita de Harald Helfgott con ocasión del coloquio que se anuncia al principio de este artículo.

Y también quiero aprovechar esta ocasión para dejarlos enlaces a los artículos relacionados con la conjetura de Goldbach y la conjetura débil de Goldbach que han aparecido en Gaussianos durante estos años:

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