En Matemáticas hay varias constantes, digamos, extrañas que son muy conocidas, como por ejemplo el número pi y el número e. Quien más quien menos las conoce y ha trabajado con ellas. Pero también hay constantes interesantes que no son tan conocidas. En este post vamos a hablar de una de ellas: la constante de Euler-Mascheroni, que se representa con la letra griega gamma: \displaystyle\gamma.

Esta constante se define de la siguiente forma:

\mathbf{\displaystyle\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty }\left(  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \right)}

Es decir, \displaystyle\gamma se define como el límite de la diferencia de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica y el logaritmo neperiano.

Otras formas de definirla son las siguientes:

\displaystyle\gamma=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx=- \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx

Su valor aproximado es: \displaystyle\gamma \simeq 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;607\;\ldots

No se sabe si \displaystyle\gamma es un número racional. Lo que sí se conoce es que si lo fuera su denominador sería mayor que 10242080. Casi nada.

En diciembre del año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales, récord para este número. En esta página podéis ver este récord y descargar un archivo con el número en cuestión. Pero cuidado, ocupa 52 megas. Vía Microsiervos.

Vamos a ver algunas expresiones más en las que aparece \displaystyle\gamma:

Integrales cuyo resultado es \displaystyle\gamma

\displaystyle\gamma=-\int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx \displaystyle\gamma= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx

Integrales que involucran a \displaystyle\gamma

\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}

\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx  = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} (¿os suena ese \displaystyle\frac{\pi^2}{6}?)

Relación con \displaystyle \log{\frac{4}{\pi}}

\displaystyle\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right ) \displaystyle log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) =  \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right)

Relación con la función \displaystyle\Gamma

\displaystyle\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]

Relación con el número e

\displaystyle e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i -1}

siendo p_n el n-ésimo número primo.

El valor de este número es:

\displaystyle e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\ldots

Mezclando las tres constantes

\displaystyle\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n

Como podéis ver la constante de Euler-Mascheroni será poco conocida pero no se le puede achacar que tenga poco protagonismo en Matemáticas. Si queréis ver más expresiones en las que aparece no tenéis más que consultar los enlaces que os dejo abajo.

Fuentes:

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