Seguro que todos recordáis la identidad de Euler:

e^{i \pi}+1=0

Es una relación entre números enormemente bella (para mí la más bella). En este artículo os voy a mostrar otra relación entre ciertos números, debida al profesor Luis J. Boya, que también tiene su aquel. La he bautizado, como no podía ser de otra forma, como la identidad de Boya:

\displaystyle{2 \pi= e^{\gamma} \prod_{n=2}^{\infty} exp \left (\frac{\zeta (n)}{\tbinom{n+1}{2}} \right )} (1)

Antes de demostrarla vamos a enumerar y presentar los elementos que en ella aparecen:

  • 2: el primer número primo y el único primo par.
  • \pi: nuestro conocidísimo amigo, razón entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de la misma (entre otras muchas cosas).
  • e: base del logaritmo neperiano.
  • \gamma: la constante de Euler-Mascheroni.
  • exp: la función exponencial.
  • \zeta (n): la función zeta de Riemann, es decir, \displaystyle{\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}}, con Re(s) > 1 (2).
  • {n+1 \choose 2}: los números triangulares \textstyle{\frac{m(m-1)}{2}}.

Presentados ya todos los elementos vamos a proceder con la demostración. Dicha prueba es en realidad bastante simple y se basa en una fórmula de recursión para n!. Vamos con ella:

Demostración de la identidad de Boya:

Comencemos recordando la fórmula de Stirling:

n! \approx n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2 \pi n}, para n \to \infty

Aplicando logaritmos en ella tenemos que para n \gg 1 se cumple lo siguiente:

log (n!)=n(log (n)-1)+log \sqrt{2 \pi n} + o(1)1 (3)

Vamos a describir ahora una fórmula de recursión para n!. Para empezar tenemos que:

\begin{matrix} log (n!)=log (n)+log (n-1)!= \\ =n log (n) +log (n-1)! -(n-1)log (n)= \\ =n log (n) +R(n) \end{matrix} (4)

donde

R(m):=log (m-1)!-(m-1) log (m)=(m-1) log (\textstyle{\frac{m-1}{m}})+R(m-1) (5)

Utilizando ahora la expansión de log(1+x) en serie de potencias para a=0

log(1+x)=x-\textstyle{\frac{x^2}{2}}+\textstyle{\frac{x^3}{3}}- \ldots (para |x| < 1[/latex] y [latex]x=1[/latex]) tenemos que <p align="center">[latex]\begin{matrix} R(m)=(m-1)(- \textstyle{\frac{1}{m}}-\textstyle{\frac{1}{2m^2}}-\textstyle{\frac{1}{3m^3}}- \ldots)+R(m-1)= \\ =-1+(\textstyle{\frac{1}{m}}-\textstyle{\frac{1}{2m}})+(\textstyle{\frac{1}{2m^2}}-\textstyle{\frac{1}{3m^2}})+ \ldots + R(m-1) \end{matrix} (6)

Continuamos el proceso hasta que llegamos a R(1)=0. Por haber precisamente n pasos obtenemos lo siguiente:

\begin{matrix} log (n!)=n log (n)-n+\frac{1}{1 \cdot 2} \displaystyle{\sum_{m=1}^n \frac{1}{m}} +\frac{1}{2 \cdot 3} \displaystyle{\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^2}}+\frac{1}{3 \cdot 4} \ldots = \\ =n(log (n) - 1) + \displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta_n (k)}{k(k+1)}} \end{matrix} (7)

donde aparece la suma parcial de la función zeta:

\displaystyle{\zeta_N (k):=\sum_{j=1}^n j^{-k}} (8)

De (7) tenemos entonces la siguiente igualdad para cualquier n:

\displaystyle{log (n!)=n(log (n) - 1) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\zeta_n (k)}{k(k+1)}} (7´)

Ahora, para n \gg 1 se tiene que \displaystyle{\zeta_n (1)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=log (n)+ \gamma + o(1)}. Con esto y (7´) obtenemos

\displaystyle{log (n!) \rightarrow n(log (n)-1) +\frac{1}{2} (log (n) + \gamma) +\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\zeta (k)}{k(k+1)}} (9)

Comparando esto con (3) llegamos a

\displaystyle{log \sqrt{2 \pi}=\frac{\gamma}{2}+\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\zeta(n)}{n(n+1)}} (10)

que es nuestro resultado final. Aplicando exponenciales a ambos lados obtenemos la buscada identidad de Boya.

El documento donde aparece la relación de la que hemos hablado junto con su demostración es Anothe relation between \pi, e, \gamma and \zeta (n)

El propio profesor Luis J. Boya me ha dado permiso para comentarlo aquí y dejaros el enlace al mismo. Además ha tenido la amabilidad de escribirme unas líneas sobre él que reproduzco a continuación:

Luis Joaquín BOYA en un pofesor jubilado (Emérito) de Física Teórica de la Universidad de Zaragoza. Su especialidad es la física matemática, es concreto modelos matemáticos adaptables a la física de partículas elementales. Ha hecho también pequeñas excursiones en matemática pura, y la nota a que nos referimos es una de ellas. Actualmente está muy interesado en la relación de los números octoniones y la Teoría de Cuerdas y su sucesora, la Teoría M, y tiene alguna cosilla en la web sobre el tema (recurrid al arXiv de Cornell para verlas, apartado HEPTH, High Energy Theory, y también en Mathematical Physics).

También es de justicia comentar que me enteré de la existencia de esta identidad a través de este post de Tito Eliatron Dixit.

1: Para saber qué es o(1) consultad la Wikipedia inglesa.

Print Friendly, PDF & Email
0 0 votes
Article Rating

¿Te ha gustado la entrada? Puedes invitarme a un café, Gauss te lo agradecerá 😉