Hace unas semanas, publiqué en la cuenta de Instagram del blog un par de integrales cuyos resultados era el producto y el cociente de dos de los números irracionales más conocidos de las matemáticas: pi (trascendente) y phi, el número áureo (algebraico). Hoy vamos a calcularlas, y confirmar así que dichos resultados son correctos, con la ayuda de dos funciones integrales muy interesantes.

Antes de nada, os dejo a continuación la publicación de Instagram que comentaba al comienzo:

(En el momento de escribir esta entrada, acaba de superar los 1500 likes.)

Y, antes de resolverlas, vamos a comentar las dos funciones integrales que vamos a usar en las correspondientes resoluciones. Como seguro que más de uno ya había imaginado, son las denominadas funciones Gamma (\Gamma) y Beta (\beta) de Euler:

  • \displaystyle{\Gamma (p)=\int_0^{\infty} x^{p-1} e^{-x} \, dx}
  • \displaystyle{\beta (p,q)=\int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} \, dx}

Sobre la función Gamma ya hemos hablado en Gaussianos, y la función Beta está íntimamente relacionada con ella mediante la siguiente propiedad:

\beta (p,q)=\cfrac{\Gamma (p) \cdot \Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}

Usaremos algunas otras propiedades y expresiones alternativas en la resolución de las dos integrales, comentando cada una de ellas en el momento en el que las necesitemos.

Por cierto, ambas integrales pueden resolverse mediante integración compleja. No son especialmente difíciles mediante ese método, pero se requiere conocer el teorema de los residuos, con toda la teoría de que dicho teorema lleva detrás. Por ello, me he decantado por utilizar las funciones Gamma y Beta.

Si conoces alguna otra forma de resolver estas integrales, háblanos de ella en los comentarios.

Vamos con la primera integral. Se asegura que

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{5}{1+x^{10}} \, dx=\pi \cdot \phi}

En este caso, vamos a comenzar usando una expresión alternativa para la función Beta. Se tiene que:

\displaystyle{\beta (p,q)=\int_0^{\infty} \cfrac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}} \, dt}

(A partir de la definición inicial de la Beta, podemos llegar a esta expresión con el cambio de variable x=\frac{t}{1+t}. Os dejo los detalles a vosotros, y si algo no os sale podéis preguntarlo en los comentarios.)

Ésta ya se parece un poco más a la nuestra, al menos los límites de integración ya coinciden. Vamos a hacer el cambio de variable x^{10}=t en la integral que queremos calcular:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{5}{1+x^{10}} \, dx}=\left [ \begin{array}{l|l} x^{10}=t \rightarrow x=t^{1/10} & x=0 \rightarrow t=0 \\ \\ dx=\frac{1}{10} \, t^{-9/10} \, dt & x=\infty \rightarrow t=\infty \end{array} \right ]=

Sustituimos lo que hemos calculado, simplificamos y recolocamos todo:

=\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{5}{1+t} \cdot \cfrac{1}{10} \, t^{-9/10} \, dt=\cfrac{1}{2} \cdot \int_0^{\infty} \cfrac{t^{-9/10}}{1+t} \, dt}

Como se puede ver fácilmente, la integral que nos ha quedado corresponde con la expresión alternativa de la Beta que hemos presentado antes. Para calcular los parámetros p y q, igualamos y resolvemos el sistema:

\begin{array}{l} p-1=\frac{-9}{10} \rightarrow p=\frac{1}{10} \\ \\ p+q=1 \rightarrow q=\frac{9}{10} \end{array}

Tenemos entonces que nuestra integral inicial es, exactamente

\cfrac{1}{2} \cdot \beta \left ( \cfrac{1}{10} \, , \cfrac{9}{10} \right )

Usamos ahora la propiedad que relaciona la Beta y la Gamma:

\beta \left ( \cfrac{1}{10} \, , \cfrac{9}{10} \right )=\cfrac{\Gamma \left (\frac{1}{10} \right ) \cdot \Gamma \left (\frac{9}{10} \right )}{\Gamma (1)}

Y ahora necesitamos un par de propiedades de la Gamma, que ya vimos en el post sobre ella que enlacé en los primeros párrafos. Son éstas:

  • \Gamma (1)=1
  • \Gamma (p) \cdot \Gamma (1-p)=\cfrac{\pi}{sen(p \pi)}

Tomando p=1/10, se tiene que en el numerador de nuestra integral podemos aplicar la segunda propiedad de la Gamma, por lo que nos queda lo siguiente:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{5}{1+x^{10}} \, dx=\cfrac{1}{2} \, \cdot \, \cfrac{\pi}{sen ( \frac{\pi}{10} )}=\cfrac{\pi}{2 \, sen ( \frac{\pi}{10} )}}

Después de todo el esfuerzo realizado, sólo nos queda calcular sen(\frac{\pi}{10}). El cálculo no es inmediato, pero hay varias formas de hacerlo. Por ejemplo, se puede usar que cos(\frac{\pi}{5})=\frac{\phi}{2}, como calculamos en esta entrada, y después usar la fórmula para calcular el seno del ángulo mitad (bueno, y alguna que otra manipulación algebraica). Vamos con ello:

sen \left ( \cfrac{\pi}{10} \right )=\sqrt{\cfrac{1-cos(\frac{\pi}{5})}{2}}=\sqrt{\cfrac{1-\frac{\phi}{2}}{2}}=\sqrt{\cfrac{2-\phi}{4}}=

Multiplicamos numerador y denominador por \phi^2, y en el numerador usamos que \phi^2=\phi+1 en dos ocasiones (recordemos que \phi es una de las soluciones de la ecuación x^2-x-1=0):

=\sqrt{\cfrac{(\phi+1)(2-\phi)}{4 \phi^2}}=\sqrt{\cfrac{-\phi^2+\phi+2}{4 \phi^2}}=\sqrt{\cfrac{-\phi-1+\phi+2}{4 \phi^2}}=\sqrt{\cfrac{1}{4 \phi^2}}=\cfrac{1}{2 \phi}

Por tanto, tenemos que

sen \left (\cfrac{\pi}{10} \right )=\cfrac{1}{2 \phi}

Con esto, llegamos al resultado buscado para nuestra integral:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{5}{1+x^{10}} \, dx=\cfrac{\pi}{2 \cdot \frac{1}{2 \phi}}=\pi \cdot \phi}

Una de las integrales ya ha caído, vayamos ahora a por la otra. Veremos que:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{5x^2}{1+x^{10}} \, dx=\cfrac{\pi}{\phi}}

La estrategia va a ser la misma que en el caso anterior: convertir nuestra integral en una expresión que involucre a una Beta (con el mismo cambio de variable, x^{10}=t), pasar a la Gamma con la propiedad que las relaciona, usar las propiedades de la Gamma y calcular la razón trigonométrica que nos quede. Como los cálculos son muy parecidos, me voy a saltar algunos pasos:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{5x^2}{1+x^{10}} \, dx=\cfrac{1}{2} \cdot \int_0^{\infty} \cfrac{t^{-7/10}}{1+t} \, dt=\cfrac{1}{2} \cdot \beta \left ( \cfrac{3}{10} \, , \cfrac{7}{10} \right )=\cfrac{\Gamma \left (\frac{3}{10} \right ) \cdot \Gamma \left (\frac{7}{10} \right )}{\Gamma (1)}=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\pi}{sen (\frac{3 \pi}{10})}}

¿Cómo calcular sen(\frac{3 \pi}{10})? Pues, en este caso, es bien sencillo. Al ser \frac{3 \pi}{10} un ángulo positivo menor que \frac{\pi}{2}, tenemos que sen(\frac{3 \pi}{10})=cos(\frac{\pi}{2}-\frac{3 \pi}{10})=cos(\frac{2 \pi}{10}), que es cos(\frac{\pi}{5}), cuyo valor es \frac{\phi}{2}. Por tanto, ya tenemos el resultado de la segunda integral:

\displaystyle{\int_0^{\infty} \cfrac{5x^2}{1+x^{10}} \, dx=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{\pi}{\frac{\phi}{2}} =\cfrac{\pi}{\phi}}

¿Te ha parecido interesante esta entrada? ¿Tienes alguna duda de alguno de los pasos seguidos? ¿Conoces alguna manera más eficiente/rápida/sencilla de hacer alguno de los cálculos realizados? ¿Has conseguido relacionar las expresiones de la Beta o, por el contrario, te has atrancado en algún punto? Por cualquiera de estas razones, o por alguna otra que se te ocurra, te animo a que comentes a continuación. Muchas gracias.

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