Este artículo es una colaboración enviada por fede a nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

La cuadratriz es una curva descubierta por los antiguos matemáticos griegos que resuelve dos de los problemas famosos de la época: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. No sabemos quienes descubrieron sus propiedades, pero autores antiguos la asocian con Dinóstrato, Nicomedes e Hipias.
En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculo, que presentamos aquí.

Usamos la notación A:B::C:D para expresar ‘A es a B como C es a D‘, en lugar de la notación de igualdad de fracciones, para intentar acercarnos a los conceptos de las antiguas matemáticas griegas.

Generación de la cuadratriz

Generacion de la cuadratriz

Supongamos inscrito en el cuadrado CABF un arco de circunferencia \overset{\frown}{CB} con centro A. Sea D un punto que parte de C y se desplaza por el arco \overset{\frown}{CB} a velocidad uniforme. Sea E un punto que parte de C en el mismo momento que D y se desplaza por el segmento CA a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que E recorre CA es el mismo que el tiempo en que D recorre el arco \overset{\frown}{CB}. Entonces, en cada instante, la longitud del segmento EA es a la longitud del segmento CA como la longitud del arco \overset{\frown}{DB} es a la longitud del arco \overset{\frown}{CB}, lo que expresamos con la notación EA:CA::\overset{\frown}{DB}:\overset{\frown}{CB}. El punto H, en que se cortan la perpendicular a AC por E y la recta AD, describe la curva llamada cuadratriz.

Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.

La división del ángulo

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La cuadratriz permite inmediatamente dividir un ángulo en la misma proporción que un segmento y viceversa, es decir, reduce el problema de la división de un ángulo al de la división de un segmento. Se presume que éste fue el uso para el que se inventó en primer lugar la cuadratriz.

Si queremos dividir un ángulo DAB según una razón dada u:v, obtenemos el punto H de intersección del ángulo con la cuadratriz, y a continuación el punto E con HE perpendicular a AC. Obtenemos en AE un punto L de forma que AL:AE::u:v (Elementos VI.9) y a continuación el punto Q, intersección de la cuadratriz con la perpendicular a AC por L. Por último obtenemos el punto J, interseccion de AQ con el arco \overset{\frown}{CB}.
Como por la definición de la cuadratriz EA:CA::\overset{\frown}{DB}:\overset{\frown}{CB} y LA:CA::\overset{\frown}{JB}:\overset{\frown}{CB}, resulta que \overset{\frown}{JB}:\overset{\frown}{DB}::LA:EA::u:v, y hemos dividido el ángulo DAB en la razón u:v requerida.

La cuadratura del círculo

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Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto I de intersección de la cuadratriz con la base AB. Ese punto I no se produce como intersección de las rectas AD y EG en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a I, y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando AD y EG se acercan a AB.

La propiedad del punto I que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que \overset{\frown}{CB}:AB::AB:AI, o, dicho en palabras, la longitud del arco \overset{\frown}{CB} es a la longitud del segmento AB como la longitud del segmento AB es a la longitud del segmento AI.

Ello implica que si R es la intersección de la paralela a CI que pasa por B con la prolongación de AC, la longitud AR es igual a la longitud del arco \overset{\frown}{CB} (porque AR:AB::AB:AI).

Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si S es el punto medio de AR, el área del sector circular ACB es igual al área del rectángulo SABT. Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo.

Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado (Elementos II.14), podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto I de la cuadratriz en el segmento AB.

Demostración

A continuación damos la demostración que da Pappus de la propiedad \overset{\frown}{CB}:AB::AB:AI.

En AB existe un punto P tal que \overset{\frown}{CB}:AB::AB:AP.

Con centro A y radio AP trazamos el arco de circunferencia \overset{\frown}{KP}. Entonces AB:AP::\overset{\frown}{CB}:\overset{\frown}{KP}, porque las circunferencias son proporcionales a sus radios. Y como también AB:AP::\overset{\frown}{CB}:AB, tenemos que AB es igual al arco \overset{\frown}{KP}.
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Supongamos que el arco \overset{\frown}{KP} tiene un punto H distinto de P en la cuadratriz (figura de la izquierda). Por definición de la cuadratriz:
\begin{matrix} CA:HL::\overset{\frown}{CB}: \\ :\overset{\frown}{DB}::\overset{\frown}{KP}::\overset{\frown}{HP} \end{matrix}
Como CA es igual a AB y AB es igual a \overset{\frown}{KP}, resulta que HL es igual a \overset{\frown}{HP}, lo que es absurdo. Por tanto
\overset{\frown}{KP} no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá P. Entonces AP no puede ser mayor que AI.
Supongamos ahora que la perpendicular a AB por P tiene un punto H distinto de P en la cuadratriz (figura de la derecha).

Por definición de la cuadratriz, CA:HP::\overset{\frown}{CB}:\overset{\frown}{DB}::\overset{\frown}{KP}:\overset{\frown}{MP}. Como CA es igual a AB y AB es igual a \overset{\frown}{KP}, resulta que HP es igual a \overset{\frown}{MP}, lo que es absurdo. Por tanto la perpendicular a AB por P no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá P. Entonces AP no puede ser menor que AI.
Pero hemos visto que tampoco puede ser mayor, luego el punto P es el punto I, y entonces \overset{\frown}{CB}:AB::AB:AI. como queríamos demostrar.

Obtener la ecuación de la cuadratriz en coordenadas polares y cartesianas no es difícil. A ver quién se atreve.

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