Este artículo es una colaboración enviada por fede a nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
La cuadratriz es una curva descubierta por los antiguos matemáticos griegos que resuelve dos de los problemas famosos de la época: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. No sabemos quienes descubrieron sus propiedades, pero autores antiguos la asocian con Dinóstrato, Nicomedes e Hipias.
En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculo, que presentamos aquí.
Usamos la notación 
para expresar ‘
es a 
como 
es a 
‘, en lugar de la notación de igualdad de fracciones, para intentar acercarnos a los conceptos de las antiguas matemáticas griegas.
Generación de la cuadratriz
Supongamos inscrito en el cuadrado 
un arco de circunferencia 
con centro . Sea un punto que parte de y se desplaza por el arco a velocidad uniforme. Sea 
un punto que parte de en el mismo momento que y se desplaza por el segmento 
a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que recorre es el mismo que el tiempo en que recorre el arco . Entonces, en cada instante, la longitud del segmento 
es a la longitud del segmento como la longitud del arco 
es a la longitud del arco , lo que expresamos con la notación 
. El punto 
, en que se cortan la perpendicular a 
por y la recta 
, describe la curva llamada cuadratriz.
Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.
La división del ángulo
La cuadratriz permite inmediatamente dividir un ángulo en la misma proporción que un segmento y viceversa, es decir, reduce el problema de la división de un ángulo al de la división de un segmento. Se presume que éste fue el uso para el que se inventó en primer lugar la cuadratriz.
Si queremos dividir un ángulo 
según una razón dada 
, obtenemos el punto de intersección del ángulo con la cuadratriz, y a continuación el punto con 
perpendicular a . Obtenemos en 
un punto 
de forma que 
(Elementos VI.9) y a continuación el punto 
, intersección de la cuadratriz con la perpendicular a por . Por último obtenemos el punto 
, interseccion de 
con el arco .
Como por la definición de la cuadratriz y 
, resulta que 
, y hemos dividido el ángulo en la razón requerida.
La cuadratura del círculo
Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto 
de intersección de la cuadratriz con la base 
. Ese punto no se produce como intersección de las rectas y 
en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a , y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando y se acercan a .
La propiedad del punto que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que 
, o, dicho en palabras, la longitud del arco es a la longitud del segmento como la longitud del segmento es a la longitud del segmento 
.
Ello implica que si 
es la intersección de la paralela a 
que pasa por con la prolongación de , la longitud 
es igual a la longitud del arco (porque 
).
Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si 
es el punto medio de , el área del sector circular 
es igual al área del rectángulo 
. Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo.
Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado (Elementos II.14), podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto de la cuadratriz en el segmento .
Demostración
A continuación damos la demostración que da Pappus de la propiedad .
En existe un punto 
tal que 
.
Con centro y radio 
trazamos el arco de circunferencia 
. Entonces 
, porque las circunferencias son proporcionales a sus radios. Y como también 
, tenemos que es igual al arco .
Supongamos que el arco tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la izquierda). Por definición de la cuadratriz:
Como es igual a y es igual a , resulta que 
es igual a 
, lo que es absurdo. Por tanto
no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser mayor que .
Supongamos ahora que la perpendicular a por tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la derecha).
Por definición de la cuadratriz, 
. Como es igual a y es igual a , resulta que 
es igual a 
, lo que es absurdo. Por tanto la perpendicular a por no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser menor que .
Pero hemos visto que tampoco puede ser mayor, luego el punto es el punto , y entonces . como queríamos demostrar.
Obtener la ecuación de la cuadratriz en coordenadas polares y cartesianas no es difícil. A ver quién se atreve.
Que buen post!!!…muy interesante!!!, ¿con que programa hicieron los gráficos?
La cuadratriz…
[c&p] La cuadratriz es una curva descubierta por los antiguos matemáticos griegos que resuelve dos de los problemas famosos de la época: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. No sabemos quienes descubrieron sus propiedades, per…
– Estos dos problemas también se resuelven mediante el uso de espirales arquimedianas. Lo he leído tan rápido que me pareció no lo menciona pero no estoy seguro.
Salud, y suerte
eroijgorg
¿Cuadratura del círculo? ¿Trisección del ángulo? ¡Entonces quizás también con esta curva podamos construir un móvil perpétuo!
(Dato histórico para entender la fina ironía: En el año de 1775, la Academia de Ciencias de París había tomado una decisión: no examinaría ninguna solución a los problemas de la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo, ni analizaría ninguna máquina de movimiento perpetuo.)
Supongo que la dificultad estará en obtener el punto I con regla y compás.
//modo vago=on// ¿Alguien da las ecuaciones polares, que no me tenga que poner? //modo vago=off//
está demostrado que no se puede lograr la cuadratura del círculo con regla y compás.
entonces, ¿en que punto de la demostración se utiliza algo que no se pueda hallar con regla y compás?
lucagali, ni la cuadratriz ni el punto I se obtienen con regla y compás. Las figuras están hechas con Wingeom, y para obtener el punto I hubo que poner explícitamente sus coordenadas. No hay forma de que Wingeom produzca I como intersección de algo.
Buenas tardes Fede y demás gaussianos, Tengo una Intriga, nosotros como buenos gaussianos que somos deberíamos tener presente que GAUSS es el unico matemático que demostró un problema que era considerado imposible de resolver y que tenía dos mil años de antiguedad-CONSTRUIR UN POLIGONO REGULAR DE 17 LADOS CON REGLA SIN MARCAS Y COMPAS. Mi intriga es: Porqué aún se consideran los problemas clásicos IMPOSIBLES DE RESOLVER?…Mi opinión es que faltaban NUEVOS METODOS–VER MONOGRAFIAS.COM CONSTRUCCION DE PI–ESPERO TU OPINION.
RODOLFO NIEVES YO TAMBIEN SOY GAUSSIANO
Rodolfo, los problemas clásicos (con regla y compás cuadrar el círculo o duplicar el cubo o trisecar el ángulo) no se consideran imposibles de resolver, sino que está demostrado que son imposibles de resolver. Con nuevos métodos se pueden atacar problemas no resueltos, pero ningún nuevo método puede resolver problemas que se ha demostrado que no son resolubles.
Nadie demostró antes de Gauss que fuese imposible de construir el heptadecágono.
estimado amigo fede yo estoy demostrando en uno de mis trabajos en monografias.com que la demostracion de linderman es erronea y ademas estoy presentando un teorema que permite demostrar que pi es construible y tengo un metodo que permite demostrar que la duplicacion del cubo tiene solucion me gustaria enviarte el metodo que permite obtener cualquier raiz enesima de cualquier numero natural y todos sabemos que la raiz cubica es la solucion y ademas un contraejemplo de fermat yo solo les pido vean mis dos monografias y emitan una opinion a mi correo
rodolfo nieves
gauss dejo pocos pero maduros y yo les digo que he tomado las semillas de los frutos que nos a legado gauss y obtuve muchos frutos buenos maduros y de buena semilla
rodolfo nieves rivas
un gaussiano desde venezuela
Rodolfo: lee esto, por favor: https://gaussianos.com/construcciones-con-regla-y-compas-ii-los-problemas-delicos/
Si encuentras un fallo nos lo haces saber, de acuerdo? Creo que así será más sencillo.
hola asier yo como todo buen gaussiano estoy bien informado y les informo que llevo 15 años investigando estos problemas y ademas les informo que yo presente el metodo para la obtencion por interpolacion y extrepolacion de segmentos proporcionales con regla sin marcas y compas con el cual quedo confirmado que se puede construir cualquier segmento de cualquier longitud en un plano y que todo sencillamente consiste en un problema conceptual y sobre lo que me pides que te demuestre es muy facil de demostrar donde esta el error y aclaro pues es mi deber el error no es de… Lee más »
asier busca en monografias.com la demostracion de la racionalidad de la constante e y el numero pi y veras que no existen los numeros irracionales
tu amigo rodolfo nieves rivas
Es increible pero es la unica realidad estos problemas clasicos solo pueden resolverse es con regla y compas pues es imposibles resolverlos algebraicamente
rodolfo nieves rivas
Estimado Rodolfo, si los números que los mátemáticos llaman irracionales fueran en realidad racionales, entonces se podrían expresar como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Pero esto está demostrado que es imposible. Por lo tanto siendo a y b enteros nadie puede decir, por ejemplo, que a/b es igual al número Pi.
Al parecer, (ya gasté demasiados segundos de mi vida) rodolfo razona así: 3/1=3 es racional 31/10=3.1 es racional 314/100=3.14 es racional 3141/1000=3.141 es racional etc (él usa otras fracciones, pero el lo mismo) En general, considerando que es racional para todo i natural, y que , concluye que pi es racional. Una de las falacias más básicas de operar con el infinito. Va otra de las muchas por el estilo: Se cumple que para n=1, 2, …100… 100000 …. vamos, para todo n entero positivo, por grande que sea. Entonces también se cumple para Entonces demostramos que ; y los… Lee más »
excelente hernan ahora si nos estamos entendiendo muy bien y a ti omar saludos he estado esperando tu opinion sobre la monografias que demuestra la construccion de pi y ya veo que voy por buen camino pues al parecer he generado al fin el debate pues insisto vean las monografias y les agradeceria a quien pudiera aclarar este dilema pues estoy presentando un teorema y solo hay que demostrar si es falso o verdadero y si es una falacia entonces quedara demostrado que el metodo de induccion matematica es una falacia y hay que revisar la teoria de grupo,la teoria… Lee más »
Parece que no nos entendemos, Rodolfo. Para ser franco, por lo poco que vi (mi tiempo y mi paciencia son limitados) tus monografías me parecen un delirio. Y sospecho que el único problema que podría interesarles resolver a los «gaussianos» es estimar la probabilidad de que nos estés tomando el pelo. Si no es así, te sugiero que lo charles con algún amigo que sepa matemáticas de nivel universitario, que entienda cómo operar con el infinito de manera consistente, qué es un número racional, qué lugar tiene la «inducción» en la matemática y por qué un «numéro entero con puntos… Lee más »
hola amigos me parece muy interesante la forma como estan trabajando les confieso no soy muy bueno en matematicas pero he estado observando atentamente todo este desarrollo que llevan y me gusta el debate eso si un debate que sea amplio y que ganen todas las partes o sea sano me arriesgue a participar a pesar que este ultimo comentario de verdad me asusto pues pienso que esto es un foro y ademas publico pues yo se que muchas personas nos estan observando y sobre los temas me encanta este que trata sobre los asuntos imposibles de resolver en matematicas… Lee más »
una reflexion a todo los que estan participando esto es un foro y muy serio no debemos olvidar que fue en los foros romanos donde lanzaban a los esclavos y los leones se lo comian y el emperador decidia quien moria y quien no asi que le pido al coordinador poner orden y espero no estar fuera del tema y si lo estoy entonces lo retomo pues digo esto por la actitud de hernan pienso que no fue la mas adecuada y por eso le pido tanto a hernan como a rodolfo que me expliuque esto:EL INFINITO NO ES UN… Lee más »
Y PARA TODOS VA ESTO:SI LA TRISECCION DEL ANGULO ES IMPOSIBLE DE CONSTRUIR LAS TRISECTRICES ENTONCES COMO ES POSIBLE QUE ESE TEOREMA DE MORLEY SEA CIERTO NO ENTIENDO DE VERDAD SE LO JURO QUE NO ENTIENDO
leobaldo, pienso que no hay nada reprochable en su actitud de hernan, sino lo contrario, pues fue claro y franco en su comentario.
Por otro lado creo que la probabilidad de que rodolfo este tomándole el pelo a alguien es muy baja. Pienso que él cree lo dice. El problema es que lo que él dice no es razonable para los que conocen más del tema.
¿leobaldo = rodolfo?
Rodolfo, en serio, estás perdiendo el tiempo. Si de verdad quieres aprovechar ese preciado don te aconsejo que lo dediques a algo más productivo, esto sólo te producirá quebraderos de cabeza para nada, ya que no obtendrás ningún resultado válido si sigues con esta línea de trabajo. De verdad, prueba con otros problemas porque éste ya está más que resuelto desde hace mucho tiempo.
hola a todos y bienvenido al debate leobaldo mira leobaldo primeramente es mi deber aclarte que tus dudas no tienen nada de malo pues a la mayoria de los matematicos de todo el mundo y en toda la historia de la humanidad les ha intrigado estos problemas y todos y te lo aseguro todos y cada uno de ellos trataron de resolverlos solo que con diferentes interpretaciones busca anda te invito estos conceptos e investiga estos temas el mesolabio de erastotenes imaginate este señor dicen que se presento con este aparato mecanico para demostrar la dùplicacion del cubo y te… Lee más »
Ok Rodolfo, ya estoy entendiendo lo que se refiere a la demostración de un problema, te envío esto para tu ayuda: Los problemas por resolver implican la necesidad de hallar la respuesta a una cuestión indagada, descifrar los valores de ciertas incógnitas, descubrir algún proceso desconocido, encontrar la manera de intervenir en el comportamiento de un proceso para cambiarlo, construir objetos o instrumentos, formular nuevos conceptos, inferir conclusiones, establecer hipótesis o determinar explicaciones pertinentes. Y con respecto a los problemas por demostrar: El propósito de un «problema por demostrar», también llamado teorema, consiste en mostrar de modo concluyente la exactitud… Lee más »
Si Leobaldo, se pierde el pierde el tiempo cuando se intenta refutar algo que está demostrado.
hola a todos ahora si nos estamos entendiendo muy bien y hemos retomado el tema y hacemos honor a nuestro slogan o mejor dicho nuestro lema:G A U S S I A N O S
DONDE TODO TIENE AL INFINITO
Y LEMA SIGNIFICA:LO QUE SE ADMITE
R O D O L F O N I E V E S
LO LOGRÉ
Creo que el grupo de Gaussianos deberia comprarle un libro Baldor al sr Rodolfo. Supongo que espera que le digan que no es gaussiano?, espera que alguien lea su monografia? con todo respeto pero el sr dice un montón de disparates. Osea alguien dice demostrar que 0>1 y habría que leerle?. En todo caso si desea que alguien le tome en serio, pues envie su trabajo a un profesor local de matematicas, es penoso que insista caballero. Yo en todo caso creo que este es un bello sitio -la magia del Internet- donde se puede jugar un poco con matematicas,… Lee más »
hola a todos de verdad lamento que este generando tantos comentarios que en realidad no nos conducen a nada bueno ni productivo yo simplemente al igual que todo el mundo tengo mis interrogantes y si ustedes me pueden ayudar de verdad que le estaria muy agradecido pues yo tengo muchas dudas que no me dejan dormir en paz pues no entiendo algunas cosas establecidas en matematicas como pòr ejemplo: SI YO CONSTRUYO UN TRIANGULO RECTANGULO CON LADO IGUAL A LA UNIDAD IMAGINARIA (i) Y EL OTRO LADO ES IGUAL A LA UNIDAD (1) CUANDO TRATO DE APLICARLE EL TEOREMA DE… Lee más »
Rodolfo, tú debes saber que cuando uno no puede dormir bién debe consultar al médico, pues no es bueno para la salud que ello ocurra. Es sabido que los problemas se resuelven mejor luego de dormir bién, alimentarse bién y descansar mucho.
Me estoy empezando a cansar de esta sarta de tonterías…Siento ser tan duro, pero lo veo así. ¿Un lado de un triángulo que mida
? Esto ya es el colmo.
De verdad Rodolfo: si estás de broma creo que ya ha llegado el momento de que nos lo digas; si estás en serio consulta a un especialista.
Ok Rodolfo y todos para FINALIZAR ESTO deberán revisar el Plano de gauss para que aclaren esa MENTE…LES ADELANTO ESO: Necesidad de ampliar los números reales Al resolver algunas ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales como la siguiente, se obtienen raíces que no son números reales porque hay que hallar la raíz cuadrada de un número negativo. Para resolver estas ecuaciones se necesita ampliar el conjunto de los números reales. Ejemplo: LA UNIDAD IMAGINARIA La unidad imaginaria es y se representa por i ( viene de imaginario) Utilizando esta definición de unidad imaginaria ya se pueden hallar las raíces… Lee más »
Rodolfo Nieves escribió: «SI YO CONSTRUYO UN TRIANGULO RECTANGULO CON LADO IGUAL A LA UNIDAD IMAGINARIA (i) Y EL OTRO LADO ES IGUAL A LA UNIDAD (1) CUANDO TRATO DE APLICARLE EL TEOREMA DE PITAGORAS ME DA COMO RESULTADO QUE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A CERO (0) Y COMO LA HIPOTENUSA SIGNIFICA EL LADO MAYOR DE LOS TRES LADOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO ENTOCES CERO ES MAYOR QUE UNO POR DIOS QUE ALGUIEN ME EXPLIQUE ESTO» Pero Rodolfo, ¿Acaso no sabes que los números complejos no se pueden ordenar? Deberías leerte esto http://euler.us.es/~renato/clases/programa/node2.html Por otro lado, lo que intentas demostrar,… Lee más »
felicitaciones ANTONIO pues has dado en el clavo pues tienes razon yo no soy licenciado yo soy autodidacta como lo fue newton en matematicas y me gradue en la universidad de la vida a traves de la experiencia o sea soy empirico al igual que todo investigador en la fase de observacion en la metodologia cientifica y soy el unico venezolano que a pesar de no tener estudios academicos participe en un congreso de post grado y tengo en mi haber 57 monografias de temas totalmente originales y la insistencia que tengo sobre los problemas clasicos es que ya demostre… Lee más »
El charlatanismo es contrario a la ciencia.
Me parece estupendo y meritorio que seas autodidacta; pero no por eso tienes la razón, es más lo más probable que no lo tengas. Newton leía mucho, de hecho fue un «ratón de biblioteca», y entendía. Pero a diferencia tuya el llegó a leer y Comprender los mas avanzados conocimientos; en la actualidad es muchisimo más complicado, por eso que los grandes avances en la actualidad ya no los da gente totalmente neofita. Con tus afirmaciones demuestras que lees sólo superficialmente, aún no logras entender del porqué los problemas clásicos son imposibles; no es un asunto que sepa todo el… Lee más »
hola a todos aun tengo problemas con el latex pero bueno lo importante es la intencion y sobre los ultimos comentarios les confieso que me han fortalecido pues ramanujan es y seguira siendo el mas grande matematico de toda la historia pues el enuncio 6000 teoremas que aun tiene intrigado a muchos y fue un autodidacta y yo tan solo tengo 1400 teoremas originales y 14 metodos de construccion con regla sin marcas y compas los cuales insisto en poner a la orden a todo aquel que lo desea y el teorema anterior es uno de mis 1400 teoremas y… Lee más »
A un amigo mío le dicen iglesia vacía.
Y porque le dirían de esa forma?, yo le llamaría el maestro de las tonterías. Incluso he visto que ha publicado en la web una serie de disparates, como dirian los gringos un crank total. Sería bueno tener una lista de sitios en castellano donde publican tonterías -he visto algo en inglés; incluso algun profesor gringo se los da sus alumnos para que descubran la falla-.
pos que no se que son las matematicas ni lo que son lo angulos
[…] La cuadratriz […]
Fede, qué coordenadas ponés en Wingeom para el punto I?
Marcos, I = 2/pi = 0,6366197…, en coordenadas relativas a AB, es decir si A=0 y B=1.
[…] El mundo de las curvas es un mundo realmente interesante. Podemos encontrarnos formas de muchos tipos, desde las más conocidas comoun segmento (sí, aunque a mucho les sorprenda un segmento es una curva en el sentido matemático del concepto) o una porción de circunferencia, hasta algunas la hipopede de Eudoxo o la cuadratriz. […]
Rodolfo, primero de todo, para que en matematicas se demuestre algo, no se demuestra como se enseña en los colegios, las demostraciones rigurosas requieren de algo mas. Despues, ya hubo filosofos en el pasado que se dedicaron a crear silogismos para confundir y llevar el conocimiento al caos. ¿De verdad quieres seguir el mismo camino? No se si lo has pensado así, pero para crear un triángulo con un lado con medida i, nunca va a ser rectángulo como lo conocemos, su ángulo tambien sera imaginario, es lo que pasa al trabajar con cuatro dimensiones (es decir, dimensiones x, y… Lee más »
La cuadratura perfecta del circulo con todos los decimales ,es posible si logramos encontrar un punto de la cuadratriz que tenga una relacion con pi.
La cuadratriz se puede trazar con la regla y el compas , con excepcion del cruce final.
No necesitamos trazar toda la curva, con infinitos puntos.
Solo hace falta trazar un punto que se relacione con 2/pi y solucionamos el problema y alistamos a Lindemann.
[…] La cuadratriz El teorema de Pick resultados del concurso “Logo para Gaussianos” […]
[…] Pappus demuestra que la cuadratriz de Dinóstrato-Nicomedes-Hipias es la proyección de la curva que resulta de la intersección de un […]