La semana pasada hablábamos de cómo cuadrar un rectángulo, es decir, de cómo construir con regla y compás un cuadrado de la misma área que un cierto rectángulo dado. En el artículo de hoy vamos a ver cómo cuadrar un triángulo, esto es, cómo construir un cuadrado de la misma área que un cierto triángulo inicial.

En primer lugar os explicaré la construcción y después os dejaré un applet de GeoGebra en el que podréis verla.

Bien, partimos de un triángulo ABC. Tomamos uno de los vértices, C en nuestro caso, y dibujamos la altura correspondiente a dicho vértice (recta e, con trazo grueso continuo, en nuestra construcción). Calculamos ahora los puntos medios del segmento AC, que llamamos P, y el punto medio del segmento BC, que llamamos Q.

Dibujamos ahora la recta a la que pertenece el segmento PQ (recta f, con trazo grueso continuo, en nuestra construcción). Ahora construimos las rectas perpendiculares a esta recta f que pasan por A y B(rectas g y h, con trazo grueso discontinuo, en nuestra construcción). Llamamos I y J a los puntos de corte de estas rectas con la recta f. Entonces, el polígono AIJB es un rectángulo de la misma área que el triángulo ABC inicial.

El último paso de la cuadratura del triángulo es cuadrar el rectángulo. Pero, como hemos comentado antes, eso ya lo vimos en este post. Por tanto ya hemos conseguido cuadrar el triángulo.

Y aquí tenéis un applet de GeoGebra donde podéis ver la construcción que se acaba de describir. Moviendo los vértices del triángulo se puede ver que las áreas de los dos polígonos son siempre iguales. Además incluye una demostración del resultado. Seleccionando el cuadro Triángulos puede verse que los triángulos T_1 y T_2 (en amarillo) tiene la misma área y que los triángulos T_3 y T_4 (en verde) también:

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.



Este es el segundo paso que vamos a dar (después de cuadrar un rectángulo) hacia nuestro objetivo. En próximas fechas veremos por qué hemos hablado de estos temas en estos dos artículos.

Print Friendly, PDF & Email