El teorema de Varignon es un bonito resultado geométrico que nos da información sobre el polígono formado por los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera. Hace ya tiempo que no es habitual tratarlo en las asignaturas de matemáticas de secundaria, pero seguro que muchos lo conocéis, aunque sólo sea porque por aquí ya hemos hablado de él.
Hay varias formas de probar este curioso resultado, pero la demostración que os traigo hoy del teorema de Varignon consta solamente de una línea. Os la cuento a continuación.
Antes de nada, recordemos el enunciado del teorema de Varignon:
Gráficamente: si 
El nombre le viene por Pierre Varignon, matemático francés que vivió en los siglos XVII y XVIII y que fue el primero que publicó una demostración del teorema. Tenéis más información sobre ello en Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (pdf).
Una manera de demostrar este resultado sería ver que el vector 
Evidentemente, la demostración de que 
Además, el teorema de Varignon nos dice algo sobre ese paralelogramo de los puntos medios:
Tampoco es especialmente difícil demostrar esto. A ver si alguien se anima (sin buscarlo antes, claro).
Os dejo un sencillo applet que he hecho con GeoGebra en el que se muestra que el «paralelogramo de Varignon» es en realidad un paralelogramo (ya que los ángulos opuestos son iguales) y en el que también se muestra que su área es la mitad que el área del cuadrilátero inicial:
Por cierto, si en el applet «obligamos» al cuadrilátero de partida a que tenga autointersecciones, los datos que se muestran dan a entender que la relación entre las áreas es la misma que en el otro caso, aunque se puede ver claramente que es imposible. Por ejemplo, esas áreas no son una el doble que la otra:
¿Alguien puede explicar qué está ocurriendo?
Para finalizar, os dejo algunas propiedades más sobre este curioso e interesante paralelogramo de Varignon:
- Dos lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una de las diagonales del cuadrilátero inicial.
- Cada lado del paralelogramo de Varignon mide la mitad que la diagonal del inicial que es paralela a él.
- De lo anterior se deduce que el perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero inicial.
Fuentes y más información:
- Varignon’s theorem proved in one line with vectors.
- Varignon’s theorem en la Wikipedia en inglés.
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No tiene que ver directamente con Varignon, pero sí con la geometría:
https://www.instagram.com/heymatheists/reel/CYjECSGFP5f/?utm_medium=copy_link
El polígono EFGH determinado por los puntos medios es un paralelogramo porque sus lados opuestos son paralelos a la misma diagonal y miden la mitad que ella. Es cierto para cualquier cuadrilátero, incluso alabeado (un ciclo de 4 aristas de un tetraedro). En estos dos enlaces puede verse un applet al respecto: http://xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Varignon.html… https://geogebra.org/m/r579zCqr https://pic.twitter.com/DnkbxluGis Incluso si el polígono es cruzado, si se define su área como la diferencia de los dos ‘triángulos’ que se forman, que es lo que hace GeoGebra, el área del paralelogramo de Varignon sigue siendo la mitad que el área del cuadrilátero. Pero bueno, lo… Lee más »
La demostración que he visto, con los puntos medios de los puntos medios, es sorprendente (¡como tantas!)
Por otra parte se puede definir el área en base a las (dos) maneras de considerar dos triángulos. Un promedio, tal vez. Calcular todas esas áreas no es difícil dadas las coordenadas de los puntos y se pueden buscar relaciones…
Una bonita consecuencia del Teorema de Varignon es que da pie al «Método de la malla invisible» para recubir el plano a partir de cualquier cuadrilátero (incluso no convexo).
En este enlace podemos ver cómo hacerlo.