El teorema de Varignon es un bonito resultado geométrico que nos da información sobre el polígono formado por los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera. Hace ya tiempo que no es habitual tratarlo en las asignaturas de matemáticas de secundaria, pero seguro que muchos lo conocéis, aunque sólo sea porque por aquí ya hemos hablado de él.

Hay varias formas de probar este curioso resultado, pero la demostración que os traigo hoy del teorema de Varignon consta solamente de una línea. Os la cuento a continuación.

Antes de nada, recordemos el enunciado del teorema de Varignon:

Teorema de Varignon: Dado un cuadrilátero C cualquiera, representemos los puntos medios de cada uno de sus lados. Entonces el cuadrilátero cuyos lados unen los puntos medios de cada dos lados consecutivos de C es un paralelogramo.

Gráficamente: si C es el cuadrilátero gris, el teorema de Varignon asegura que el cuadrilátero verde, cuyos lados unen los puntos medios de lados consecutivos de C, es, en realidad, un paralelogramo:

Paralelogramo de Varignon

El nombre le viene por Pierre Varignon, matemático francés que vivió en los siglos XVII y XVIII y que fue el primero que publicó una demostración del teorema. Tenéis más información sobre ello en Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (pdf).

Una manera de demostrar este resultado sería ver que el vector \vec{HG} es igual al vector \vec{EF}, y que el vector \vec{HE} es igual al vector \vec{GF}. Y ahora es cuando viene la demostración en una línea:

\vec{HG}=\vec{HD}+\vec{DG}=\cfrac{1}{2} \cdot (\vec{AD}+\vec{DC} )=\cfrac{1}{2} \cdot \vec{AC}=\vec{EF}

Evidentemente, la demostración de que \vec{HE}=\vec{Gf} es análoga a la anterior.

Además, el teorema de Varignon nos dice algo sobre ese paralelogramo de los puntos medios:

Además, si el cuadrilátero inicial es convexo o cóncavo sin autointersecciones, entonces el área del paralelogramo de Varignon es exactamente la mitad del área del cuadrilátero del que partimos.

Tampoco es especialmente difícil demostrar esto. A ver si alguien se anima (sin buscarlo antes, claro).

Os dejo un sencillo applet que he hecho con GeoGebra en el que se muestra que el «paralelogramo de Varignon» es en realidad un paralelogramo (ya que los ángulos opuestos son iguales) y en el que también se muestra que su área es la mitad que el área del cuadrilátero inicial:

Por cierto, si en el applet «obligamos» al cuadrilátero de partida a que tenga autointersecciones, los datos que se muestran dan a entender que la relación entre las áreas es la misma que en el otro caso, aunque se puede ver claramente que es imposible. Por ejemplo, esas áreas no son una el doble que la otra:

Autointersección en el paralelogramo de Varignon

¿Alguien puede explicar qué está ocurriendo?

Para finalizar, os dejo algunas propiedades más sobre este curioso e interesante paralelogramo de Varignon:

  • Dos lados opuestos del paralelogramo de Varignon son paralelos a una de las diagonales del cuadrilátero inicial.
  • Cada lado del paralelogramo de Varignon mide la mitad que la diagonal del inicial que es paralela a él.
  • De lo anterior se deduce que el perímetro del paralelogramo de Varignon es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero inicial.

Fuentes y más información:

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