Introducción

Quien conozca un poco la vida y, sobre todo, la obra de Pierre de Fermat (los lectores más antiguos de Gaussianos seguro que están en este grupo de personas) sabrá que, entre otras cosas, no solía publicar ni comunicar a sus colegas las demostraciones de los resultados que descubría. Es evidente que no podía haber demostración de que todos los números de Fermat son primos ya que no es cierto; y es bastante probable que la demostración que Fermat dice tener en su anotación en el margen del libro de Diofanto sobre el denominado último teorema de Fermat fuera errónea, si es que existía. El caso es que, quitando estos dos problemas, Fermat no publicó las demostraciones de sus resultados. Sin embargo, en las anotaciones que dejó y que fueron recopiladas por su hijo después de su muerte se encontró una demostración rigurosa de uno de sus resultados. Esta es la historia que nos ocupa hoy: La prueba de Fermat.

Teorema

El resultado que vamos a probar es el siguiente:

El área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros no puede ser un cuadrado

Esto es, en notación simbólica, no existe una terna pitagórica x^2 + y^2 = z^2 tal que \frac{1}{2} xy es un cuadrado (según lo que vimos en este post sobre ternas pitagóricas x e y no pueden ser ambos impares por lo que xy es par y en consecuencia \frac{1}{2} xy es un entero).

Demostración

Como ya vimos en este artículo, la fórmula más general de las ternas pitagóricas es x=(2pq)d, y=(p^2-q^2)d y z=(p^2+q^2)d, con p y q enteros positivos primos relativos de paridad opuesta con p > q y d un entero positivo. El problema es hacer que \frac{1}{2} xy = pq(p^2 - q^2)d^2 sea un cuadrado. Esto es posible si y sólo si pq(p^2 - q^2) es un cuadrado. Pero como p y q son primos relativos entonces ambos deben ser primos relativos con p^2 - q^2. Por tanto pq(p^2 - q^2) es un cuadrado si y sólo si p, q y p^2 - q^2 son todos cuadrados. En otras palabras, un triángulo cuya área es un cuadrado nos lleva a un par de enteros primos relativos p y q de paridad opuesta tal que p, q y p^2 - q^2 son todos cuadrados. Como p y q son cuadrados, entonces p^2 - q^2 es la diferencia de dos potencias cuartas. Además, p^2 - q^2 = (p - q)(p + q) es una descomposición de p^2 - q^2 en factores primos relativos entre si, ya que cada factor que tuvieran en comúnp - q y p + q también sería un factor común de (p - q) + (p + q) = 2p y de (p + q) - (p - q) = 2q y por tanto, como p y q son primos relativos, el posible factor sólo podría ser 2 ó 1. Pero p y q tiene paridad opuesta y por tanto p - q y p + q son ambos impares. En consecuencia 2 no puede ser un factor común de los dos y en consecuencia son primos relativos. Entonces suponer que p^2 - q^2 es un cuadrado implica que p - q y p + q sean ambos cuadrados.

A partir de este hecho supongamos que p + q = r^2 y p - q = s^2. En su exposición Fermat dice que r puede ser escrito de la forma r = u + v, donde uno de los dos es un cuadrado y el otro es el doble de un cuadrado, y que además u y v son los catetos de un triángulo rectángulo, es decir, u^2 + v^2 es también un cuadrado. Fermat dice que el segundo hecho es consecuencia del primero pero no da ninguna indicación para demostrar el primero, simplemente dice que él lo ha probado fácilmente. En este artículo vamos a dar una demostración de los dos hechos, aunque no se sabe si la manera en que se va a hacer está relacionada con la idea que tenía Fermat.

Como p y q son de paridad opuesta, p + q = r^2 y p - q = s^2 son ambos impares y por tanto r y s son ambos impares. Además, r y s son primos relativos porque, como se vio antes, p - q y p + q son primos relativos. Ahora definimos dos enteros positivos así:

u=\cfrac{r-s}{2},v=\cfrac{r+s}{2}

Entonces u y v son primos relativos, ya que cualquier factor común de u y v lo sería de su suma, u + v = r, y de su diferencia, v - u = s, pero hemos visto que r y s son primos relativos. Además:

uv=\cfrac{r^2-s^2}{4}=\cfrac{(p+q)-(p-q)}{4}=\cfrac{q}{2}

Ya que q es un cuadrado, \frac{1}{2}q puede ser un entero sólo si es un entero par. Por tanto \frac{1}{2}uv = \frac{1}{4}q será un entero y, como es cociente de cuadrados, será un cuadrado. Ahora, u o v debe ser par (porque la mitad de su producto es un entero), pero no pueden serlo ambos a la vez (porque son primos relativos). Pero la mitad del par y el impar son primos relativos, y su producto \frac{1}{2}uv es un cuadrado. Por tanto los factores son cuadrados, y entonces el par es dos veces un cuadrado y el impar es un cuadrado. Así r = u + v es una expresión de r como suma de un cuadrado y dos veces un cuadrado, como queríamos demostrar. Además:

u^2+v^2=\cfrac{r^2-2rs+s^2}{4}+\cfrac{r^2+2rs+s^2}{4}=\cfrac{r^2+s^2}{2}=\cfrac{(p+q)+(p-q)}{2}=p

Como teníamos que p era un cuadrado se tiene que u^2 + v^2 es un cuadrado.

El resto de la demostración es sencillo a partir de aquí. La terna pitagórica con lados u y v es primitiva, porque u y v son primos relativos. Entonces es de la forma 2PQ, P^2 - Q^2 y P^2 + Q^2, donde P y Q son primos relativos de paridad opuesta y P > Q.

Como \frac{1}{2}uv = PQ(P^2 - Q^2) es un cuadrado, se sigue como antes que P, Q, P - Q y P + Q son todos cuadrados. Pero:

P+Q \le (P+Q)PQ(P-Q) = \cfrac{1}{2}uv = \cfrac{q}{4} < q < p + q

y el proceso puede ser repetido indefinidamente obteniendo al final una secuencia infinita y decreciente de enteros positivos con esas propiedades. Por el método del descenso infinito esto es imposible, y en consecuencia es imposible encontrar un triángulo pitagórico cuya área sea un cuadrado.

Conclusión

Teniendo en cuenta, como ya dijimos al principio, las reticencias de Fermat a dar a conocer las demostraciones de sus resultados esta demostración cobra aún más valor histórico. Exceptuando el punto oscuro comentado (la parte que Fermat deja sin demostrar) la demostración es suya.

Por otro lado con este artículo tenemos la oportunidad de ver otro ejemplo de la potencia que tiene el método del descenso infinito para demostrar ciertos tipos de resultados. Teniendo en cuenta lo poco conocido y lo poco usado que es este método no nos viene nada mal como posible herramienta para otros problemas.

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