Este artículo es una colaboración enviada por fede a nuestro correo gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si lo deseáis podéis enviar las vuestras a esa dirección.
La línea de Euler
Si un triángulo es equilátero, entonces circuncentro, baricentro y ortocentro coinciden. En otro caso, Euler demostró que esos tres puntos están siempre alineados. A la línea que pasa por esos puntos se la denomina línea de Euler del triángulo.
El libro de Dunham sobre Euler (1) dedica 9 páginas (de fórmulas y ecuaciones) a exponer la demostración original de Euler. La demostración que sigue (¿de Gauss?) es mucho más sencilla y elegante, y demuestra que las alturas coinciden en un punto (el ortocentro), que las medianas coinciden en un punto (el baricentro) y que circuncentro, baricentro y ortocentro están alineados.
En sean
los puntos medios de los lados opuestos a los vértices
Partimos del hecho de que las mediatrices de los lados de se cortan en el centro de la circunferencia circunscrita, que es el circuncentro
.
Las paralelas a cada lado de que pasan por los vértices opuestos se cortarán en tres puntos
, que son los vértices de
semejante a
con razón de semejanza
.
Los puntos medios de los lados de son los vértices de
, y las mediatrices de los lados de
son las alturas de
, porque los lados de
y
son paralelos.
Como las mediatrices de los lados se cortan en un punto
, que corresponde en la semejanza al punto
de
, resulta que las alturas de
se cortan en un punto
, ortocentro de
.
Además y lo mismo para los otros vértices, es decir, la distancia del ortocentro
a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro
al punto medio del lado opuesto al vértice.
Si los lados y
no son iguales, la mediatriz
y la altura
están en rectas diferentes y entonces los puntos
y
son diferentes
y la mediana corta al segmento
en un punto
.
Como la mediatriz y la altura
son paralelas, los triángulos
y
son semejantes y como
también
y
.
Entonces la mediana corta al segmento
en un punto
tal que
.
Si es escaleno lo mismo sucede con las otras dos medianas, y si
es isósceles con una de las otras dos medianas, y la otra mediana coincide con la altura, la mediatriz y la linea en que está el segmento
.
Por tanto hemos demostrado que las medianas de se cortan en un punto
, el baricentro de
.
Además, como , la distancia del baricentro
a un vértice es el doble de la distancia de
al punto medio del lado opuesto.
Y como el baricentro está en el segmento
, concluimos que si
no es equilátero, el circuncentro
, el baricentro
y el ortocentro
están alineados y
y
.
Otro hecho notable sobre el segmento es que su punto medio
es el centro de la circunferencia de Feuerbach.
Usando el resultado anterior y las propiedades de la homotecia es muy fácil demostrar que pasa por los famosos 9 puntos:
Si son los puntos medios de los segmentos entre el ortocentro
y los vértices, la homotecia con centro
y razón
transforma la circunferencia circunscrita a
en una circunferencia con centro
, radio
y que pasa por
.
Si en cambio aplicamos al plano una homotecia con centro y razón
, la circunferencia circunscrita a
se transforma en una
circunferencia con centro , radio
y que pasa por
, porque
y
.
Por tanto la circunferencia con centro y radio
pasa por
y por
.
Como las homotecias preservan las direcciones, las tangentes a la circunferencia con centro y radio
en
y
serán paralelas a la tangente a la circunferencia circunscrita en
, y por tanto
es un diámetro de la circunferencia con centro
y radio
.
Como es recto, tenemos que
está en la circunferencia de diámetro
, es decir, en la circunferencia con centro
y radio
. Lo mismo sucede con
y
y por tanto la circunferencia con centro
y radio
pasa por los 9 puntos indicados en la figura.
Como propina obtenemos que las tres circunferencias que resultan de reflejar la circunferencia circunscrita sobre cada uno de los lados se cortan en el ortocentro (porque , puesto que
es la imagen de
en la homotecia con centro
).
1 Dunham, «Euler. El maestro de todos los matemáticos», Nivola.
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Una belleza.
Ese libro de Dunham sobre Euler es una maravilla…
He estado esperando a que sacaran algo similar de Gauss, pero todavía nada.
¡Excelente trabajo, fede!
Yo también te felicito, fede, gran aportación.
Me gustariía saber qué programa has utilizado para crear los dibujos. ¿Zirkel tal vez?
Pues sí, tiene pinta de Zirkel. Por cierto, qué gran programa. Sin él los post sobre construcciones con regla y compás habrían sido imposibles de realizar para mí, sobre todo el de la construcción del heptadecágono.
Asier & Diamond, las figuras no están hechas con Zirkel (no lo conocía), sino con Wingeom (también es gratis).
Wingeom tiene el inconveniente de que sólo es para Windows…pero a mí me ha servido hasta ahora, y creo que no está mal.
fede, yo en primera instancia pensé en Wingeom, del que ya me habías hablado, por ser el que usaste en otros artículos que me habías enviado. Pero las figuras parecen hechas en Zirkel, al menos quedan básicamente igual.
Lo que me sorprendió de Wingeom es el tema de las animaciones. En la hipopede de Eudoxo puede verse un ejemplo.
Pues…qué puedo decir…fantástico!
Jones, Francisco
En Amazon.com puedes encontrar el libro «Gauss: A biographical study» de Walter K. Buhler. Lo leí y me parece interesante.
Saludos.
Os dejo una web en donde han implementado la Recta de Euler en un JAVA MANIPULABLE con GEOGEBRA:
http://www.ematematicas.net/triangulo.php?t=6&a=6
Muy buena aplicación. En matemáticas para ciencia e ingeniería, de Erwing Kreyzsig, hay buenos ejemplos.
Buen libro.
[…] aquí otra con la conocida línea de Euler (que también vimos en este […]
Por fin veo la demostración de un teorema del que vimos el enunciado hace 28 años. Era fin de curso, era el último teorema de geometría plana, pero el profe se lío en la demo y nunca terminamos. Así que 28 años más tarde, por fin! Gracias!
Olivier, un placer :).