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La línea de Euler

Si un triángulo es equilátero, entonces circuncentro, baricentro y ortocentro coinciden. En otro caso, Euler demostró que esos tres puntos están siempre alineados. A la línea que pasa por esos puntos se la denomina línea de Euler del triángulo.

El libro de Dunham sobre Euler (1) dedica 9 páginas (de fórmulas y ecuaciones) a exponer la demostración original de Euler. La demostración que sigue (¿de Gauss?) es mucho más sencilla y elegante, y demuestra que las alturas coinciden en un punto (el ortocentro), que las medianas coinciden en un punto (el baricentro) y que circuncentro, baricentro y ortocentro están alineados.

En \triangle A B C sean A^{\prime} , B^{\prime}, C^{\prime} los puntos medios de los lados opuestos a los vértices A, B,C.

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Partimos del hecho de que las mediatrices de los lados de \triangle A B C se cortan en el centro de la circunferencia circunscrita, que es el circuncentro O.

Las paralelas a cada lado de \triangle A B C que pasan por los vértices opuestos se cortarán en tres puntos A_0, B_0, C_0, que son los vértices de \triangle A_0 B_0 C_0, semejante a \triangle ABC con razón de semejanza 2:1.

Los puntos medios de los lados de \triangle A_0 B_0 C_0 son los vértices de \triangle A B C, y las mediatrices de los lados de \triangle A_0 B_0 C_0 son las alturas de \triangle A B C, porque los lados de \triangle A B C y \triangle A_0 B_0 C_0 son paralelos.

Como las mediatrices de los lados \triangle A_0 B_0 C_0 se cortan en un punto H, que corresponde en la semejanza al punto O de \triangle A B C, resulta que las alturas de \triangle A B C se cortan en un punto H, ortocentro de \triangle A B C.

Además HA = 2\ OA^{\prime} y lo mismo para los otros vértices, es decir, la distancia del ortocentro H a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro O al punto medio del lado opuesto al vértice.

Si los lados AB y AC no son iguales, la mediatriz OA^{\prime} y la altura AA^{\prime\prime} están en rectas diferentes y entonces los puntos O y H son diferentes

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y la mediana AA^{\prime} corta al segmento OH en un punto G.

Como la mediatriz OA^{\prime} y la altura AA^{\prime\prime} son paralelas, los triángulos \triangle AHG y \triangle A^{\prime}OG son semejantes y como AH = 2\ OA^{\prime} también HG = 2\ OG y AG = 2\ A^{\prime}G.

Entonces la mediana AA^{\prime} corta al segmento OH en un punto G tal que OH = 3\ OG.

Si \triangle A B C es escaleno lo mismo sucede con las otras dos medianas, y si \triangle A B C es isósceles con una de las otras dos medianas, y la otra mediana coincide con la altura, la mediatriz y la linea en que está el segmento OH.

Por tanto hemos demostrado que las medianas de \triangle A B C se cortan en un punto G, el baricentro de \triangle A B C.

Además, como AG = 2\ A^{\prime}G, la distancia del baricentro G a un vértice es el doble de la distancia de G al punto medio del lado opuesto.

Y como el baricentro G está en el segmento OH, concluimos que si \triangle A B C no es equilátero, el circuncentro O, el baricentro G y el ortocentro H están alineados y OH = 3\ OG y GH = 2\ OG.

Otro hecho notable sobre el segmento OH es que su punto medio N es el centro de la circunferencia de Feuerbach.

Usando el resultado anterior y las propiedades de la homotecia es muy fácil demostrar que pasa por los famosos 9 puntos:

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Si A_1, B_1, C_1 son los puntos medios de los segmentos entre el ortocentro H y los vértices, la homotecia con centro H y razón \textstyle{\frac{1}{2}} transforma la circunferencia circunscrita a \triangle A B C en una circunferencia con centro N, radio \textstyle{\frac{OA}{2}} y que pasa por A_1, B_1, C_1.

Si en cambio aplicamos al plano una homotecia con centro G y razón \textstyle{\frac{-1}{2}}, la circunferencia circunscrita a \triangle A B C se transforma en una
circunferencia con centro N, radio \textstyle{\frac{OA}{2}} y que pasa por A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, porque OG = 2\ GN y A = 2\ GA^{\prime}.

Por tanto la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}} pasa por A_1,B_1,C_1 y por A^{\prime},B^{\prime},C^{\prime}.

Como las homotecias preservan las direcciones, las tangentes a la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}} en A_1 y A^{\prime} serán paralelas a la tangente a la circunferencia circunscrita en A, y por tanto A_1 A^{\prime} es un diámetro de la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}}.

Como \angle A_1 A^{\prime\prime} A^{\prime} es recto, tenemos que A^{\prime\prime} está en la circunferencia de diámetro A_1 A^{\prime}, es decir, en la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}}. Lo mismo sucede con B^{\prime\prime} y C^{\prime\prime} y por tanto la circunferencia con centro N y radio \textstyle{\frac{OA}{2}} pasa por los 9 puntos indicados en la figura.

Como propina obtenemos que las tres circunferencias que resultan de reflejar la circunferencia circunscrita sobre cada uno de los lados se cortan en el ortocentro (porque HA^{\prime\prime} = A^{\prime\prime}A_2, puesto que A^{\prime\prime} es la imagen de A_2 en la homotecia con centro H).

1 Dunham, «Euler. El maestro de todos los matemáticos», Nivola.

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